大型工程決策- 隨機(jī)性決策問(wèn)題與效用函數(shù)

1、第三章 隨機(jī)性決策問(wèn)題與效用函數(shù)王仁超 天津大學(xué)本章內(nèi)容1 先驗(yàn)信息與主觀(guān)概率2 效用函數(shù)3 貝葉斯分析*4 隨機(jī)優(yōu)勢(shì)法1 先驗(yàn)信息與主觀(guān)概率先驗(yàn)信息：隨機(jī)性決策問(wèn)題特點(diǎn)：自然狀態(tài)的不確定性引起后果的不確定性。為了進(jìn)行科學(xué)決策，決策人在通過(guò)試驗(yàn)收集自然狀態(tài)有關(guān)信息之前，根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)、主觀(guān)估計(jì)自然狀態(tài)的信息，稱(chēng)為先驗(yàn)信息，它是貝葉斯決策分析的基礎(chǔ)。主觀(guān)概率與客觀(guān)概率決策人根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)所設(shè)定的自然狀態(tài)發(fā)生的概率稱(chēng)為主觀(guān)概率；通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)所確定的自然狀態(tài)發(fā)生概率稱(chēng)為客觀(guān)概率。先驗(yàn)分布：借助先驗(yàn)信息確定的主觀(guān)概率分布，稱(chēng)為先驗(yàn)分布主觀(guān)設(shè)定先驗(yàn)分布的方法基礎(chǔ)二元關(guān)系：比較兩個(gè)對(duì)象某一方面屬性的關(guān)系。

2、主觀(guān)概率估計(jì)中，比較兩個(gè)事件發(fā)生的可能性二元關(guān)系假設(shè)：連通性：A、B兩個(gè)事件發(fā)生的似然性是可以比較的，且只有以下一種關(guān)系成立，即等可能AB；A比B更可能AB， B比A更可能AB。傳遞性： A、B、C三個(gè)事件，若AB、B C，則A C部分小于全體：設(shè)事件AB，則事件B的發(fā)生似然性A B，如A為物價(jià)上漲810，B為物價(jià)上漲812，則事件B發(fā)生的可能性至少與A一樣大。主觀(guān)設(shè)定先驗(yàn)分布的方法概率盤(pán)最為常用區(qū)間法相對(duì)似然法直方圖法概率盤(pán)正面反面對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)抽獎(jiǎng)適用于對(duì)概率有了解的專(zhuān)家區(qū)間法1）把事件不確定量的區(qū)間劃分為兩部分，詢(xún)問(wèn)決策人事件發(fā)生在哪個(gè)區(qū)間可能性更大2）然后減少可能性大的區(qū)間，直至兩個(gè)區(qū)間等可

3、能；3）同樣還可以對(duì)兩個(gè)區(qū)間記一步劃分，得到1/4和3/4的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的區(qū)間*由于該方法誤差積累，一般不再進(jìn)一步劃分相對(duì)似然法在事件的不確定量區(qū)間中，要求決策者首先確定“最可能”和“最不可能”的量，然后詢(xún)問(wèn)“最可能”量的可能性是“最不可能”量的可能性的幾倍相對(duì)似然性，再對(duì)其他量進(jìn)行相對(duì)似然性估計(jì)，由此得到非正常先驗(yàn)密度曲線(xiàn)（密度積分不等于1，故非正常）。例如，關(guān)于某產(chǎn)品明年的銷(xiāo)售量，在100010000件之間，最可能是5000件，最不可能是9000件，最可能發(fā)生5000件的可能性是最不可能9000件的4倍，于是得到5000對(duì)9000的相對(duì)似然。繼續(xù)問(wèn)4000件與8000件的相對(duì)似然性。直方圖法將某

4、一事件的不確定量劃分為若干區(qū)間，詢(xún)問(wèn)決策人各個(gè)區(qū)間發(fā)生的概率，2 效用函數(shù)價(jià)值與效用：在經(jīng)濟(jì)學(xué)以及隨機(jī)決策問(wèn)題中，很多研究表明，決策人對(duì)后果的判定不完全取決于后果價(jià)值，而是價(jià)值的一個(gè)對(duì)應(yīng)值，這個(gè)對(duì)應(yīng)值反映決策的偏好(preference)，即效用是決策人對(duì)后果值的偏好的量化。效用函數(shù)：當(dāng)決策人的偏好滿(mǎn)足一定的公理時(shí)，所有決策后果與效用的對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系。展望、抽獎(jiǎng)與抽獎(jiǎng)的確定當(dāng)量展望（prospect）或預(yù)期：決策的可能前景，它是各種后果與后果出現(xiàn)概率的組合，記為：Pp1,c1;p2,c2;p3,c3;pr,cr抽獎(jiǎng)：決策樹(shù)中由機(jī)會(huì)點(diǎn)和該機(jī)會(huì)點(diǎn)發(fā)出的若干機(jī)會(huì)枝的概率及其后果構(gòu)成的圖形，稱(chēng)為抽獎(jiǎng)，若

