導(dǎo)數(shù)大題20種主要題型講解

1、答案詳解-1-2-：-3-4-此題主要考察導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用。（1）求出比較其與的大小，獲得的單調(diào)性表，于是獲得的極值。（2）將代入到中，并求適合時(shí)，此時(shí)恒成立，即在單調(diào)遞增，同理可以獲得在上為增函數(shù)，則原不等式可化為在上恒成立，令，對(duì)其求導(dǎo)得知若為減函數(shù)時(shí)其導(dǎo)數(shù)恒小于，便可獲得的取值范圍。（3）若存在，使得假設(shè)成立，也即在上不是單調(diào)增或單調(diào)減，故，對(duì)求導(dǎo)獲得其極小值點(diǎn)為，由于解得此時(shí)，此時(shí)需證明當(dāng)，使得即可，此時(shí)可取，發(fā)現(xiàn)成立，故的取值范圍為。-5-答案詳解（），由是的極值點(diǎn)得，所以。于是，定義域?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，且。因此，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。（）當(dāng)，時(shí)

2、，故只要要證明當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，又，故在有唯一實(shí)根，且。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；進(jìn)而當(dāng)時(shí)，取得最小值。由得：，故。綜上：當(dāng)時(shí)，。解析:此題主要考察函數(shù)的求導(dǎo)和函數(shù)的單調(diào)性的判斷。（）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得導(dǎo)函數(shù)，由題，則可得的值，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，求得的的取值范圍即為單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，求得的的取值范圍即為單調(diào)減區(qū)間。（）由解析知，只要證明當(dāng)時(shí)，此時(shí)經(jīng)過(guò)解析函數(shù)單調(diào)性，求得即可得證。-6-例題5：函數(shù)。（）議論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）證明：當(dāng)時(shí)，。答案詳解（）的定義域?yàn)椋ǎ?。?dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增。又，當(dāng)知足且時(shí)，故當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn)。（）由（），可

3、設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為。由于，所以。故當(dāng)時(shí)，。解析:此題主要考察導(dǎo)數(shù)的觀點(diǎn)及其幾何意義以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用。（）求導(dǎo)得出的表達(dá)式，根據(jù)其表達(dá)式，對(duì)進(jìn)行分類議論。當(dāng)時(shí)，可知沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可知單調(diào)遞增，且存在使得而，因此存在唯一零點(diǎn)。（）由（），可設(shè)的最小值在時(shí)取到，最小值為。寫出的表達(dá)式，再運(yùn)用均值不等式即可得出。題型3：先構(gòu)造，再賦值，證明和式或積式不等式例題：已知函數(shù)。（1）若，求的值；（2）設(shè)為整數(shù)，且關(guān)于任意正整數(shù)，求的最小值。-7-答案詳解（1）的定義域?yàn)?，由已知得，。?duì)求導(dǎo)，得（），若，則恒成立，在上遞增，則

4、時(shí)，所以不合題意；若，則時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，令，時(shí)，遞增，時(shí)，遞減，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，符合題意。綜上，。（2）由（1）得在上恒成立，所以，令，即有，因?yàn)?，所以若關(guān)于任意正整數(shù)，則有，整數(shù)。解析:此題主要考察導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用。（1）對(duì)分類議論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得出知足的的值。（2）要證不等式等價(jià)于，根據(jù)（1）中結(jié)論，對(duì)賦值，得到，進(jìn)而將放縮成等比數(shù)列的前項(xiàng)和，由，知，進(jìn)而，取最小整數(shù)值。例題：已知函數(shù)發(fā)f(x)=(x+1)lnx-ax+2當(dāng)a=1時(shí),求在x=1處的切線方程;若函數(shù)f(x)在定義域上擁有單調(diào)性,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;-8-9-題型4:恒成立，存在性問(wèn)題-10-由此利用導(dǎo)數(shù)

5、性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值此題重點(diǎn)考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問(wèn)題.重點(diǎn)考察學(xué)生的代數(shù)推理論證能力.解題時(shí)要仔細(xì)審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.練習(xí)：已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+mx-3.求f(x)在t,t+2(t0)上的最小值.若對(duì)一切x(0,+),2f(x)成g(x)立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.答案詳解解：(1)f(x)=lnx+1,令f(x)=0,得x=.x(0,),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增.因?yàn)閠0,t+22,當(dāng)0t0),則h(x)=.h(x)=0,得x=1或x=-3(舍),x(0,1)時(shí),h(x)0,h(x)單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(1)

6、=4.所以mh(x)min=4.的最小值即可.注意不要忽略x0的條件,致使求導(dǎo)數(shù)的方程時(shí)產(chǎn)生增根.練習(xí)：設(shè)函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。（1）議論的單調(diào)性。（2）證明：當(dāng)時(shí)，。（3）確定的所有可能取值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立。答案詳解（1）由題意可得（），設(shè)，.2分當(dāng)時(shí)，所以，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為。.4分-12-（2）要證當(dāng)時(shí)，即，即，.5分設(shè)，所以，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，所以。當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，成立。.8分（3）由得，.9分設(shè)，由題意知在上恒成立。因?yàn)?，所以必須成立，又，所以，所以。又，易知?dāng)時(shí)，。.12分令，則，令，解得，此時(shí)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)

7、時(shí)，。綜上，所以在上單調(diào)遞增，所以，則有在上單調(diào)遞增，所以，所以，即。.14分解析:此題主要考察導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用。（1）求出，分別在導(dǎo)函數(shù)大于、小于的情況下議論，即可得出單調(diào)區(qū)間；2）將分解為兩個(gè)比較容易求導(dǎo)的函數(shù)，并將較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)，得出其圖象性質(zhì)，即可經(jīng)過(guò)其與另一函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)系求出不等式；3）將兩函數(shù)相減構(gòu)造新函數(shù)，由新函數(shù)值的符號(hào)可以判斷原來(lái)兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系。將新構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo)，并議論其在函數(shù)值為周邊導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，以此判斷該函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值的符號(hào)，進(jìn)而即可判斷對(duì)應(yīng)情況兩函數(shù)值的大小關(guān)系。題型5：極值點(diǎn)偏移應(yīng)用已知函數(shù)（1）議論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；-13-（

