電子雙縫衍射的蒙特卡羅模擬

1、電子雙縫衍射的蒙特卡羅模擬物理15011509030115崔汪明摘要：本實驗通過蒙特卡羅模擬的方法模擬出了電子雙縫衍射的物理實驗現(xiàn)象，并通過控制變量法逐個研究了實驗變量(電子加速電壓、雙縫的寬度、間距，縫與屏的距離)對電子衍射圖像的影響，總結(jié)出其原因。同時還采用蒙特卡羅方法模擬出了氫原子的電子云圖。通過在網(wǎng)上查閱資料，在MATLAB中編寫程序，研究圖像最后再結(jié)合理論知識分析結(jié)果完成了這次的設(shè)計性實驗。一、前言蒙特卡羅方法(MonteCarlomethod)，也稱統(tǒng)計模擬方法，又稱隨機抽樣法、統(tǒng)計實驗法或隨機模擬法。蒙特卡羅方法的基本思想是：為了求解數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)或生產(chǎn)管理等方面的問題，首

2、先建立一個與求解有關(guān)的概率模型或隨機過程，使它的參數(shù)等于所求問題的解，然后通過對模型或過程的觀察或抽樣實驗來計算所求參數(shù)的統(tǒng)計特征，最后給出所求解的近似值。蒙特卡羅方法能夠比較逼真地描述事物的特點及物理實驗過程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問題，很少受幾何條件限制，收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)。在許多工程、通訊、金融等技術(shù)問題中，所研究的控制過程往往不可避免地伴有隨機因素，若要從理論上很好地揭示實際規(guī)律，必須把這些因素考慮進去。理想化的方法是在相同條件下進行大量重復(fù)實驗，采集實驗數(shù)據(jù)，再對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，得出其規(guī)律。但是這樣需要耗費大量的人力、物力、財力，尤其當(dāng)一個實驗周期很長或是一個破壞性實驗時

3、，通過實驗采集數(shù)據(jù)幾乎無法進行，此時蒙特卡羅方法就是最簡單、經(jīng)濟、實用的方法。因此，蒙特卡羅模擬廣泛應(yīng)用在粒子輸運問題、統(tǒng)計物理、典型數(shù)學(xué)問題、真空技術(shù)、激光技術(shù)、醫(yī)學(xué)、生物、探礦等方面。蒙特卡羅方法研究的問題大致可分為兩種類型，一種是問題本身是隨機的，另一種本身屬于確定性問題，但可以建立它的解與特定隨機變量或隨機過程的數(shù)字特征或分布函數(shù)之間的聯(lián)系，因而也可用隨機模擬方法解決，如計算多重積分、求解積分方程、微分方程、非線性方程組、求矩陣的逆等。本文通過蒙特卡羅方法模擬電子雙縫衍射及氫原子的電子云圖像，理解蒙特卡羅方法的基本思想，掌握使用蒙特卡羅方法的實驗方法；觀察不同變量下的電子衍射圖像，得出

4、不同變量對電子衍射圖像的影響。二、實驗原理電子雙縫衍射是一種典型的隨機物理現(xiàn)象，使用蒙特卡羅模擬可以方便地再像電子衍射過程。電子雙縫衍射是微觀粒子具有波動性的重要證明實驗，開始是作為假想實驗而提出的，1988年才由Tonomura等人做出了該實驗。鑒于一般教學(xué)儀器不具備進行該實驗的條件，而運用蒙特卡羅隨機模擬方法，可以借助計算機的數(shù)據(jù)可視化技術(shù)、繪圖技術(shù)，構(gòu)建出電子雙縫衍射的動態(tài)隨機過程，清晰地演示出電子衍射的全過程。運用蒙特卡羅方法來處理電子衍射問題，首先必須根據(jù)要處理問題的規(guī)律，建立一個概率模型，然后進行隨機抽樣實驗，從而得出一組按已知分布的隨機數(shù)序列。最后依據(jù)這一隨機數(shù)序列，借助計算機程