5、決策人認(rèn)為某個(gè)后果C與抽獎(jiǎng)L p1,c1;p2,c2;p3,c3;pr,cr無(wú)差異，則稱(chēng)C為抽獎(jiǎng)L的確定當(dāng)量，抽獎(jiǎng)和確定當(dāng)量是確定效用函數(shù)的常用方法效用的存在性公理由Von Neumann和Morgenstern 上世紀(jì)40年代提出。連通性：P上的優(yōu)先關(guān)系是連通的；傳遞性替代性：若P1、P2、P3P，P1P2且0 1， P1（1 )P3 P2（1 )P3,或 0 1， P1（1 )P3 P2（1 )P3連續(xù)性（偏好的有界性）若P1、P2、P3P，P1P2 P3，則存在0 1使P1（1 )P3 P2（1 )P3效用函數(shù)的數(shù)學(xué)定義集合P上的實(shí)值函數(shù)u，若它和P上的優(yōu)先關(guān)系一致，即：若P1，P2P且

6、P1 P2，當(dāng)且僅當(dāng)u(P1) u(P2)。定理：若P上的優(yōu)先關(guān)系滿(mǎn)足公理14，則一定存在上述定義的效用函數(shù)。基數(shù)效用與序數(shù)效用基數(shù)是2、3.5、100.0等，定義在展望上的效用是基數(shù)效用，以上介紹的效用函數(shù)，為基數(shù)效用函數(shù)，基數(shù)效用的特點(diǎn)：既反映偏好的次序，也反映偏好強(qiáng)度。通?；鶖?shù)效用值在01之間序數(shù)，第一、第二、第三等，定義在后果集上，只反映偏好的次序，而不反映偏好強(qiáng)度，不涉及隨機(jī)性。效用函數(shù)的構(gòu)造方法偏好誘導(dǎo)確定當(dāng)量法：給定兩個(gè)后果c1、c2，通常是最差和最好的結(jié)果，假定其均以50概率出現(xiàn)，問(wèn)決策人確定當(dāng)量c為多少，cc10.5c20.5；設(shè)U（c1）0， U（c2）1，則得到C對(duì)應(yīng)效用

7、為0.5,在c1和c之間和c和c2之間繼續(xù)詢(xún)問(wèn)決策人，則可以得到若干效用值，擬和成曲線(xiàn)即為該決策人的效用函數(shù)。后果效用效用函數(shù)效用與風(fēng)險(xiǎn)效用函數(shù)反映決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，通常分為三種類(lèi)型，風(fēng)險(xiǎn)中立、風(fēng)險(xiǎn)追求和風(fēng)險(xiǎn)厭惡。例如，如果u(0)=0,u(2500)=1，如果決策人在50概率抽獎(jiǎng)中，認(rèn)為1250的效用為0.5,則該決策人是風(fēng)險(xiǎn)中立，如果認(rèn)為900（或1250的效用值大于0.5）與抽獎(jiǎng)相當(dāng)，則該決策人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，效用函數(shù)上凸，否則為風(fēng)險(xiǎn)追求，效用函數(shù)下凸。利用效用函數(shù)和先驗(yàn)信息進(jìn)行決策決策準(zhǔn)則期望效用最大利用效用進(jìn)行決策的案例：例：某農(nóng)場(chǎng)要決定一塊地中選擇什么作物，各種作物的收益如表1，若

8、該人的收益與效用對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2，如何決策？200060003000棉花300050002000小麥700040001000蔬菜多雨0.1正常0.7旱0.2 天氣 利潤(rùn)方案效用決策案例收益1000200030004000500060007000效用0.150.250.350.450.550.650.850.550.470.43x2, 0.7x1, 0.2x3, 0.10.150.450.85x1, 0.2x2, 0.7x3, 0.10.250.550.35x1, 0.2x2, 0.7x3, 0.10.350.650.25a3a2a1決策點(diǎn)方案枝狀態(tài)點(diǎn)概率枝后果期望效用3貝葉斯分析前言：前面我們介