8、3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，比較與的大小，并證明你的結(jié)論。答案（1）時(shí)，f（x）在上遞增，上遞減，上遞增；時(shí)，f（x）在上遞增；時(shí)，f（x）在上遞增，上遞減，上遞增；時(shí)，f（x）在上遞增，在上遞減；（2）見(jiàn)解析；（3）1）時(shí)，f（x）在（0,1）上遞增，在上遞減；時(shí)，f（x）=0的兩根為A，即時(shí)，f（x）在上遞增；B，即時(shí)，f（x）在上遞增，上遞減，上遞增；且，故此時(shí)f（x）在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)C，即時(shí)，f（x）在上遞增，上遞減，上遞增；且，故此時(shí)f（x）在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述：時(shí)，f（x）在上遞增，上遞減，上遞增；時(shí)，f（x）在上遞增；時(shí)，f（x）在上遞增，上遞減，上遞增；時(shí)，f（x）在上遞

9、增，在上遞減；2）-14-設(shè)在上單調(diào)遞減得證（3）由（1）知，函數(shù)要有兩個(gè)零點(diǎn)，則不妨設(shè)由（2）得考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)與方程、不等式解析（1）求導(dǎo)得，當(dāng)，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)由確定，可確定函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，由議論與的大小下手，分別議論導(dǎo)數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，即可確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）先寫出不等式式的等價(jià)形式，即，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以可得；-15-（3）因?yàn)楹瘮?shù)要有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，由此可求得，設(shè)，由（2）得，進(jìn)而有，即有成立，進(jìn)而可證結(jié)論成立練習(xí)：已知函數(shù)（）的兩個(gè)零點(diǎn)為，（）。（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：。答案詳解（1），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不可能有兩

10、個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由可解得，由可解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，要使得在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，則的取值范圍為。（2）令，則，由題意知方程有兩個(gè)根，即方程有兩個(gè)根，不妨設(shè)，令，則，由可得，由可得，所以時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，故綜上可知，要證，即證，即，即證，令，下面證對(duì)任意的恒成立，-16-，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以在是增函?shù)，所以，所以原不等式成立。解析:此題主要考察函數(shù)與方程及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用。（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，使得最小值小于以知足函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的條件，即可求出的取值范圍。（2）要證，令，則，再變換成的等式，再成立新的函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性

11、判斷，再證，成立新的函數(shù)，求導(dǎo)證明即可。-17-18-19-題型6：對(duì)數(shù)，指數(shù)平均的應(yīng)用-20-解析(1)根據(jù)發(fā)f(x)的解析式求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),通分后根據(jù)函數(shù)f(x)在上為單調(diào)增函數(shù),獲得分子大于0恒成立,解出2a-2小于等于一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,利用基本不等式求出這個(gè)函數(shù)的最小值,列出關(guān)于a的不等式,求出不等式的解集即可獲得a的取值范圍;把所證的式子利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法規(guī)及不等式的基本性質(zhì)變形,即要證,根據(jù)(1)獲得h(x)在x大于等于1時(shí)單調(diào)遞增,且大于1,利用函數(shù)的單調(diào)性可得證.此題考察學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,掌握不等式恒成馬上所知足的條,會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最小值,在

12、證明第(2)時(shí)注意利用第(1)問(wèn)中的結(jié)論,屬于基本知識(shí)的考察.-21-解析（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，并且當(dāng)，于是可得函數(shù)的圖象大體，然后再利用數(shù)形結(jié)合，可得函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍；（2）由已知，即，兩邊同取以為底的對(duì)數(shù)，得，要證明，則只要證明，即，不妨設(shè)，令，則，即證對(duì)恒成立，令，然后再根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用即可求出結(jié)果.試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，-22-，令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，并且當(dāng)，于是

13、的圖象大體為：函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是.（2）由已知，即，兩邊同取以為底的對(duì)數(shù)，得，要證明，則只要證明，即，不妨設(shè)，令，則，即證對(duì)恒成立，令，則，在區(qū)間單調(diào)遞增，即，進(jìn)而成立.-23-例題：已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（）（1）求證：；（2）求證：解析1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過(guò)議論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最小值，求出的范圍即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明，設(shè)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可試題解析：（1）證明：的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，在區(qū)間上；所以在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增的最小值為，依題意，有，則（2）證明：要證，只要證，

14、易知，而在區(qū)間上是增函數(shù)，所以只要證明，即證，設(shè)函數(shù)，而，并且在區(qū)間上，即在區(qū)間上是減函數(shù)，所以而，所以成立，所以點(diǎn)睛：此題主要考察函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式，恒成立問(wèn)題.要證明一個(gè)不等式，我們可以先根據(jù)題意所給條件化簡(jiǎn)這個(gè)不等式，可以轉(zhuǎn)變?yōu)?，利用條件將-24-不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榍笞C，劃歸與轉(zhuǎn)變之后，就可以假設(shè)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，圖像與性質(zhì)，進(jìn)而求解得結(jié)果.例題-25-題型7：先取對(duì)數(shù)后構(gòu)造已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為3（1）求實(shí)數(shù)a的值；2（2）若f（x）kx對(duì)任意x0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）當(dāng)nm1（

15、m，nN*）時(shí)，證明：答案解：（1）f（x）=ax+xlnx，f（x）=a+lnx+1，又f（x）的圖象在點(diǎn)x=e處的切線的斜率為3，-26-f（e）=3，即a+lne+1=3，a=1；2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，2f（x）kx對(duì)任意x0成立對(duì)任意x0成立，令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍骻（x）的最大值，令g（x）=0，解得x=1，0 x1時(shí)，g（x）0，g（x）在（0，1）上是增函數(shù)；x1時(shí)，g（x）0，g（x）在（1，+）上是減函數(shù)故g（x）在x=1處取得最大值g（1）=1，k1即為所求；（3）令，則，由（2）知，x1+lnx（x0），h（x）0，h（x）是（1，+）上的增函數(shù)，nm1，h

