小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)分類練習(xí)題及答案

1、小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)串講名師輔導(dǎo)第1課工程問題練習(xí)題附答案六年級(jí)奧數(shù)：第一講工程問題笫一講工程問題工程問題是應(yīng)用題中的一種類型.在工程問題中，一股妥岀現(xiàn)三個(gè)量：工作總量、工作時(shí)間（完成工作總量所需的吋間）和二作效率單位吋間內(nèi)完成的工作量-這三個(gè)量之間有下述一些關(guān)系式；工作效率X工作時(shí)間二工作總量,.工作總量亠工作時(shí)間二工作嫌率，.工作總量-工作效率=工作時(shí)間.為敘述方便，把這三個(gè)量簡稱工量、工時(shí)和工數(shù).例1一項(xiàng)工程，甲乙兩隊(duì)合作需宙天完成，乙丙兩隊(duì)合作需瑋天完成，甲丙兩隊(duì)合作需刃天完成，如果由圧乙丙三隊(duì)合作需幾天完成工分析設(shè)這項(xiàng)工程為1個(gè)單位，則甲、乙合作的工效為命，乙、而合作的工效為占用丙合

2、作的工效為因此甲、乙丙三隊(duì)合作的工效的兩倍為存存呂，所以甲、乙丙三臥合作的工效対（存存寺）-2=因此三隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程的時(shí)間為1-=10C天齡噲+護(hù)存2十2十存10天）答：甲、乙、丙三隊(duì)合作需10天気成.說明：我們通常把工量“一項(xiàng)工程看成一個(gè)單位.這樣，工效就用工吋的創(chuàng)數(shù)來表示.如例1中甲乙兩隊(duì)合作的工時(shí)為12天，那么工效就為-廠1二它表示甲乙兩隊(duì)一天完成全部丁程的丄.例2師徒二人合作主產(chǎn)一批零件，$天可以気成任務(wù)師博先做5天后，因事外出，由徒弟接著做號(hào)天.共完成任務(wù)的帶.如杲每人單獨(dú)做這批零件各需幾天？分析設(shè)一批零件為單位勺誠.其中&天完成任務(wù)，幷一袤示師徒的工蝕6和.要求每人單獨(dú)做各需幾

3、天，首先要求出各自的工效，關(guān)犍在于把師傅先做5天接著徒弟做3天轉(zhuǎn)化為師徒二人合作$天師傅再做2天.TOC o 1-5 h z711鶴師傅工妮心一丄乜亠2=呂lO610卷弟T如-=丄-.佃菲丄610師傅單獨(dú)做需幾天：召二（天）;徒弟單獨(dú)做需幾天：1*=上（天.答：如杲單獨(dú)做，師傅需10天，徒弟需15天.洌3項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需匹天，乙單獨(dú)完成需9天-若甲先做若干天后乙接著做，共用天完成，問甲做了幾天分暫解答工程問題時(shí)，除了崩一股的算術(shù)方法解答外，還可以根據(jù)題目的條件，找到等量關(guān)系，列方程解題。w=設(shè)甲做了工天.那缶甲完成工作量+甌乙做的天數(shù)W-紺乙完成工作量10藍(lán)）xl,.囲此右益+10-簽）x

4、=1,11Q-怎十-=1129兩邊同乘36,W到；去+4Q-4蓋=3$,工二4.答甲做了4天-例4一件工作甲尢做加卜時(shí)，乙接著做遼外時(shí)可以完成.甲先做附卜吋，乙接著做E小時(shí)也可以完成.如果甲僦討卜時(shí)后由乙接著做，還需要多必小時(shí)龍成7分暢設(shè)一件工作為單位91甲做&小時(shí)，乙再做屹小時(shí)完成或者甲先做附卜吋，乙再做弘卜吋都可気成，用圖袤示它們的關(guān)系如下】H?TOC o 1-5 h z.乙6小時(shí)4S-.IIIIJ；、甲椒&小時(shí)；乙做12小時(shí)IIII甲汕時(shí)；:.1111-.X%一.-甲灘小時(shí)乙陋訃時(shí)由圖不難看出甲2小時(shí)工作量=乙6小時(shí)工作5,甲“卜時(shí)工作量=乙3小時(shí)工作量.可用代換方法求解問題.解：若由乙