9、紹了依據(jù)先驗(yàn)信息進(jìn)行決策的方法。這些方法可能存在以下問(wèn)題：先驗(yàn)信息難以獲得；決策非常重要，要求提高決策質(zhì)量對(duì)于隨機(jī)決策問(wèn)題要提高決策質(zhì)量：最好通過(guò)試驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)等獲得新的信息，它們是對(duì)先驗(yàn)信息得到的主觀(guān)概率的一個(gè)隨機(jī)估計(jì)，由此得到關(guān)于自然狀態(tài)的后驗(yàn)概率；決策者根據(jù)這個(gè)估計(jì)和決策規(guī)則采取行動(dòng)貝葉斯分析。貝葉斯定理?xiàng)l件概率：A、B為隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)事件，在事件B發(fā)生條件下A發(fā)生的概率稱(chēng)為A關(guān)于B的條件概率，記為：P(A|B)，且P(A|B)=P(AB)/P(B)全概率公式：若Aj，j1，2，。n是樣本的一個(gè)劃分，則貝葉斯定理貝葉斯定理解釋P（Aj）稱(chēng)為先驗(yàn)概率，P（Aj|B）稱(chēng)為后驗(yàn)（或驗(yàn)后）概率。在隨

10、機(jī)決策中，決策者對(duì)于自然狀態(tài)x的出現(xiàn)概率主觀(guān)估計(jì)是先驗(yàn)概率，通過(guò)試驗(yàn)等進(jìn)一步獲得自然狀態(tài)估計(jì)是后驗(yàn)概率。損失函數(shù)統(tǒng)計(jì)決策理論習(xí)慣于用損失函數(shù)而非效用函數(shù)做決策分析，損失函數(shù)L（，a）表示出現(xiàn)自然狀態(tài)情況下決策者采取行動(dòng)a的損失?？梢杂秘?fù)效用函數(shù)來(lái)表示損失函數(shù)。與期望效用最大作為決策規(guī)則，損失函數(shù)為期望損失最小也可以作為決策規(guī)則風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)在貝葉斯分析中，決策者通過(guò)試驗(yàn)獲得自然狀態(tài) 的一組觀(guān)測(cè)值X，由于試驗(yàn)仍可能存在其他隨機(jī)因素影響，因此，X和均為隨機(jī)變量。決策人當(dāng)獲得X后，他根據(jù)X選擇行動(dòng)，因此，決策人的行動(dòng)應(yīng)為X的一個(gè)函數(shù)，記為(X）。當(dāng)自然狀態(tài)為 ，觀(guān)察為xX，根據(jù)x選擇行動(dòng)a時(shí)記為(x），相

11、應(yīng)損失為L(zhǎng)（，(x）)。由于X和均為隨機(jī)變量，因此L（，(X）)也是隨機(jī)變量，當(dāng)給定，定義L（，(X）)對(duì)X的期望值為風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)記為R（，)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的具體型式當(dāng)X為連續(xù)的隨機(jī)變量時(shí)當(dāng)X為離散的隨機(jī)變量時(shí)其中， 為條件概率密度函數(shù)或條件概率貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)其實(shí)決策人決策時(shí)，并不知道真實(shí)的狀態(tài) 中 哪一個(gè)會(huì)出現(xiàn)，他只能對(duì)出現(xiàn)的先驗(yàn)密度（概率）（）做主觀(guān)估計(jì)，決策分析中還需要把風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)R（，)對(duì) 取期望，記為r(, )=E R（，)當(dāng)連續(xù)隨機(jī)變量當(dāng)離散隨機(jī)變量貝葉斯決策規(guī)則貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)最小的策略（損失最小）正規(guī)型，擴(kuò)展型擴(kuò)展型貝葉斯決策問(wèn)題分析步驟獲得原始自然狀態(tài)信息的主觀(guān)概率估計(jì)獲得關(guān)于原始自然狀態(tài)的試驗(yàn)估

12、計(jì)自然狀態(tài)與行動(dòng)方案的損失函數(shù)確定計(jì)算后驗(yàn)概率或密度確定最優(yōu)行動(dòng)：即預(yù)測(cè)自然狀態(tài)不同時(shí)的行動(dòng)規(guī)則顯然它是一種隨機(jī)應(yīng)變的。一個(gè)貝葉斯分析案例某油井公司擁有一塊油田，當(dāng)前該公司可以采取的措施為：a1：自己鉆采； a2：無(wú)條件出租，租金45萬(wàn)；a3：有條件出租，租金依照產(chǎn)量而定，產(chǎn)油在20萬(wàn)桶或以上，每桶提成5元，產(chǎn)量不足20萬(wàn)桶不受租金。另外，自己開(kāi)采鉆井費(fèi)用75萬(wàn)元，有油需要增加采用設(shè)備費(fèi)25萬(wàn)元。油價(jià)每桶15元。油田產(chǎn)量分為無(wú)油、5萬(wàn)桶、20萬(wàn)桶和50萬(wàn)桶4種狀態(tài)，主觀(guān)概率為0.5、0.25、0.15、0.1。問(wèn)決策人風(fēng)險(xiǎn)中立，決策人應(yīng)采取什么行動(dòng)。分析決策人風(fēng)險(xiǎn)中立，收益與效用成線(xiàn)性關(guān)系，可