16、（n）h（m），即，mnlnn-nlnnmnlnm-mlnm，mnlnn+mlnmmnlnm+nlnn，lnnmn+lnmmlnmmn+lnnn，ln（mnn）mln（nmm）n，（mnn）m（nmm）n，此題考察導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考察不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最值，考察不等式的證明，運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)獲得單調(diào)性，再由單調(diào)性證明，屬于中檔題-27-解析（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由切線的斜率為3，解方程，即可獲得a；2對(duì)任意x0成立對(duì)任意x0成立，令，則問(wèn)題（2）f（x）kx轉(zhuǎn)變?yōu)榍骻（x）的最大值，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，獲得最大值，令k不小于最大值即可

17、；（3）令，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即得h（x）是（1，+）上的增函數(shù)，由nm1，則h（n）h（m），化簡(jiǎn)整理，即可得證答案（1）因?yàn)?，所以。因?yàn)楹瘮?shù)的圖像在點(diǎn)處的切線斜率為3，所以，即，所以。2）由（），知f(x)xxlnx，f(x)kx2對(duì)任意x0成立?k,對(duì)任意x0成立，令g(x)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍骻(x)的最大值求導(dǎo)數(shù)，得g(x)，令g(x)0，解得x10 x1時(shí)，g(x)0，g(x)在(0，1)上是增函數(shù)；x1時(shí)，g(x)0，g(x)在(1，)上是減函數(shù)g(x)在x1處取得最大值g(1)1k1即為所求（3）令h(x)，則h(x)由（），知x1lnx（x0），h(x)0，h(x)是(1，)

18、上的增函數(shù)nm1，h(n)h(m)，即，-28-即，即，即，答案詳解解：（1）f(x)=ax+xlnx，f(x)=a+lnx+1.f(x)的圖象在點(diǎn)x=e處的切線的斜率為3，f(e)=a+lne+1=3，解得a=1.2）由（1）知f(x)=x+xlnx，2成立，等價(jià)于k對(duì)任意x0成立，f(x)kx對(duì)任意x0令g(x)=，則問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍骻(x)的最大值.g(x)=-，令g（x）=0，解得x=10 x1時(shí)，g(x)0，g(x)在（0，1）上是增函數(shù)；x1時(shí)，g(x)0，g(x)在（1，+）上是減函數(shù).g(x)在x=1處取得最大值g(1)=1k1.（3）令h(x)=，則h(x)=.-29-由（2）知

19、x1+lnx（x0），h(x)0，h(x)是（1，+）上的增函數(shù)nm1，h(n)h(m)，即，mnlnn-nlnnmnlnm-mlnm，即mnlnn+mlnmmnlnm+nlnn，lnnmn+lnmmlnmmn+lnnn，ln(mnn)mln(nmm)n，(mnn)m(nmm)n，.解析:【解題方法提示】關(guān)于（1），先結(jié)合題意求出f(x)，令f(e)=3，即可獲得a的值；2，對(duì)任意關(guān)于（2），由（1）知f(x)=x+xlnx，f(x)kx對(duì)任意x0成立，等價(jià)于kx0成立，令g(x)=，則問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍骻（x）的最大值；求出g(x)，可分x1和0 x1，對(duì)g(x)的增減性進(jìn)行解析議論，進(jìn)而獲得g(

20、x)最大值；關(guān)于（3），由已知可知要證，即證，令h(x)=，判斷出h(x)在（1，+）上的單調(diào)性，結(jié)合nm1，問(wèn)題即可得證.-30-題型8：多元變量消元思想已知函數(shù)。（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）若在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：。答案詳解1（1），。令。當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減。當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正根，不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這時(shí)不是單調(diào)函數(shù)。綜上，的取值范圍是。（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，。令，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，即。解析:此題主要考察導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用。（1）可知函數(shù)的定義域?yàn)?，求出函?shù)的導(dǎo)數(shù)，只要判斷的正負(fù)即可?？芍?，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞

21、減。當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正根，不妨設(shè)，-31-則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這時(shí)不是單調(diào)函數(shù)。的取值范圍是。（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，。易求。令，經(jīng)過(guò)求的最小值可證結(jié)論正確。解析2（1）因?yàn)樗苑ㄒ唬喝粼?0，)單調(diào)遞增，則在(0，)上恒成立，由于開(kāi)口向上，所以上式不恒成立，矛盾。若在(0，)單調(diào)遞減，則在(0，)上恒成立，由于開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，故只須解得。綜上，的取值范圍是，)法二：令當(dāng)時(shí)，在(0，)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正根，不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這時(shí)不是單調(diào)函數(shù)-32-綜上，的取值范圍是，)（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)(0，)時(shí)，有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，令，則當(dāng)時(shí)，0，

22、在(0，)單調(diào)遞減，所以即點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的有力工具，研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)要注意函數(shù)的定義域.-33-34-解析:將a=0代入函數(shù)的表達(dá)式,求出函數(shù)f(1-2x)的表達(dá)式,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),獲得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出函數(shù)的最大值;先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),經(jīng)過(guò)議論a的范圍,進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)先求出,構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),獲得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的最小值,進(jìn)而證明結(jié)論.此題考察了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,不等式的證明問(wèn)題,是一道難題.-35-36-解析:()求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),經(jīng)過(guò)議論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即

23、可.例題：設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2x+1+alnx（aR）（1）議論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，且x1x2，證明：f（x2）答案詳解（1）由f（x）=，（x0），得=4-8a=4（1-2a），議論a時(shí)，0a時(shí)，a0時(shí)的情況，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）由f（x），得：-2，由（）中可知1，進(jìn)而f（x）2=0a=2x21x22=-2x2+1+2x2-2）lnx2，（x21），令g（t）=t2-2t+1+（2t-2t2）lnt，（t1），求出g（t）=2（1-2t）lnt，當(dāng)t（，1）時(shí)，g（t）0，進(jìn)而g（t）g（）=，問(wèn)題解決答案解：（1）f（x）=，（x0），=