5、單獨(dú)做共需幾小時(shí)：6皺3+12=3。（？卜吋）.若由甲單曲做需幾中時(shí):2+6-5=10（小時(shí)）.甲先做3小時(shí)后乙按著做還需幾小時(shí)10-%.3:=21小時(shí).答:乙還需丑小時(shí)完成；例5筑路隊(duì)預(yù)計(jì)：30天修一條公路.先由18人修12天只完成全部工程的$如果想提前天完工，還需增加多少人？分析由12人修12天完成了全部工程的可通過1H2求出用一天完成扌工作量共需要的總?cè)藬?shù)，也可通過13X吃求出用一人完成扌工作量；共需姜的總天數(shù)-所以由#-02X12）求出1人1天完成全部工程的幾分之幾（即一人的工效）.解1人1天気成全部工程的幾分之幾即一人的工裁）:卜拱T剩余工作量若更提前&天完成共需多少人芥_2_126

6、48=3,（人）.需増加幾人|36-13=18：A3.客還要増加菇人.例&蓄水池有一條進(jìn)水管和一條排水管.嚶權(quán)滿一池爪工單開進(jìn)水管需5小時(shí)排光一池水，.單開排水管需3小時(shí).現(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果援進(jìn)朮，.申日Q註札排水汁崗順佯艙流農(nóng)開1小時(shí).問三多復(fù)命間后水池的水剛舜郴完7精確到分鐘）分析與解答:衽解答范水管注水問題昧-會(huì)岀現(xiàn)一個(gè)進(jìn)水管一個(gè)岀水管的情況.若進(jìn)水管、出水管同時(shí)開放，則積滿水的吋間=1亠GS水營工數(shù)-出水管工數(shù)）,排空水的時(shí)間=1-（出爪管工效-進(jìn)水管工效）:這道應(yīng)曲題是分析推理與計(jì)算相結(jié)臺(tái)的題目.根據(jù)己知條件推出水池11?1中的水每汀時(shí)減少廠:右水池中有半池水即經(jīng)過&卜時(shí)后還剩1

7、21亍_石翼迪亠歸=】：.如果按進(jìn)水,桃水的順序進(jìn)行,則叉應(yīng)進(jìn)水1小時(shí),11313謖時(shí)水池內(nèi)共有水春壯=.-.如果技每水時(shí)渾流速推出需要經(jīng)過：廠199：;=-嚴(yán)（小師支,共用的時(shí)間為611+=7.9小時(shí)勺=7小時(shí)刃分剛好排完.例予一件工作，甲亍小時(shí)先完成了扌，乙6小時(shí)又完成了剩下任務(wù)的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，還需要多少時(shí)間才能完成7分祈逑道題是工程問題與分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的復(fù)合題.解題時(shí)先要分別求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量轉(zhuǎn)優(yōu)為占單位“1總工作量的幾分之幾？W：甲工作皺率乙工作效率:余下部分甲、丄十丄4SO-r1,11乙合作需要幾小時(shí)：（1刁求（1丄）-（4-3=3-（小旳42201

8、6盞客還需要茹?小時(shí)才能完成任務(wù)-例甲、乙二人植樹.單獨(dú)植完這批樹甲比乙所需要的時(shí)間多土如果二人一起干，完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植樹甌棵，這批樹一共多少棵7分析求這批樹一共多少棵，必須找出與託棵所對(duì)應(yīng)的艮乙工皴:差.已知甲比乙所用的時(shí)間多g,可以求出甲與乙所用的時(shí)間比為4:1當(dāng)工作總量一定的情況下，工妁與工吋成反比例，甲與乙的工吋比為|:.1二4；亂所以甲與乙的工效比是3；丄這個(gè)間接條件一旦揭示出來問題就得到解決了廠：購設(shè)乙所用時(shí)間為1J甲的時(shí)間是乙的1+|=1|倍）,則甲與乙的時(shí)間比是4:3.工作總量一定卩工作效率和工作時(shí)間成反比例，所以甲與乙的工效比是時(shí)間比的皮比，為3：8-植樹多少棵;36-冷