13、以認(rèn)為收益就是效用損失函數(shù)可以取效益的負(fù)現(xiàn)在問(wèn)題沒(méi)有涉及后驗(yàn)信息，但仍可以用貝葉斯決策分析方法求解決策樹(shù)貝葉斯公式計(jì)算有后驗(yàn)信息的決策決策人如果通過(guò)地震試驗(yàn)可以獲得該地區(qū)石油含量0，5，20，50萬(wàn)桶的相關(guān)信息，需要經(jīng)費(fèi)12萬(wàn)元，問(wèn)進(jìn)行該項(xiàng)試驗(yàn)后，決策人如何動(dòng)？,p(xk|j)如表所示。X1=50X2=20X3=5X4=0507/121/31/120209/163/161/81/8511/241/61/41/803/1611/4813/485/16求全概率或預(yù)測(cè)密度與后驗(yàn)概率公式全概率后驗(yàn)概率X1=50X2=20X3=5X4=0500.1660.1290.0390200.2400.1080.0

14、870.10750.3270.2410.1460.23800.2670.5220.7280.655貝葉斯分析擴(kuò)展型給定x1=50萬(wàn)桶，利用擴(kuò)展型求得對(duì)應(yīng)方案a1的期望損失同樣求得對(duì)應(yīng) a2和a3的期望損失為33和5，于是預(yù)測(cè)為x1 取a1方案。同樣對(duì)x2、x3、x4可以達(dá)到行動(dòng)方案為a1、a2、a2考慮12萬(wàn)元的試驗(yàn)費(fèi)課堂指導(dǎo)作業(yè)繪制貝葉斯分析擴(kuò)展型的決策樹(shù)。提示首先是決策是否進(jìn)行試驗(yàn)，如果進(jìn)行試驗(yàn)則可能以預(yù)測(cè)密度出現(xiàn) x1、x2、x3、x4四種預(yù)測(cè)狀態(tài)，然后對(duì)每一種狀態(tài)，做決策采取那種方案。信息的價(jià)值進(jìn)行貝葉斯決策分析需要后驗(yàn)信息，它通過(guò)試驗(yàn)獲得，需要一定的費(fèi)用，那么，就存在花費(fèi)這筆費(fèi)用值不

15、值的問(wèn)題？獲得的信息可能存在兩種情況：全信息和采樣（隨機(jī)）信息，所謂全信息是指通過(guò)試驗(yàn)完全確定未來(lái)狀態(tài)，所謂采樣信息是指試驗(yàn)有一定的準(zhǔn)確性，但仍有助于提高決策的準(zhǔn)確性完全信息的價(jià)值試驗(yàn)可以完全確定自然狀態(tài)，例如，假若地震試驗(yàn)后可以確定該地塊有50萬(wàn)桶石油或20萬(wàn)桶或5萬(wàn)桶或無(wú)油，那么決策人就可以使隨機(jī)應(yīng)變，使損失最小化，這時(shí)的損失為期望最小損失：相反則為最小期望損失：完全信息的價(jià)值EVPI最小期望損失期望最小損失 采樣信息的價(jià)值有采樣信息時(shí)，我們是按照貝葉斯分析，利用后驗(yàn)信息進(jìn)行決策，期望損失是貝葉斯期望損失最小沒(méi)有先驗(yàn)信息決策同上EVSI 完全信息價(jià)值算例對(duì)于石油開(kāi)采，在試驗(yàn)前，估計(jì)出油50

16、、20、5、0萬(wàn)桶的概率為0.1、0.15、0.25、0.5，當(dāng)試驗(yàn)確定為出油50、20、5、0萬(wàn)桶時(shí)的損失為650、200、45、45，故期望損失為：6500.1-2000.15-450.25-450.5128.5無(wú)試驗(yàn)時(shí)，最小期望損失為-51.25完全信息價(jià)值EVPI51.25-(-128.5)=77.5采樣信息的價(jià)值算例按照貝葉斯分析后，當(dāng)試驗(yàn)確定為出油50、20、5、0萬(wàn)桶時(shí)的損失為115.5、48.275、33、33，按照各個(gè)狀態(tài)全概率0.351、0.259、 0.215、 0.175，故貝葉斯期望損失為-65.91，另外由于計(jì)算損失中扣除12萬(wàn)元，計(jì)算信息價(jià)值時(shí)補(bǔ)充進(jìn)來(lái)，期望損失為

