高中數(shù)學(xué)《立體幾何》大題解析

1、高中數(shù)學(xué)立體幾何大題及及分析高中數(shù)學(xué)立體幾何大題及及分析44/44高中數(shù)學(xué)立體幾何大題及及分析.WORD格式整理.高中數(shù)學(xué)?立體幾何?大題及答案分析(理)1.2021全國(guó)卷如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SD底面ABCD，AD2，DCSD2，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，ABM=60。I證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；求二面角SAMB的大小。2.2021全國(guó)卷如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE平面BCC1證明：AB=AC設(shè)二面角A-BD-C為60,求B1C與平面BCD所成的角的大小A1C1B1DEACB3.2021浙江卷如圖，DC平面ABC，EB

2、/DC，ACBCEB2DC2，ACB120，P,Q分別為AE,AB的中點(diǎn)I證明：PQ/平面ACD；II求AD與平面ABE所成角的正弦值.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.4.2021北京卷如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.求證：平面AEC平面PDB；當(dāng)PD2AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小.5.2021江西卷如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2以BD的中點(diǎn)O為球心、BD為直徑的球面交PD于點(diǎn)M1求證：平面ABM平面PCD；2求直線PC與平面ABM所成的角；3求點(diǎn)O到平面ABM的距離PMA

3、DOB6.2021四川卷如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面相互垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE,FAFE,AEF45I求證：EF平面BCE；II設(shè)線段CD、AE的中點(diǎn)分別為P、M，求證：PM平面BCEIII求二面角FBDA的大小。C.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.7.2021湖北卷文如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDADa,點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DEa(01).()求證：對(duì)隨意的0、1，都有ACBE:()假定二面角C-AE-D的大小為600C，求的值。8.2021湖南卷如圖3，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=4,AA17,點(diǎn)D是BC

4、的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DEA1E.證明：平面A1DE平面ACC1A1;求直線AD和平面A1DE所成角的正弦值。9.2021四川卷如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面相互垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE,FAFE,AEF45I求證：EF平面BCE；II設(shè)線段CD、AE的中點(diǎn)分別為P、M，求證：PM平面BCEIII求二面角FBDA的大小。.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.10.2021重慶卷文如題18圖，在五面體ABCDEF中，ABDC，BAD，2CDAD2，四邊形ABFE為平行四邊形，F(xiàn)A平面ABCD，F(xiàn)C3,ED7求：直線AB到平面EFCD的距離；二面角FADE的平

5、面角的正切值11如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD證明：PABD；設(shè)PDAD，求二面角APBC的余弦值.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.12本小題總分值12分如圖，四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn)1證明：PEBC2假定APB=ADB=60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值參照答案1、【分析】I解法一：作MNSD交CD于N，作NEAB交AB于E，連ME、NB，那么MN面ABCD，MEAB,NEAD2設(shè)MNx，那么NCEBx,在RTMEB中，MBE60ME3x。在RTMN

6、E中由ME2NE2MN23x2x22解得x1，從而MN1SDM為側(cè)棱SC的中點(diǎn)M.2解法二:過(guò)M作CD的平行線.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.II分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考取求二面角也根本上不用三垂線定理的方法求作二面角。過(guò)M作MJCD交SD于J,作SHAJ交AJ于H,作HKAM交AM于K,那么JMCD,JM面SAD,面SAD面MBA,SH面AMBSKH即為所求二面角的補(bǔ)角.法二：利用二面角的定義。在等邊三角形ABM中過(guò)點(diǎn)B作BFAM交AM于點(diǎn)F，那么點(diǎn)F為AM的中點(diǎn)，取SA的中點(diǎn)G，連GF，易證GFAM，那么GFB即為所求二面角.解法二、分別以DA、

7、DC、DS為x、y、z軸如圖成立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，那么A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,0,2),S(0,0,2)。zSMCyDABx設(shè)M(0,a,b)(a0,b0)，那么BA(0,2,0),BM(2,a2,b),SM(0,a,b2)，.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.SC(0,2,2)，由題得1cosBA,BM，即SM/SC2(a2)12(a2)2b222解之個(gè)方程組得a1,b1即M(0,1,1)2a2(b2)所以M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)。法2：設(shè)SMMC，那么M(0,2,2),MB(2,2,2)1111又AB(0,2,0),MB,AB60o故MBAB|MB|AB|cos60o，即

8、42(2)2(2)2，解得1，111所以M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)。由得M(0,1,1),MA(2,1,1)，又AS(2,0,2)，AB(0,2,0)，設(shè)n11,y1,z1),n22,y2,z2)分別是平面SAM、MAB的法向量，那么(x(xn1MA0n2MA02x1y1z102x2y2z20n且n，即2x2z0且1AS01AB02y2011分別令x1x22得z11,y11,y20,z22，即n1(2,1,1),n2(2,0,2)，2026cosn12,n632二面角SAMB的大小arccos6。3.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.2、解法一：取BC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，那么EF1B1B，從而EFDA。2