9、訂=252棵）*簧：這批樹一共252.例9扣工一批零件，甲、乙合作梟天可以完成.現(xiàn)在由甲先做16天，煞后乙再做12天，還剩下這批零件的|役有完成.已知甲每天比乙多加工弓個(gè)零件，求這批零件共多少個(gè)T分析欲求這批零件共多少4由題甲條件只需知道甲、乙二人每天共做多蚣個(gè)即可，然后這就轉(zhuǎn)優(yōu)為求甲、乙兩人單獨(dú)做各需多少天.有了這個(gè)結(jié)論后，只需算岀g令零件相當(dāng)于總數(shù)的幾分之幾即可.由條件知甲做瓏天，乙做12天共完成工程的|,也即相當(dāng)于甲乙二人合做1慶另外加上甲又天共気成這批零件的門又知道甲乙二人合做24天可以気成，因此甲單獨(dú)做所用天數(shù)可求出，那么乙單獨(dú)做所用天數(shù)也就迎刃而解.解甲、乙臺(tái)作12天，完成了總工程

10、的幾分之幾?712=】.242甲1天能完成全工程的幾分之幾7乙1天可完成全工程的幾分之幾?1_1_1244060這批零件共多少個(gè)1答=這批零件共亞0令;六年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第二講比和比例第二講比和比承在應(yīng)用題的各種類型中，有一類與數(shù)量之間的正、反工比例關(guān)系有關(guān).在解答這類應(yīng)用題時(shí)，我們需要對(duì)題中各個(gè)量之間的關(guān)系作出正確的判斷.成正比或反比的量甲都有兩種相關(guān)聯(lián)的量.一種量記作R變化時(shí)另一種量記作対:也隨著變化.與這兩個(gè)量聯(lián)系著，有一個(gè)不變的量記為kj在判斷變量X與濾否成正、反比例時(shí)，我們要緊緊抓住遠(yuǎn)牛不變量4如杲不變量k是變量卩與冊(cè)商，即在盜變優(yōu)吋腎樂的商不變；吐那么y與蠱成x正比例f如杲上是y/的

11、積，即在丈變優(yōu)時(shí)W與直的積不變=xy=k:f那么汽龍成反比例如呆這兩個(gè)關(guān)系式都不成立，那么洱K不成正和反）比例.下面我們從最基本的判斷兩種量是否成比例的例題開始-例1下列各題中的兩種量是否成比例？成什么比例了速度一定，路程與時(shí)間.路程一定，速度與吋間，路程1定，己走的路程與未走的路程.總時(shí)間一定，要制造的零件總數(shù)和制造每個(gè)零件所用的時(shí)間.總產(chǎn)量一定，畝產(chǎn)量和播種面積.整除情況下被除數(shù)一定，除數(shù)和商.同時(shí)同地，竿高和影長-半徑一定，圓心角的度數(shù)和扇形面積.兩個(gè)齒輪嚙合轉(zhuǎn)動(dòng)吋轉(zhuǎn)速和齒數(shù).圓的半徑和面積-0D長方體體積一定，底面積和高口2）正方形的邊長和它的面積.燈3乘公共汽車的站數(shù)和票價(jià).（14）

12、房間面積一定，每塊地板磚的面積與用磚的塊數(shù).赴5-）汽車行駛時(shí)每公里的耗抽量一定，所行駛的距離和耗抽總量.分析以上每題都是兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一雅量也隨著變優(yōu)，那么怎樣來確定這兩種量成哪種比例或不成比例呢？關(guān)鍵是能否把兩卒相關(guān)的變量棗y用工二上或用即二詠袤示,其中上是定量.如杲不能寫岀這兩聊形式，或只能寫總加減法關(guān)系，那么這兩種量就不成比例.例如需=速度，速度一定，路程與時(shí)間成正比例.制造每個(gè)零件用的時(shí)間X零件數(shù)=總時(shí)間，總時(shí)間一定，制造每人零件用的時(shí)間與要制造的零件總數(shù)成反比例.路程一定，己走的路程和未走的路程是加減法關(guān)系，不成比例.解：成正比例的有；0X、軽成反比例的有：、（口）

13、、（14）不成比例的有、（l-2k（13）.例2條路全長翱干米，分成上坡、書路、下坡三段，各段路程長的比依次是2.-某人走各段路程所用時(shí)間之比依撫是-5/6,己知他上坡的速度是每水吋g千氷問此人走完全程用了多少時(shí)間？分析要求此人走完全程用了多少時(shí)間，必須根據(jù)己知條件先求出此人走上玻路用了多少吋間，必須知道走上坡路的速度題中厚小吋行3千氷和上坡路的路程，已知全程旳千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是LJ2：3,就可以求出上坡路的路程.輒上坡路的路程；60X10C千米）走上坡路用的時(shí)間匸（?卜吋）.上坡路所用時(shí)間與全程所用時(shí)間比:走完全程所用時(shí)間*TOC o 1-5 h z141015=X=3

