線性代數(shù)2015隨堂小測卷參考答案

1、2015線性代數(shù)隨堂小測(B 卷)參考1設(shè)向量空間 R 的一個基為 , , ，向量 , , 滿足31231231 1 2 23 , 2 21 2 23 , 3 1 32 53 ，(1)證明 , , 是 R3 的一個基；123(2)求由基1,2 ,3 到基1,2 ,3 的過渡矩陣；(3)已知向量 1 22 23 ，求 在基1 ,2 ,3 下的坐標(biāo)。 121 21121 2135(1)【證】由已知， ( , , ) ( , , ) -1 ， 1 0 ，3而 -1123123 252所以 r( , , ) r( , , ) 3 ，因此 , , 線性無關(guān)，從而 , , 是 R3 的1231231231

2、23一個基。 121 21(2)【解】由題設(shè)，( , , ) ( , , ) -13 可知，由基 , , 到基 , ,123123123123 25 121 21的過渡矩陣為 A -13 ，則由基 , ,到基 , , 的過渡矩陣為C A1 ，123123 25可利用下述方法求 A1 ， ( A E) 初等行變換(EA1) ， 1( A E) -00 11127 21100， 21 0520001021 1127 27的過渡矩陣為C A1 14 。因此由基 , , 到基 , ,12312301(3)【解】設(shè) 在基 , , 下的坐標(biāo)為x )T ，由坐標(biāo)變換公式，1233 x1 y1 1 11127

3、 271 x C y 14 2 7 ，2 2 x y 2 012 3 3 于是 在基 , , 下的坐標(biāo)為(11, 7, 2)T 。1231/3線性代數(shù)隨堂小測B 卷參考Zhanglizhuo-2015 0 12. 設(shè) 3 階實(shí)對稱矩陣 A 的各行元和為 2，向量 2 , 1 是線性方程12 1 1組 AX O 的兩個解，求A 的全部特征值和特征向量；正交矩陣Q 和對角矩陣 ，使Q1 AQ ；A 2E(3)矩陣 A 及。1【解】(1)取 1 O ，因為 A 2 ，所以 2 是 A 的一個特征值， 是相應(yīng)的特征 00001 向量。由題設(shè)，1, 2 是線性方程組 AX O 的兩個非零解，說明 0 0

4、E A ，即 0 是AA 的另一個特征值，由于1,2 線性無關(guān)，因此特征值 0 的代數(shù)重數(shù)不低于 2， A 是 3 階矩陣，從而 A 的全部特征值為1 2, 2 3 0 ，A 的屬于特征值1 2 的全部特征向量為k00k0 R, k0 0。A 的屬于特征值2 3 0 的全部特征向量為k11 k22(2)顯然0 與1,2 都正交，下面對1,2 施以正交化，k1, k2 R, k1 , k2 不全為 0。 1 2 0 1 T 3 令 , 2 1 1 2 0 ，1122 1T6 1 1 1 2110 , 1, 2 是兩兩正交的特征向量，下面對0 , 1, 2 施以化， 111111,1 2 , 1110 ， 3 6 2 0011221 1 1 13131316261612 , , 是兩兩正交的特征向量，令Q ( , , ) 0，則Q 是123123122/3線性代數(shù)隨堂小測B 卷參考Zhanglizhuo-2015210正交矩陣，且使 2Q1AQ 0 。0 111 2 11 1 ，1T(3