9、連結(jié)AF，那么ADEF為平行四邊形，從而AF/DE。又DE平面BCC1，故AF平面BCC1，從而AFBC，即AF為BC的垂直均分線，所以AB=AC。作AGBD，垂足為G，連結(jié)CG。由三垂線定理知CGBD，故AGC為二面角A-BD-C的平0.面角。由題設(shè)知，AGC=60.2設(shè)AC=2，那么AG=。又AB=2，BC=2，故AF=2。23由ABADAGBD2.AD222，解得AD=2。得2AD=3故AD=AF。又ADAF，所以四邊形ADEF為正方形。由于BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，所以平面BCD平面DEF。連結(jié)AE、DF，設(shè)AEDF=H，那么EHDF，EH平面BCD。連結(jié)CH

10、，那么ECH為B1C與平面BCD所成的角。因ADEF為正方形，AD=2，故EH=1，又EC=1B1C=2，200所以ECH=30，即B1C與平面BCD所成的角為30.解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的正半軸，成立以以下圖的直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz。設(shè)B1，0，0，C0，b，0，D0，0，c，那么B11，0，2c,E1，b，c.22.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.于是DE=1，b，0，BC=-1，b,0.由DE平面BCC1知DEBC，DEBC=0，求得22b=1，所以AB=AC。設(shè)平面BCD的法向量AN(x,y,z),那么ANBC0,ANBD0.又BC=-1，1，0，xy0BD=-1，0，c,

11、故xcz0令x=1,那么y=1,z=1,AN=(1,1,1).cc又平面ABD的法向量AC=0，1，0由二面角ABDC為60知，AN，AC=60，故ANACANAC1cos60，求得c2于是AN1，1，2，CB1(1，1，2cosAN，CB1ANCB11CB1，AN2AN，CB160所以B1C與平面BCD所成的角為303、證明：連結(jié)DP,CQ，在ABE中，P,Q分別是AE,AB的中點(diǎn)，所以PQ/1BE，12又DC/BE，所以PQ/DC，又PQ平面ACD，DC平面ACD，所以PQ/平面ACD2在ABC中，ACBC2,AQBQ，所以CQAB而DC平面ABC，EB/DC，所以EB平面ABC而EB平面

12、ABE，所以平面ABE平面ABC，所以CQ平面ABE由知四邊形DCQP是平行四邊形，所以DP/CQ所以DP平面ABE，所以直線AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP，.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.所以直線AD與平面ABE所成角是DAP在RtAPD中，ADAC2DC222125，DPCQ2sinCAQ1所以DP15sinDAPAD554、【解法1】四邊形ABCD是正方形，ACBD，PD底面ABCD，PDAC，AC平面PDB，平面AEC平面PDB.設(shè)ACBD=O，連結(jié)OE，由知AC平面PDB于O，AEO為AE與平面PDB所的角，O，E分別為DB、PB的中點(diǎn)，OE/PD，OE1底面ABCD，PD，又PD

13、2OE底面ABCD，OEAO，12在RtAOE中，OEPDABAO，22AOE45，即AE與平面PDB所成的角的大小為45.【解法2】如圖，以D為原點(diǎn)成立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)ABa,PDh,那么Aa,0,0,Ba,a,0,C0,a,0,D0,0,0,P0,0,h，ACa,a,0,DP0,0,h,DBa,a,0，ACDP0,ACDB0，ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面AEC平面PDB.當(dāng)PD1122AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，P0,0,2a,Ea,a,a，222設(shè)ACBD=O，連結(jié)OE，.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.由知AC平面PDB于O，AEO為AE與平面PDB所的角，1122a

14、，EAa,a,a,EO0,0,2222cosAEOEAEO2，EAEO2AOE45，即AE與平面PDB所成的角的大小為45.多面體ABCDEF的體積為VEABCDVEBCF=225、解：方法一：1證：依題設(shè)，在以為直徑的球面上，那么.由于平面，那么，又，所以平面，那么，所以有平面，所以平面平面.z設(shè)平面與交于點(diǎn)，由于，所以P平面，那么，M由1知，平面，那么MN是PN在平面ABM上的射影，ANDyPNMPCABM所以就是與平面所成的角，O且PNMPCDBtanPNMtanPCDPD22DCxC所求角為arctan223由于O是BD的中點(diǎn)，那么O點(diǎn)到平面ABM的距離等于D點(diǎn)到平面ABM距離的一半，