24、4-8a=4（1-2a），a時(shí)，有0，f（x）0在（0，+）上恒成立，f（x）在（0，+）遞增，0a時(shí)，有0，令f（x）=0，-37-解得：x1=（x10），x2=，令f（x）0，解得：0 x或x，令f（x）0，解得：x，f（x）在（0，），（，+）遞增，在（，）遞減；a0時(shí)，有0，且中的x1=0，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：0 x，f（x）在（0，）遞減，在（，+）遞增；2）x2為極值點(diǎn)，f（x2）=0，即2-2x2+a=0，解得：a=2x2-2，由（1）中可知x21，f（x2）=-2x2+1+（2x2-2）lnx2，（x21），令g（t）=t2-2t+1+（2t-2t2）l

25、nt，（t1），g（t）=2（1-2t）lnt，當(dāng)t（，1）時(shí)，g（t）0，g（t）在（，1）上遞增，g（t）g（）=，f（x2）=g（x2）題型9：三次函數(shù)切線方程問(wèn)題已知函數(shù)。（）求在區(qū)間上的最大值；（）若過(guò)點(diǎn)存在條直線與曲線相切，求的取值范圍；-38-（）問(wèn)過(guò)點(diǎn)，分別存在幾條直線與曲線相切？（只要寫出結(jié)論）答案詳解（）由得。令，得或。因?yàn)椋?。所以在區(qū)間上的最大值為。（）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，則，且切線斜率為，所以切線方程為，因此。整理得。設(shè)，則“過(guò)點(diǎn)存在條直線與曲線相切”等價(jià)于“有個(gè)不同零點(diǎn)”。與的情況如下：所以，是的極大值，是的極小值。當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)在區(qū)間和上分別至多有個(gè)零點(diǎn)，所

26、以至多有個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)在區(qū)間和上分別至多有個(gè)零點(diǎn)，所以至多有個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)且，即時(shí)，因?yàn)椋苑謩e在區(qū)間，和上恰有個(gè)零點(diǎn)。由于在區(qū)間和上單調(diào)，所以分別在區(qū)間和上恰有個(gè)零點(diǎn)。綜上可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)存在條直線與曲線相切時(shí)，的取值范圍是。（）過(guò)點(diǎn)存在條直線與曲線相切；過(guò)點(diǎn)存在條直線與曲線相切；過(guò)點(diǎn)存在條直線與曲線相切。-39-解析:此題主要考察函數(shù)與方程。（）經(jīng)過(guò)導(dǎo)數(shù)求得最值。（）把過(guò)的直線與曲線相切轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，再分類議論。（）畫出函數(shù)圖象，找出極點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性畫出草圖，再根據(jù)給出的三個(gè)點(diǎn)的地址即可判斷出切線數(shù)量。2014高考北京卷(文),20(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)2x33

27、x.求f(x)在區(qū)間2,1上的最大值；若過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線yf(x)相切,求t的取值范圍；(3)問(wèn)過(guò)點(diǎn)A(1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線yf(x)相切？(只要寫出結(jié)論)解答：f(x)2x33x得f(x)6x23.f(x)0,得x22或x22.因?yàn)閒(2)10,f(22)2,f(22)2,f(1)1.所以f(x)在區(qū)間2,1上的最大值為f(22)2.設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,t)的直線與曲線yf(x)相切于點(diǎn)(x0,y0),y02x033x0,且切線斜率為k6x023,所以切線方程為yy0(6x023)(xx0),因此ty0(6x023)(1x0).整理得4x0

28、36x02t30.g(x)4x36x2t3,則“過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線yf(x)相切”等價(jià)于“g(x)有3個(gè)不同零點(diǎn)”.g(x)12x212x12x(x1).g(x)與g(x)的情況如下：-40-所以,g(0)t3是g(x)的極大值,g(1)t1是g(x)的極小值.當(dāng)g(0)t30,即t3時(shí),此時(shí)g(x)在區(qū)間(,1和(1,)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn),所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn).當(dāng)g(1)t10,即t1時(shí),此時(shí)g(x)在區(qū)間(,0)和0,)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn),所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn).g(0)0且g(1)0,即3t1時(shí),因?yàn)間(1)t70,g(2)t110,所以g(x)分別在區(qū)間1

29、,0),0,1)和1,2)上恰有1個(gè)零點(diǎn).由于g(x)在區(qū)間(,0)和(1,)上單調(diào),所以g(x)分別在區(qū)間(,0)和1,)上恰有1個(gè)零點(diǎn).綜上可知,當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線yf(x)相切時(shí),t的取值范圍是(3,1).過(guò)點(diǎn)A(1,2)存在3條直線與曲線yf(x)相切；過(guò)點(diǎn)B(2,10)存在2條直線與曲線yf(x)相切；過(guò)點(diǎn)C(0,2)存在1條直線與曲線yf(x)相切.題型10：洛必達(dá)法規(guī)在高考中的應(yīng)用已知函數(shù),(1)求證:;(2)若對(duì)上恒成立,求a的最大值與b的最小值.答案詳解解:(1)由得,此在區(qū)間上,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,進(jìn)而.(2)當(dāng)時(shí),“”等價(jià)于“”,“”等價(jià)于“”令,則,

30、-41-當(dāng)時(shí),對(duì)上恒成立,當(dāng)時(shí),因?yàn)閷?duì)任意,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,進(jìn)而,對(duì)任意恒成立,當(dāng)時(shí),存在唯一的使得,與在區(qū)間上的情況如下:x+-因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù),所以進(jìn)一步對(duì)任意恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)綜上所述當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立,所以若對(duì)上恒成立,則a的最大值為,b的最小值為1解析:-42-(1)求出,判斷出在區(qū)間上,得在區(qū)間上單調(diào)遞減,進(jìn)而.(2)當(dāng)時(shí),“”等價(jià)于“”,“”等價(jià)于“”構(gòu)造函數(shù),經(jīng)過(guò)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)議論參數(shù)c求出函數(shù)的最值,進(jìn)一步求出a,b的最值.答案【試題解析】(1)先求出導(dǎo)函數(shù)f(x)，利用導(dǎo)函數(shù)在上的符號(hào)判斷f(x)在上的單調(diào)性，并求出其最大值，即可證得結(jié)