5、序設(shè)計語言或圖形軟件，就可實現(xiàn)電子雙縫衍射動態(tài)隨機過程的模擬。1.概率模型的構(gòu)建圖1是電子雙縫衍射的示意圖。衍射屏位于X0,Y平面，觀測屏位于X0Y平面，縫電子雙縫衍射的Matlab程序如下，共產(chǎn)生1000個電子電子雙縫衍射的Matlab程序如下，共產(chǎn)生1000個電子S和S的寬度均為a,兩縫12中心間距為(a+b)，衍射屏到觀測屏的距離為D。設(shè)動量為p、能量為E的自由電子沿Z軸正方向入射到雙縫，其波函數(shù)為屮=烈用一剛卄2-1)圖1電子雙縫衍射示意圖設(shè)在t=0時刻，波前到達雙縫處(Z=0),由式(6-2-1)可知，在雙縫處波函數(shù)為一常數(shù)。為簡單起見，設(shè)在衍射屏上的波函數(shù)為：1,-+|)0,xfi

6、(a+Xf?2Xf(a+)b)_bxf(a+b(2-2)根據(jù)費曼的路徑積分理論，電子經(jīng)過雙縫而在t時刻到達觀測屏上P點的衍射波函數(shù)為/、sin(上豊sin0)叭叩)如吟in0os卜eli(PzEt)2-3)式中，k=2n/入所以，電子經(jīng)過雙縫在觀測屏上P點出現(xiàn)的幾率密度為(巧=|Wt)|2=4|Wo|22-4)設(shè)D(a+b)，則有2-5)代入式(2-4)有-2WX)=t)|2=WqCOS,2sinw0in2(A(Ax)2COS2(Bx)(26)Ag丁D(a+b)式中，根據(jù)上述電子在觀測屏上出現(xiàn)的幾率密度函數(shù)進行隨機抽樣，便得到按此幾率密度函數(shù)分布的隨機數(shù)序列。在蒙特卡羅方法中，有多種方法可實現(xiàn)

7、按已知分布的隨機抽樣，這里采用舍選法。舍選法的具體做法是：(1)計算機在一定的范圍內(nèi)隨機地選取觀測屏一坐標(biāo)點(x,y),ii并計算H=w(x)/w的值。其中，w(x)是幾率密度函數(shù)w(x)在點(x,y)的值，w是幾率密maxmax度函數(shù)的最大值；(2)計算機產(chǎn)生一個0至1之間均勻分布的隨機數(shù)M；(3)將H與M進行比較，若H=M,則選取該點，若HVM,則舍去該點，并重復(fù)1)至(3)，重新選擇坐標(biāo)點。通過以上方法，便可以得到一個按w(x)分布的隨機數(shù)序列。這個隨機數(shù)序列便是實現(xiàn)電子衍射隨機運動過程的依據(jù)。利用上述生成的按w(x)分布的隨機數(shù)序列，借助計算機程序設(shè)計語言或圖形軟件，就可以實現(xiàn)電子雙縫

8、衍射動態(tài)隨機過程的模擬。具體實現(xiàn)的方法有很多種，例如采用C程序或者C+程序模擬隨機過程，使用Gnuplot軟件輸出動態(tài)隨機過程。這里采用編寫Matlab程序的方法來實現(xiàn)，用Matlab的rand函數(shù)來產(chǎn)生均勻分布的隨機數(shù)，用plot函數(shù)來實現(xiàn)電子衍射點的顯示。取a=2X10-7m，b=lX10-6m,D=0.25m,加速電子的電壓為U=1000V。根據(jù)入二h/V(2meU),可算出入射電子的波長。從式(2-6)可看出，電子在觀測屏上出現(xiàn)的最大幾率密度為w,即w=w，所以0max02-7)%設(shè)置普朗克常數(shù)，kg*m2*s-i%設(shè)置電子質(zhì)量，kg%設(shè)置電子電荷，C%電子加速電壓為1000V%縫的寬