15、由1知，平面于M，那么|DM|就是D點(diǎn)到平面ABM距離.由于在RtPAD中，PAAD4，PDAM，所以M為PD中點(diǎn)，DM22，那么O點(diǎn)到平面ABM的距離等于2。方法二：1同方法一；2以以下圖，成立空間直角坐標(biāo)系，那么A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.D(0,4,0)，M(0,2,2)，設(shè)平面ABM的一個(gè)法向量n(x,y,z)，由nABn,AM可得：2x0，令z1，2y2z0那么y1，即n(0,1,1).設(shè)所求角為PCn22，那么sin，PCn322所求角的大小為arcsin.33設(shè)所求距離為h，由O(1,2,0),AO(1

16、,2,0)，得：hAOn2n6、【分析】解法一：由于平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.由于ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又由于AEF=45,所以FEB=90，即EFBE.由于BC平面ABCD,BE平面BCE,BCBE=B所以EF平面BCE?6分II取BE的中點(diǎn)N,連結(jié)CN,MN,那么MN1ABPC2PMNC為平行四邊形,所以PMCN.CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面BCE內(nèi),PM平面BCE.?8分III由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延

17、伸線于G,那么FGEA.從而FG平面ABCD,作GHBD于H,連結(jié)FH,那么由三垂線定理知BDFH.FHG為二面角F-BD-A的平面角.FA=FE,AEF=45,AEF=90,FAG=45.21設(shè)AB=1,那么AE=1,AF=,那么FGAFsinFAG22.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.13在RtBGH中,GBH=45,BG=AB+AG=1+=,223232GHBGsinGBH2,24FG2在RtFGH中,tanFHG3,GH二面角F2BDA的大小為arctan3?12分解法二:因ABE等腰直角三角形，ABAE，所以AEAB又由于平面ABEF平面ABCDAB，所以AE平面ABCD，所以AEA

18、D即AD、AB、AE兩兩垂直；如圖成立空間直角坐標(biāo)系,(I)設(shè)AB1，那么AE1，B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0)FE,AEF45，AFE900，F(xiàn)A1從而F0，221EF(0,1,)，BE(0,1,1),BC(1,0,0)2211于是EFBE00，EFBC02EFBE,EFBCBE平面BCE，BC平面BCE，BCBEBEF平面BCEIIM(0,0,1),P(1,1,0)，從而PM(1,1,1)2222于是PMEF(1111111,)(0,)00222244PMEF，又EF平面BCE，直線PM不在平面BCE內(nèi)，故PM平面BCEIII設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量

19、為n1，并設(shè)n1x,y,z).專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.BD(1,1,0),BF(0,3,1)22n1BD0 xy0即311BF0yz0n22取y1，那么x1，z3，從而n1，113取平面ABDD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1)cosn1、n2n1n23311n1n211111311故二面角FBDA的大小為arccos117、證發(fā)1：連結(jié)BD，由底面是正方形可得ACBD。SD平面，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線定理得ACBE.(II)解法1：SD平面ABCD，平面，SDCD.又底面是正方形，DD，又AD=D，CD平面SAD。過(guò)點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)做DFAE于F，連結(jié)CF，那么C

20、FAE，故CFD是二面角C-AE-D的平面角，即CFD=60在RtADE中，AD=a,DE=a，AE=a21。ADDEa于是，DF=AE21在RtCDF中，DF由cot60=21CD.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.得3，即323=32312(0,1，解得=28、解:以以下圖，由正三棱柱ABCA1B1C1的性質(zhì)知AA1平面ABC.又DE平面ABC，所以DEAA1.而DEA1E，AA1A1EA1,所以DE平面ACC1A1.又DE平面A1DE，故平面A1DE平面ACC1A1.解法1:過(guò)點(diǎn)A作AF垂直A1E于點(diǎn)F,連結(jié)DF.由知，平面A1DE平面ACC1A1，所以AF平面A1DE,故ADF是直線AD

21、和平面A1DE所成的角。由于DEACC1A1，所以DEAC.而ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，1于是AD=23，AE=4-CE=4-CD=3.2又由于AA17，所以A1E=A1EAA12AE2(7)232=4,AEAA137AF21AF,sinADF.A1E4AD8.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.21即直線AD和平面A1DE所成角的正弦值為8解法2:以以下圖，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)成立空間直角坐標(biāo)系，那么有關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,0,0,),A1(2,0,7),D(-1,3,0),E(-1,0,0).易知A1D=-3，3，-7，DE=0，-3，0，AD=-3，3，0.r設(shè)n(x,y,z)