31、論；(2)根據(jù)x0，將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)檎讲坏仁?，進(jìn)而轉(zhuǎn)變?yōu)榕c0的大小關(guān)系，注意對(duì)參數(shù)c的取值要分c0，c1和0c1三種情況進(jìn)行分類議論，然后利用邊界值求出a的最大值與b的最小值【解析】(1)證明：由f(x)xcosxsinx得f(x)cosxxsinxcosxxsinx.因?yàn)樵趨^(qū)間上f(x)xsinx0，所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減進(jìn)而f(x)f(0)0.進(jìn)而g(x)g(0)0對(duì)任意恒成立-43-當(dāng)0c1時(shí)，存在唯一的使得g(xcosx0c00)g(x)與g(x)上的情況如下：在區(qū)間x(0，x0)x0(x0，/2)g(x)0gx)(因?yàn)間(x)在區(qū)間【0，x0】上是增函數(shù)，所以g(x0)g(0)

32、0.進(jìn)一步，“g(x)0對(duì)任意恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)，即.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，g(x)0對(duì)任意恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)c1時(shí)，g(x)0對(duì)任意恒成立所以，若對(duì)任意恒成立，則a的最大值為，b的最小值為1.題型11:極值點(diǎn)偏移（非中點(diǎn)偏移）情況已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a，b的值；（2）如果是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，證明：答案解析-44-例題：已知函數(shù)f（x）=2lnx-x2-ax（）當(dāng)a3時(shí)，議論函數(shù)y=f（x）在，+）上的單調(diào)性；-45-（）如果x1，x2（x1x2）是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，f（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，證明：答案詳解解：（）求導(dǎo)數(shù)可得，（1分）易知f（x）在上單

33、調(diào)遞減，（2分）當(dāng)時(shí)，（3分）當(dāng)a3時(shí)，f（x）0在上恒成立當(dāng)a3時(shí)，函數(shù)y=f（x）在上單調(diào)遞減（5分）（）x1，x2（x1x2）是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，f（x1）=2lnx1-1=0，f（x2）=2lnx2-2，-ax-ax=0兩式相減可得：2ln-（）-a（x2-x1）=0，故a=-（x21），又，+x=-+（x2+x1）=，因?yàn)?，故只要研究的符號(hào)，而=，令=t，則t1，故上式=，令h（t）=（t1），求導(dǎo)數(shù)可得h（t）=0，所以h（t）=在（1，+）單調(diào)遞增，-46-所以當(dāng)t1時(shí)，h（t）h（1）=0，故0，又0，故0（14分）解析:（）求導(dǎo)數(shù)，可判當(dāng)a3時(shí)，f（x）0在上恒成立，

34、可得單調(diào)性；（）由題意可得a=-（x2+x1），代入，可得=，只要研究的符號(hào)，而=，構(gòu)造函數(shù)令h（t）=（t1），求導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性和求值范圍，進(jìn)而可得答案題型12:導(dǎo)數(shù)中的凹凸反轉(zhuǎn)已知函數(shù)，.（）若曲線與曲線在公共點(diǎn)處有共同的切線，求實(shí)數(shù)的值；（）在（）的條件下，試問(wèn)函數(shù)是否有零點(diǎn)？如果有，求出該零點(diǎn)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明原因.答案（I）；（II）無(wú)零點(diǎn).試題解析：（）設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為則由，即可求的值；（）函數(shù)是否有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)與函數(shù)在區(qū)間是否有交點(diǎn)，求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知最小值為，最大值為，進(jìn)而無(wú)零點(diǎn)試題解析：（）函數(shù)的定義域?yàn)椋?47-設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，所以

35、，解得，.由可得.聯(lián)立解得.（）函數(shù)是否有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)與函數(shù)在區(qū)間是否有交點(diǎn)，可得，令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，.可得，令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，.因此兩個(gè)函數(shù)無(wú)交點(diǎn).即函數(shù)無(wú)零點(diǎn).點(diǎn)睛：此題中涉及根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值，是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問(wèn)題，（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理成立不等式求解；（2）分別參數(shù)后轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的值域（最值）問(wèn)題求解，如果涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）轉(zhuǎn)變?yōu)閮墒煜さ暮瘮?shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，進(jìn)而成立不等式求解.-48-

36、例題：已知函數(shù)f（x）=alnx，aR（1）若曲線y=f（x）與f（x）與曲線g（x）=在交點(diǎn)處有共同的切線，求a的值；（2）在（1）的條件下，求證：xf（x）-1答案解：（1）f（x）=alnx，g（x）=，f（x）=，g（x）=，設(shè)曲線f（x）與f（x）與曲線g（x）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，由曲線y=f（x）與f（x）與曲線g（x）=在交點(diǎn)處有共同的切線，可得：alnx0=，且=，解得：x0=e2，a=，證明：（2）由（1）得：f（x）=lnx，則不等式xf（x）-1可化為：x?lnx-1，即即證明exlnxxe1-x-2H（x）=exlnx，可得H（x）=e+elnx=e（1+lnx），H（

37、x）0，解得x（，+），此時(shí)函數(shù)H（x）單調(diào)遞增；H（x）0，解得x（0，），此時(shí)函數(shù)H（x）單調(diào)遞減當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)H（x）取得極小值即最小值，H（）=-1-49-G（x）=xe1-x-2，可得G（x）=（1-x）e1-x，G（x）0，解得0 x1，此時(shí)函數(shù)G（x）單調(diào)遞增；G（x）0，解得x1，此時(shí)函數(shù)G（x）單調(diào)遞減當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)G（x）取得極大值即最大值，G（1）=-1H（x）G（x），因此xf（x）-1解析（1）函數(shù)f（x）=alnx的定義域?yàn)椋?，+），f（x）=，g（x）=，曲線f（x）與f（x）與曲線g（x）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，由于在交點(diǎn)處有共同的切線，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：