9、度為0.2um%兩縫間隔lum%縫與屏的間距為0.25m%計算電子波長rd%計算A和B%設(shè)置坐標(biāo)軸標(biāo)度范圍%設(shè)置坐標(biāo)面背景顏色2.電子雙縫衍射的Matlab程序及可視化電子雙縫衍射的Matlab程序如下，為使得到的圖像更清晰，設(shè)置共產(chǎn)生2000個電子。h=6.62559e-34;m=9.10908e-31;e=1.6021e-19;U=1000;a=2e-7;b=1e-6;D=0.25;rd=h/sqrt(2*m*e*U);A=(pi*a)/(rd*D);B=pi*(a+b)/(rd*D);axis(-5e-5,5e-5,-4e-5,4e-5)set(gca,color,0.122,0.012

10、,0.62)title(電子雙縫衍射動態(tài)隨機過程演示，fontsize,16,color,k)%設(shè)置標(biāo)題i=l;whilei=M%用分支結(jié)構(gòu)選擇符合條件的坐標(biāo)點holdon%保留當(dāng)前坐標(biāo)系中已存在的圖形對象h_point=plot(x,y,.r,EraseMode,none,markerSize,10);%用紅顏色顯示符合條件的坐標(biāo)點，并賦句秉值給h_pointi=i+1;pause(0.001)%暫停一小段時間set(h_point,color,w)%將當(dāng)前坐標(biāo)點由紅顏色變?yōu)榘最伾玡ndend三、材料與方法實驗材料，計算機，Matlab軟件或者Octave軟件。實驗內(nèi)容包括：研究電子加速電壓

11、對電子雙縫衍射圖像的影響并分析原因，控制其他三個變量的大小不變，改變電子加速電壓，以U=1OOOV,a=2e-7m,b=le-6m,D=0.25m為對照組觀察兩組圖像的差別，得出結(jié)論并結(jié)合理論知識分析原因；研究雙縫的寬度、間距，縫與屏之間的距離對電子衍射圖樣的影響，方法與上面相同，改變所要研究的對象大小，保持其他變量不變，對比圖像，得出結(jié)論。四、實驗結(jié)果與討論基礎(chǔ)性實驗內(nèi)容：經(jīng)過Matlab模擬出的實驗圖像:圖3改變加速電壓U=2U。圖2對照組，U。、a。、5D0-44JD12345-5-4-3-2”d圖4改變縫寬a=2a0圖5改變縫間距b=2b。-2-101235圖6改變縫與屏的距離D=2D

12、0實驗結(jié)果分析：對比圖3跟圖2可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)增大電子加速電壓時，電子條紋會變窄條紋間距也會變窄，條紋數(shù)量增加每條條紋上的電子數(shù)量無多大變化；對比圖2和圖4可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)增大縫的寬度時，電子條紋會變窄，條紋間距也會變窄，而且電子分布更往中間部分集中，條紋數(shù)量增加；對比圖2和圖5可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)增大縫的間距時，電子條紋會變窄，條紋間距也會變窄，條紋數(shù)量會增加，電子分布更均勻而不是往中間集中，這點與上面一條相反；對比圖2和圖6可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)增大縫與屏的距離時，電子條紋會變寬，條紋間距也會變寬，這與上面三條都相反，條紋數(shù)量減少，電子分布相較于圖2更加均勻。設(shè)計性試驗內(nèi)容利用氫原子概率密度函數(shù)進行隨機抽樣得到概率

13、密度函數(shù)分布的隨機序列，借助Matlab軟件編程，模擬出氫原子的電子云圖。根據(jù)量子力學(xué)原理，氫原子中電子的幾率分布由電子的定態(tài)波函數(shù)可以唯一確定。求解薛定鍔方程，可以得到在球極坐標(biāo)系中電子的定態(tài)波函數(shù)為仇爐）=Rnl（r）Yim（e、甲）其中為徑向函數(shù)，勒加0切為球諧函數(shù)，為主量子數(shù),Ml.2I為角量子數(shù)，為磁量子數(shù)。徑向函數(shù)表達式為其中7為原子序數(shù)（氫原子7-I），是第一玻爾半徑，汕是歸一化常數(shù)，厶*U是締合拉蓋爾多項式(nI1)!2n(n+Z)!3球諧函數(shù)了九（伏）為YM0,卩）=斶機曰叫cos00恥其中礦是締合勒讓德函數(shù),/(2/+l)(l-H)!y4%(1+|m|)!當(dāng)氫原子處于廠仏門