14、1534管：此人走完全程共用12*小時(shí).洌3塊合金內(nèi)銅和鋅旳比是和鼻現(xiàn)在再加入6克鋅，共得新合金3$克，隸新合圣內(nèi)銅和肆馬比常分析要求新臺(tái)金內(nèi)銅和鋅的比，必須并別求出新合龕內(nèi)銅和鋅各自的重量.應(yīng)該注意到銅和鋅的比是2合金的重量不是霸克匚而是直6-6；克.銅的重量始終沒著龍.解銅和鋅的比是其3：吋，合金重量：36-6=30.銅的重量：2.3,0汰2七=12（茫）新合金中鋅的重量；36-12=24（克）新合全內(nèi)銅和鋅的比=12；24=1；Z笥新合金內(nèi)銅和鋅的比是1:2,例4師徒兩人共加工零件1尿個(gè)，師溥加工一個(gè)零件用5分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用9分鐘，完成任務(wù)時(shí).兩人各加工零件多少奉勺分析師博加工一

15、個(gè)零件用亍分鐘，每分鐘可加工W個(gè)零件，徒弟加工一個(gè)零件用9分鐘，每分鐘可加工零件+個(gè)，師徒兩人效率的比是$由于兩人的工作時(shí)間是一定的，根據(jù)斗亞二工作時(shí)間（一定）工作量與工作效率成正比例.解法X設(shè)師傅加工X個(gè),徒弟加工個(gè)F1:孟_11阿-齡一T9濫二9163-55x=1689-9k,.1牡=162織9,k=108：i68-K=i6a-ias=soC-）.昔：師傅加工1眈個(gè)，徒弟加工帥個(gè)解法2：由于師、徒兩人工作皺率的比是、p那么他們工作量的比也是右；因此師博工作量是徒弟工作量的（倍）,徒弟的工作量為1倍量.4=1宀近=60C個(gè)“徒弟.60X（l-|）=103（個(gè)），師傅）解袪莖師傅每分鐘加工扌個(gè)

16、，徒弟每分鐘加工右個(gè)，用相遇問題思考方法可求岀兩人吝用了多歩分鐘.然后用師、徒每分鐘若自的數(shù)率J分別乘以540就是各自加工零件的個(gè)熱1114.168-Cj+y）=160-=540分鐘）.求女工比男工少.幾分之幾，應(yīng)該用男工與女工的人數(shù)差除以男工人數(shù)，即此時(shí)把男工人數(shù)Cif）看成單位“1恐fln222即+j；=y答：女工人數(shù)比男工人數(shù)少#2所求的量也可以表示為1”減去女工的“”除以男工的1之商,說明倍量的轉(zhuǎn)換引起了百分率的轉(zhuǎn)他其規(guī)律是，甲數(shù)是乙數(shù)的二則乙數(shù)就是甲數(shù)的巴.甲數(shù)比乙數(shù)多則乙數(shù)就比甲數(shù)少一匚一;babb+a甲數(shù)比乙數(shù)少?，則乙數(shù)就比甲數(shù)多宀拿握了這些規(guī)律，在進(jìn)行百分bb-a率轉(zhuǎn)優(yōu)時(shí)就可

17、以做到快而淮-例2第三修路隊(duì)修一條路；第一天修了全長的；門笫二天與笫一天所修路程的比是4；民還剩500米沒修，這條路全長多少米1分祈此題條件中既有百分率又有比，可以把比轉(zhuǎn)化成百分率，校分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解答.第二天與第一天所修路程的比是4；乳即第二天修的占4份.第一天修的占H粉，4-3=|.第二天修的占第一天的扌，也就是第二天修的占全.長的lx|=|.知道了己條的占全長的幾分之幾，就可以找到未修的刃0氷相對(duì)應(yīng)的百分率，進(jìn)而求出全長有多少米.1r14.（S；劉0亠1111=500-l-y=500一1貪=1200米）.答;全長是1200,例3有120個(gè)皮球，分給兩個(gè)班使用，一班分到的與二班分到的土相等,求