22、是平面A1DE的一個(gè)法向量，那么ruuuv3y0,nDEruuuvnA1D3x3y7z0.7解得xz,y0.3r故可取n(7,0,3).于是ruuurruuur3721nADcosn,ADruuur=nAD423821由此即知，直線AD和平面A1DE所成角的正弦值為8所以ME與BN不共面，它們是異面直線。?.12分9、【分析】解法一：由于平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.由于ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又由于AEF=45,所以FEB=90，即EFBE.由于BC平面ABCD,BE平面

23、BCE,BCBE=B所以EF平面BCE?6分II取BE的中點(diǎn)N,連結(jié)CN,MN,那么MN1ABPC2PMNC為平行四邊形,所以PMCN.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面BCE內(nèi),PM平面BCE.?8分III由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延伸線于G,那么FGEA.從而FG平面ABCD,作GHBD于H,連結(jié)FH,那么由三垂線定理知BDFH.FHG為二面角F-BD-A的平面角.FA=FE,AEF=45,AEF=90,FAG=45.設(shè)AB=1,那么AE=1,AF=21,那么FGAFsinFAG22在RtBGH中,GBH=

24、45,BG=AB+AG=1+=13,223232GHBGsinGBH24,2FG2在RtFGH中,tanFHG3,GH2二面角FBDA的大小為arctan?12分3解法二:因ABE等腰直角三角形，ABAE，所以AEAB又由于平面ABEF平面ABCDAB，所以AE平面ABCD，所以AEAD即AD、AB、AE兩兩垂直；如圖成立空間直角坐標(biāo)系,(I)設(shè)AB1，那么AE1，B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0)FAFE,AEF45，AFE900，1從而F0，22.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.EF(0,1,1)，BE(0,1,1),BC(1,0,0)2211于是EFB

25、E000，EFBC2EFBE,EFBCBE平面BCE，BC平面BCE，BCBEBEF平面BCEIIM(0,0,1),P(1,1,0)，從而PM(1,1,1)221122于是PMEF(1,)(0,1,1)0110,222244PMEF，又EF平面BCE，直線PM不在平面BCE內(nèi)，故PM平面BCEIII設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為n1，并設(shè)n1x,y,z)BD(1,1,0),BF(0,3,1)22n1BD0 xy0即31n1BF0yz022取y1，那么x1，z3，從而n11，1，3取平面ABDD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1)n1n23311cosn1、n2n1n211111故二面角FBDA的大小為

26、arccos3111110、解法一:ABDC,DC平面EFCD,AB到面EFCD的距離等于點(diǎn)A到面EFCD的距離，過(guò)點(diǎn)A作AGFD于G，因BADABDC，故CDAD；又FA2平面ABCD，由三垂線定理可知，CDFD，故CD面FAD，知CDAG，所以AG為所求直線AB到面EFCD的距離。.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.在RtABC中，F(xiàn)DFC2CD2945由FA平面ABCD，得FAAD，從而在RtFAD中，F(xiàn)AFD2AD2541AGFAAD225。即直線AB到平面EFCD的距離為25。FD555由己知，F(xiàn)A平面ABCD，得FAAD，又由BAD2，知ADAB，故AD平面ABFEDAAE，所以，F(xiàn)

27、AE為二面角FADE的平面角，記為.在RtAED中,AEED2AD2743,由ABCD得,FEBA,從而AFE2AE2AF2在RtAEF中,FE312,故tanFE2FAz所以二面角FADE的平面角的正切值為2.FE解法二:G如圖以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AF的方向?yàn)閤,y,z的正方向成立空間直角坐標(biāo)系數(shù)xBA,那么CDy設(shè)可得由|FC|3即A(0,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)F(0,0,z0)(z00)FC(2,2,z0),.222解得F(0,0,1)，2203,ABDCzDC面EFCD,所以直線AB到面EFCD的距離等于點(diǎn)A到面EFCD的距離。設(shè)A點(diǎn)在平面EFCD上的射影點(diǎn)

28、為G(x1,y1,z1),那么AG(x111因AGDF0且AGCD0,而,y,z)DF(0,2,1)2y110zCD(2,0,0),此即2x10解得x10,知G點(diǎn)在yoz面上,故G點(diǎn)在FD上.GFDF,GF(x1,y1,z11)故有y1z11聯(lián)立,解得,G(0,2,4)255.專業(yè)知識(shí)分享.WORD格式整理.|AG|為直線AB到面EFCD的距離.而AG(0,2,4)所以|AG|25555因四邊形ABFE為平行四邊形,那么可設(shè)E(x0,0,1)(x00),ED(x02,1).由|ED|7得22解得即E(2,0,1)故AE(2,0,1)x0217,x02.由AD(0,2,0),AF(0,0,1)因ADAE0,ADAF0,故FAE為二面角FADE的平面角，又EF(