14、態(tài)時,電子在(r,e.cp)點周圍的體積元(1廠山加廠(W中出現(xiàn)的概率為Wnlm(r,0,ip)dV=tpnlm(r,9,(p)2dV因此概率密度為0,0)=(仇卩)F在網(wǎng)上查閱得到氫原子各能級核外電子的概率密度函數(shù)如下：1S能級，Wi00(r,0,)=l/(na03)*exp(-2r/a0);2S能級，W200(r,0,(b)=1/(32na)3)*(2-r/a)*exp(-r/a)；2P能級，W(r,0,)=l/(32na5)*r2*exp(-r/a)*cos20;21000最大概率密度：Wmax=1/(16naje2);其中，a0=0.529e-10m(第一玻爾軌道半徑)。模擬方法同基礎(chǔ)

15、實驗，也是用取舍法，設(shè)Y=W/Wmax，計算機隨機產(chǎn)生一個0到1之間均勻分布的隨機數(shù)M,將Y與M做比較，若Y=M,則保留該點，否則舍去，重復(fù)上述步驟。Matlab模擬，程序如下：%給a0賦值%顯示原子核位置%設(shè)置坐標(biāo)軸范圍a0=5.29e-11;plot3(0,0,0,m,markerSize,32)axis(-5e-105e-10-5e-105e-10-5e-105e-10)gridonxlabel(x);ylabel(y),zlabel(z);i=1;whilei=3000TH=pi*rand;PHI=2*pi*rand;R=9*a0*rand;Y=0.5*(2-(R/a0)廠2*exp(

16、2-(R/a0);x,y,z=sph2cart(TH,PHI,R);M=rand;ifY=Mholdon%設(shè)置網(wǎng)絡(luò)%標(biāo)注x、y、z軸%用循環(huán)結(jié)構(gòu)控制電子位置點的顯示數(shù)目%產(chǎn)生隨機數(shù)并賦值給TH%產(chǎn)生隨機數(shù)并賦值給PHI%產(chǎn)生隨機數(shù)并賦值給R%計算Y%將空間球坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為空間直角坐標(biāo)系%產(chǎn)生隨機數(shù)并賦值給M%用分支結(jié)構(gòu)選擇符合條件的坐標(biāo)點%保留當(dāng)前坐標(biāo)系中已存在的圖像對象point=plot3(x,y,z,.r,EraseMode,none,markerSize,5);%用綠顏色顯示符合條件的坐標(biāo)點，并賦句柄值給pointi=i+1;%暫停0.01秒%將當(dāng)前坐標(biāo)點由紅色變?yōu)榫G顏色pause(0.

17、01)set(point,color,g)endend這是模擬is能級的電子云，運行以上程序可得到核外電子三維動態(tài)隨機運動過程的模擬圖像（如圖7）,改變程序中Y的定義式即可得到不同能級的電子云圖。圖92P電子電子云從模擬的圖中可以看出，氫原子1S能級電子云呈球形，而P能級呈紡錘形，這與理論的推導(dǎo)結(jié)果相符合，五、結(jié)論蒙特卡羅方法通過抓住事物運動的幾何數(shù)量和幾何特征，利用數(shù)學(xué)方法來加以模擬，即進行一種數(shù)字模擬實驗。它是以一個概率模型為基礎(chǔ)，按照這個模型所描繪的過程，通過模擬實驗的結(jié)果，作為問題的近似解。這種方法在處理隨機問題時十分有效，蒙特卡羅方法可以大大降低實驗難度，不需要嚴(yán)苛的實驗環(huán)境，對個人的操作要求也很低，理解和掌握這種方法在以后解決某些問題的過程中有很大的借鑒意義。六、思考題縫的大小對模擬的電子雙縫衍