17、77.91無(wú)試驗(yàn)時(shí)，最小期望損失為-51.25采樣信息的價(jià)值EVSI-51.25-(-77.91)=26.664 隨機(jī)優(yōu)勢(shì)法隨機(jī)優(yōu)勢(shì)概念的產(chǎn)生：前面我們介紹的方法需要決策人的效用函數(shù)（偏好信息），實(shí)際決策問(wèn)題中，我們往往很難獲得效用函數(shù)的準(zhǔn)確完全信息，往往只能獲得部分信息，如這個(gè)決策人的效用函數(shù)類(lèi)型。那么，在獲得效用函數(shù)的類(lèi)型后能否輔助決策者對(duì)一定的決策方案排序，確定優(yōu)劣呢？這是隨機(jī)優(yōu)勢(shì)決策產(chǎn)生的原因。隨機(jī)優(yōu)勢(shì)產(chǎn)生與概念隨機(jī)優(yōu)勢(shì)決策準(zhǔn)則是基于投資決策問(wèn)題研究產(chǎn)生的，代表人物是Markowitz，他在研究有價(jià)證券組合投資時(shí)提出。隨機(jī)優(yōu)勢(shì)的概念：設(shè)在隨機(jī)決策問(wèn)題中存在兩個(gè)方案a1和a2，如果在一定

18、的條件下，記為條件C（通常是決策人的效用函數(shù)屬于某一個(gè)類(lèi)）a1a2，則稱(chēng)方案a1在條件C下優(yōu)勢(shì)于a2，或方案a1比 a2 具有隨機(jī)優(yōu)勢(shì)，記為a1Ca2 。兩類(lèi)強(qiáng)隨機(jī)優(yōu)勢(shì)按狀態(tài)優(yōu)于如右表，若為損失函數(shù)，a1a2實(shí)際決策中很少按照EV如果一個(gè)方案a1收益的期望（均值）大于另一個(gè)方案a2，而且方差小于方案a2，則a1a2現(xiàn)實(shí)中這樣的決策問(wèn)題也很少a1a2a3147226683347不滿(mǎn)足以上兩條的能不能確定方案的隨機(jī)優(yōu)勢(shì)呢？回答是在知道決策人效用函數(shù)類(lèi)型后可以做到！第一類(lèi)效用函數(shù)與隨機(jī)優(yōu)勢(shì)第一類(lèi)效用函數(shù)U1定義：u（x）是連續(xù)有界遞增的，即u的定義域?yàn)镮a,b，將（a，b）定義為I0，u和u在I上連

19、續(xù)有界，在I0上u 0。這是第一類(lèi)效用函數(shù)是對(duì)效用函數(shù)的最基本要求，這樣的效用函數(shù)還不能分辨決策人的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。如果兩個(gè)方案關(guān)于第一類(lèi)效用函數(shù)具有隨機(jī)優(yōu)勢(shì)，那么，不論決策人的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，兩個(gè)方案之間的優(yōu)勢(shì)是存在的。第二類(lèi)效用函數(shù)與隨機(jī)優(yōu)勢(shì)U2u|uU1，u在Ia,b連續(xù)有界，在I0上u 0第二類(lèi)效用函數(shù)可以通過(guò)r=u/u的比值判斷該類(lèi)決策人是厭惡風(fēng)險(xiǎn)的，即r0?，F(xiàn)實(shí)中很多證據(jù)表明，決策人即使不是全部也是大多數(shù)是厭惡風(fēng)險(xiǎn)的。如果兩個(gè)方案關(guān)于第二類(lèi)效用函數(shù)具有隨機(jī)優(yōu)勢(shì)，那么，決策人的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度為厭惡時(shí)，兩個(gè)方案之間的優(yōu)勢(shì)是存在的。第三類(lèi)效用函數(shù)與隨機(jī)優(yōu)勢(shì)U3u|uU2，u在Ia,b連續(xù)有界，在I0上u 0U3描述的是：多數(shù)人對(duì)小額盈虧的態(tài)度是隨著財(cái)富的積累而變化的，財(cái)富越多，他們對(duì)小額盈虧的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越低，即U3為遞減