38、alnx0=，且=，聯(lián)立解得即可（2）在（1）的條件下f（x）=要證明xf（x）-1即證明exlnxxe1-x-2分別令H（x）=exlnx，令G（x）=xe1-x-2，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可證明此題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考察了恒成立問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)變方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題-50-f（x）與曲線g（x）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，由于在交點(diǎn)處有共同的切線，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意例題：已知函數(shù)f(x)=alnx,aR（1）若曲線y=f(x)與曲線g(x)=在交點(diǎn)處有共同的切線，求a的值（2）若對(duì)任意的x1,e，都有f(x)+(a+2)x恒成立，求a的取值范圍（3）在

39、（1）的條件下，求證：xf(x)-1答案(1)因?yàn)閥=f(x)=alnx，則=，因?yàn)間(x)=，所以=因?yàn)榍€y=f(x)與曲線g(x)=在交點(diǎn)處有共同的切線所以=且alnx=解得a=，x=,即切點(diǎn)是（，e）-51-2）由題意知：alnx+(a+2)x在x1,e恒成立設(shè)h(x)=alnx+-(a+2)x,即轉(zhuǎn)變?yōu)樽Ch(x)=alnx+-(a+2)x0在x1,e恒成立所以=+2x-a-2=0，解得=1,=當(dāng)1時(shí)，即a2時(shí)，0，所以h(x)在x1,e單增，所以h(x)在x=1取得最小值h(1)=-1-a要使h(x)=alnx+-(a+2)x0在x1,e恒成立，必有h(1)=-1-a0，解得a-1所

40、以a-1時(shí)，h(x)=alnx+-(a+2)x0在x1,e恒成立當(dāng)1e，即2a2e，令=0，解得x=因?yàn)閔(x)在1,上單減，在,e上單增，所以h(x)在x=取得最小值，最小值為h()=aln-a即需aln-a0，因?yàn)?a2e，所以需要：ln-10令H(x)=ln-1,=-，因?yàn)閤1,e，所以0，所以H(x)在x1,e上單增又因?yàn)镠(2e)=-0，且2a2e，所以H（a）=ln-1H(2e)0所以不符合題意舍去當(dāng)e，即a2e，0，所以h(x)在x1,e單減，所以h(x)在x=e取得最小值h(e)=a+-(a+2)e由題意知：h(e)=a+-(a+2)e0，解得a2e，所以舍去綜上所述a2時(shí)，對(duì)

41、任意的x1,e，都有f(x)+(a+2)x恒成立（3）因?yàn)橛桑?）知：a=，所以需證：lnx-1即證：G(x)=lnx-+1=lnx-+10因?yàn)楹瘮?shù)的增減速度：對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)0時(shí)，答案（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析解析【解析】試題解析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解與的值，聯(lián)立刻可求解的值；（2）-61-利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，；（3）由題意可猜測(cè)：當(dāng)時(shí)，的圖象恒在切線的上方，即證時(shí)，可組成新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定在上的單調(diào)性，獲得在上最大值，進(jìn)而證明之試題解析：（1），由題設(shè)得，解得，（2）法1：由（1）知，故在上單調(diào)遞增，所以，法2：由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，

42、在上單調(diào)遞增，所以，（3）因?yàn)?，又由?）知，過(guò)點(diǎn)，且在處的切線方程為，故可猜測(cè)：當(dāng)時(shí)，的圖象恒在切線的上方下證：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，由（2）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，存在，使得，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故由（2）知，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)-62-所以，即所以，即成立，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值；不等式關(guān)系的證明【方法點(diǎn)晴】此題主要考察了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義（確定切線方程）、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值和不等式恒成立問(wèn)題的求解，著重考察了分類議論和轉(zhuǎn)變的思

43、想方法，試題難度較大，此題第三問(wèn)的解答中，把不等式的證明轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)，的圖象恒在切線的上方，進(jìn)而得時(shí)，恒成立，經(jīng)過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定新函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而得到證明題型14：導(dǎo)數(shù)中的卡根思想已知函數(shù)，。（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值。答案詳解（1）由題可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，且。?dāng)時(shí)，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由可得，或（舍去），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減。綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。-63-（2）令（），所以（）。當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以在上是增函?shù)，又因?yàn)椋躁P(guān)于的不等式不能恒成立。當(dāng)時(shí)

44、，令，得。所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。故函數(shù)的最大值為。令，由可知在內(nèi)是減函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以使得成立的最小的整數(shù)值為，即便得，恒成立的整數(shù)的最小值為。綜上：整數(shù)的最小值為。解析:此題主要考察導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用。（1）要求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，則對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)的值進(jìn)行分類議論，求出在和時(shí)的單調(diào)區(qū)間即可。-64-（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)變成恒成立，先求，然后分別議論當(dāng)和時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求的最大值，若最大值小于等于零，則恒成立，否則不是恒成立。且是整數(shù)，由此確定的最小值。例題：已知函數(shù)1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；2）若關(guān)于x的不等式，(x)(

45、a-l)x-l恒成立，求a的最小整數(shù)值.答案-65-已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.答案(1)當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)2.解析(1)首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后對(duì)參數(shù)分類議論可適合時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)樵谏虾愠闪ⅲ疾旌瘮?shù)的性質(zhì)可得整數(shù)的最小值是2.試題解析：(1)，函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，則或(舍負(fù))，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

46、-66-(2)解法一：由得，原命題等價(jià)于在上恒成立，令，則，令，則在上單調(diào)遞增，由，存在唯一，使，.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，時(shí)，又，則，由，所以.故整數(shù)的最小值為2.解法二：得，令，-67-時(shí)，在上單調(diào)遞減，該情況不可立.時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，恒成立，即.令，顯然為單調(diào)遞減函數(shù).由，且，當(dāng)時(shí)，恒有成立，故整數(shù)的最小值為2.綜合可得，整數(shù)的最小值為2.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考察都特別突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考察主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(

47、1)考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題(4)考察數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用-68-例題：此題考察了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)零點(diǎn)判斷定理的應(yīng)用,屬于中檔題-69-題型15：導(dǎo)數(shù)中含三角函數(shù)式的證明-70-71-例題：已知函數(shù).（）證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（）若，求的取值范圍.答案（）見(jiàn)解析;（）.試題解析：（）利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)證明即可；（）利用導(dǎo)函數(shù)求解，對(duì)進(jìn)行討論，構(gòu)造函數(shù)思想，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，求解的取值范圍.試題解析：（）因?yàn)?，所以，于是（等?hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立）故函數(shù)在上

48、單調(diào)遞增-72-（）由（）得在上單調(diào)遞增，又，所以，（）當(dāng)時(shí)，成立（）當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，所以，故時(shí)，（）由（）式可得，令，則由（）式可得令，得在上單調(diào)遞增，又，所以存在使得，即時(shí)，所以時(shí)，單調(diào)遞減，又，所以，即時(shí)，與矛盾綜上，知足條件的m的取值范圍是例題：設(shè)(1)求證:當(dāng)時(shí),;(2)若不等式對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍答案-73-(1)證明:,則,設(shè),則,當(dāng)時(shí),即為增函數(shù),即在上是增函數(shù),所以.(2)解法一:由(1)知時(shí),設(shè),則,設(shè),則,當(dāng)時(shí),所以為增函數(shù),所以,所以為增函數(shù),所以,所以對(duì)任意的恒成立.又時(shí),所以時(shí),對(duì)任意的恒成立.當(dāng)時(shí),設(shè),則,所以存在實(shí)數(shù),使得任意,均有

49、,所以在為減函數(shù),當(dāng)時(shí),即時(shí)不符合題意綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為(2)解法二:因?yàn)榈葍r(jià)于設(shè),則,設(shè),則,-74-當(dāng)單調(diào)遞減,當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),恒成立,在是增函數(shù),所以,即,即所以時(shí),對(duì)任意恒成立.當(dāng)時(shí),存在,當(dāng)時(shí),在是減函數(shù),當(dāng)時(shí),即,即,不符合題意,故不能知足題意,綜上所述,時(shí),對(duì)任意恒成立.解析此題主要考察導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)，考察了轉(zhuǎn)變思想與分類議論思想、恒成立問(wèn)題與邏輯推理能力.(1)求導(dǎo)并判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值即可得出結(jié)論；(2)法一：由(1)知時(shí),設(shè),則,求導(dǎo)并判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出的最小值，即可證明對(duì)任意的恒成立，時(shí)，對(duì)任意的恒成立；當(dāng)時(shí),設(shè),判斷函數(shù)的單調(diào)性

50、，則易得結(jié)論；法二:由題意可得恒成立，設(shè),則,設(shè),求導(dǎo)并判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值即可得出結(jié)論.-75-例題：設(shè)f（x）=cosx+1（）求證：當(dāng)x0時(shí)，f（x）0；（）若不等式eaxsinxcosx+2對(duì)任意的x0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍答案考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題專題：綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用解析：（）求導(dǎo)數(shù)，證明f（x）=xsinx為增函數(shù)，進(jìn)而可得f（x）在x0時(shí)為增函數(shù)，即可證明當(dāng)x0時(shí)，f（x）0；（）解法一：證明以，設(shè)，證明G（x）為增函數(shù)，所以G（x）G（0）=0，所以exsinxcosx+2對(duì)任意的x0恒成立，再分類議論，利用不等式eaxsinxcosx+2對(duì)任意的x0恒

51、成立，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；解法二：因?yàn)閑axsinxcosx+2等價(jià)于axln（sinxcosx+2），設(shè)g（x）=axln（sinxcosx+2），分類議論，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍解答：（）證明：（x0），則f（x）=xsinx，設(shè)（x）=xsinx，則（x）=1cosx，（2分）x0時(shí)，（x）=1cosx0，即f（x）=xsinx為增函數(shù)，所以f（x）f（0）=0，即f（x）在x0時(shí)為增函數(shù)，所以f（x）f（0）=0（4分）（）解法一：由（）知x0時(shí)，sinxx，所以，（6分）設(shè)，則G（x）=exx1，設(shè)g（x）=exx1，則g（x）=ex1，當(dāng)x0時(shí)g（x）=ex10，所以g（x）=

52、exx1為增函數(shù)，所以g（x）g（0）=0，所以G（x）為增函數(shù)，所以G（x）G（0）=0，所以exsinxcosx+2對(duì)任意的x0恒成立（8分）又x0，a1時(shí)，eaxex，所以a1時(shí)eaxsinxcosx+2對(duì)任意的x0恒成立（9分）a1時(shí)，設(shè)h（x）=eaxsinx+cosx2，則h（x）=aeaxcosxsinx，h（0）=a10，所以存在實(shí)數(shù)x00，使得任意x（0，x0），均有h（x）0，所以h（x）在（0，x0）為減函數(shù)，所以在x（0，x0）時(shí)h（x）h（0）=0，所以a1時(shí)不符合題意-76-綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，+）（12分）（）解法二：因?yàn)閑axsinxcosx+2等價(jià)于a

53、xln（sinxcosx+2）（6分）g（x）=axln（sinxcosx+2），則可求，（8分）所以當(dāng)a1時(shí)，g（x）0恒成立，g（x）在0，+）是增函數(shù)，所以g（x）g（0）=0，即axln（sinxcosx+2），即eaxsinxcosx+2所以a1時(shí)，eaxsinxcosx+2對(duì)任意x0恒成立（9分）當(dāng)a1時(shí)，一定存在x00，知足在（0，x0）時(shí)，g（x）0，所以g（x）在（0，x0）是減函數(shù)，此時(shí)一定有g(shù)（x）g（0）=0，即axln（sinxcosx+2），即eaxsinxcosx+2，不符合題意，故a1不能知足題意，綜上所述，a1時(shí)，eaxsinxcosx+2對(duì)任意x0恒成立（1

54、2分）點(diǎn)評(píng)：此題考察函數(shù)恒成立問(wèn)題，考察導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考察分類議論的數(shù)學(xué)思想，考察學(xué)生解析解決問(wèn)題的能力，難度大題型16：極值、最值問(wèn)題12分）已知函數(shù)，且。（1）求；（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且。答案詳解（1）方法1：的定義域?yàn)?。設(shè)，則,等價(jià)于。因?yàn)?，故，而，得。若，則。當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增。所以是的極小值點(diǎn)，故。綜上，。方法2：因?yàn)楹瘮?shù)表達(dá)式為，所以，所以等價(jià)于。-77-令，則，對(duì)進(jìn)行議論：若，顯然在時(shí)，不符合條件；若，在恒成立，也即在定義域內(nèi)單調(diào)減少，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，不符合題意；若，由題意可知在單調(diào)減少，在單調(diào)遞增，若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；若，則在區(qū)間上單

55、調(diào)遞減，不符合題意，故；（2）代入可得；，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，所以在有唯一解記為，在有解。所以及的情況如下，所以存在唯一的極大值點(diǎn)，且，。所以，因?yàn)?，所以。又由可得，所以，記（），則，當(dāng)，所以。綜上所述存在唯一的極大值點(diǎn)，且。解析:此題主要考察導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用。（1）由解析式可知，所以等價(jià)于，分情況議論即可。（2）根據(jù)（1）獲得，判斷的解的情況，且知足，化簡(jiǎn)的表達(dá)式，利用的范圍及函數(shù)單調(diào)性求證。-78-題型17：導(dǎo)數(shù)中的距離問(wèn)題1、當(dāng)點(diǎn)M是曲線的切線中與直線y=x+2平行的直線的切點(diǎn)時(shí),MN取得最小.求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令它為1,求得x=1,即可獲得切點(diǎn)坐標(biāo),再由點(diǎn)到直線的距

56、離公式計(jì)算即可獲得最小值.此題考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率,同時(shí)考察兩直線平行的條件,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式是解題的重點(diǎn).1、已知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，則的最小值.答案.解析要求的最小值，即求直線上的點(diǎn)到曲線的距離的最小值.令，則，解得或（舍），而，-79-所以點(diǎn)到直線的距離為直線上的點(diǎn)到曲線的最小值，所以的最小值為.考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用；2、點(diǎn)到直線的距離公式2、設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為_(kāi)答案解析解析試題：考慮到兩曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求丨PQ丨的最小值可轉(zhuǎn)變?yōu)榍驪到直線y=x的最小距離，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線上斜率為

57、1的切線方程，進(jìn)而得此距離解：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱.函數(shù)上的點(diǎn)到直線的距離為.設(shè)函數(shù).由圖象關(guān)于對(duì)稱得：最小值為.考點(diǎn)：反函數(shù)點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程的求法，同時(shí)考察了化歸的思想方法，屬于中檔題3、設(shè)點(diǎn)P在曲線y=ex上,點(diǎn)Q在曲線y=ln2x上,則|PQ|的最小值為.答案(1-ln2)解析-80-函數(shù)y=ex和函數(shù)y=ln2x互為反函數(shù),它們的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則只有直線PQ與直線y=x垂直時(shí)|PQ|才能取得最小值.設(shè)P(x,ex),則點(diǎn)P到直線y=x的距離為d=,令g(x)=ex-x(x0),則g(x)=ex-

58、1.g(x)=ex-10,得xln2;g(x)=ex-10,得0 x0,所以dmin=.則|PQ|=2dmin=(1-ln2).4、設(shè)點(diǎn)P在曲線設(shè)點(diǎn)P在曲線上,點(diǎn)Q在曲線上,則PQ的最小值為答案由獲得,其反函數(shù)就是可見(jiàn),P、Q兩點(diǎn)所在的曲線關(guān)于直線對(duì)稱設(shè)那么,P到直線,即的距離令-81-,當(dāng)時(shí)有此時(shí),PQ的最小值5、的點(diǎn)之間的距離的最小值.設(shè)與直線y=3x-2平行且與曲線f(x)相切的切點(diǎn)為P(x0,y0),求出切點(diǎn)P到直線y=3x-2的距離d,則的最小值為-82-6、7、設(shè)直線與函數(shù)，的圖象分別交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)達(dá)到最小時(shí)的值為。答案詳解解析:此題主要考察對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和最值。設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)

59、得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)。所以當(dāng)時(shí)，所設(shè)函數(shù)的最小值為，所求的值為。故此題正確答案為。-83-8、-84-9、已知直線分別與函數(shù)和交于，兩點(diǎn)，則，之間的最短距離是（）。A:B:C:D:答案詳解D正確率:35%,易錯(cuò)項(xiàng):B解析:此題主要考察函數(shù)模型及其應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。要使直線分別與函數(shù)和有交點(diǎn)，需知足，且設(shè)是和的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，是和的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，所以有，所以，兩點(diǎn)的距離為，令，所以（），當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以。故此題正確答案為D。10、已知直線ya與函數(shù)及函數(shù)的圖象分別相交于A,B兩點(diǎn)，則.答案詳解【答案】【解析】-85-解析試題：直線ya與函

60、數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為A，直線ya與函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為B，由兩點(diǎn)間的距離公式，得；也許考點(diǎn)：指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化為此題主要考察點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：解此題的重點(diǎn)是求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)?？疾鞂W(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題11、【河北衡水中學(xué)2017屆高三上學(xué)期五調(diào)，12】已知直線分別與函數(shù)和交于兩點(diǎn)，則之間的最短距離是（）ABC.D答案D【解析】由得，由得，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，應(yīng)選D.12、-86-、題目：已知直線y=b與函數(shù)f(x)=2x+3和g(x)=ax+lnx分別交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|的最小值為2，則a+b=_.考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義解析：設(shè)A（x1，b），