18、兩個(gè)班各分到冬少皮球？1Z3_班III1/2訕口平二班fiJ分析上圏中壬是以一班為單位“1J土是以二班為單位1=單位-T不一致，因此一班與二班分到的皮球之間缺乏統(tǒng)一的倍數(shù)關(guān)系，也就是說才右的單位不統(tǒng)一，不能直接相加減，必須進(jìn)行L百分率轉(zhuǎn)他才能做此題.解法L用白分率轉(zhuǎn)化袪統(tǒng)一單位rr題目中告訴我們班的+與二班的士相等j即一班的+和二班的j相對(duì)應(yīng)，可以用卜+得到二班的球數(shù)相當(dāng)于一班的幾分之幾總球數(shù)1麗就和兩個(gè)班的百分率之和相對(duì)應(yīng)-求出丄班分到多少皮球.二班分到的球占一班的幾分之幾：1.1_22一班分到多少皮球:120-+-p=72戲個(gè)），二班分到多少皮球：120-72=48（個(gè)）.答：一班分到W個(gè)

19、皮球，二班分到飾個(gè)皮球.根據(jù)上面解題思跖也可以用”芻請(qǐng)?jiān)囍鲆蛔??！?3、-3解法足用倍比轉(zhuǎn)化法統(tǒng)一單位罕J看一班的鬥中有幾個(gè)即有幾個(gè)二班的找到一班分到的球數(shù)占二班的幾分之幾，轉(zhuǎn)化成和倍題，就可求岀二班分到多少球.一班分到的占二班幾分之幾：二班分到多少球：.3.120-（1+二佃金mL-1一班芬到多少球：120-48=72個(gè)）.例4甲、乙兩班共開人，甲班人數(shù)的|與乙班人數(shù)的扌共有掰兄問兩班各多少人7團(tuán)出線段圖甲班工乙班分析以上圖可看岀甲班人數(shù)的嚅和乙班人數(shù)的扌就是甲、乙兩班TOC o 1-5 h z5353總?cè)藬?shù)的4是腳淡:二)6.3A麗甲班人數(shù)專與乙班人數(shù)的二共気44o453人半這就可以看出

20、甲班人數(shù)的?與甲班人數(shù)的匚相差C63-5B=&5人.o4由量.右分率的對(duì)應(yīng)就不難求出甲班人數(shù)了.籟甲班人數(shù)：伍4冥二-恣f加-約44q=5-=40宅人).O乙班人數(shù)84-40=44(人).：笥甲班有40人，乙班有44人*例5加工一批零件，甲乙二人合作需應(yīng)天完成匚現(xiàn)由甲先工作3天，然后由乙工作2天還剩這批零件的即殳完成.己知甲每天比乙少加工4個(gè)，這批零件共有多少個(gè)7分析解答此題要用條件轉(zhuǎn)優(yōu)法，即把“甲工作3天，乙工作2天J轉(zhuǎn)化為二人合作2天.再由甲獨(dú)干一天:化，問題便可以得到解決.由“甲乙二人合作12天可完成可知甲乙二人每天共加工這批零件的右，441根據(jù)“還剩這批零件的;可求岀完成的部分是這批零

21、件的1-=:.這扌是甲H天和乙2天的工作量，也可以看成是甲、乙二人合作2天和甲再單獨(dú)工作1天的工作量，由此可得岀：甲的工作敷率是(1-1x2)-(3-2)=,乙的工作效率則是右一存尋,這祥就可以找到甲.乙每天相差的4個(gè)零件所對(duì)應(yīng)的百分率洪求出這批零件有多少個(gè)-M=甲每天完成這批零件的幾分之幾丫護(hù)2）一（3一2）=命乙每天完成這批零件的幾分之幾1_111130-20這批零件井有多少個(gè)：円茶命=240（個(gè)】答:這批零件并有240-.例6服裝廠一車間人數(shù)占全廠的25%,二車間人數(shù)比一車間少孑3三車間人數(shù)比二車間多/.,三車間是156A,裝廠全廠共有多少人？分祈題目中除全廠外還有兩個(gè)單位rs平是一車間

22、-另一個(gè)是二年間.可以適過轉(zhuǎn)優(yōu)怖思路，統(tǒng)一到一年間.找到三車間的156人相當(dāng)于一車間的幾分之幾，從而先求出一車間的人數(shù)，由于一車間人數(shù)占全廠的25%,從而直接求出全廠的人數(shù)，這樣可無需求出二車間的具體人數(shù)-解=二車間人數(shù)是一車間的幾分之幾=三車間的人數(shù)是一車間的幾分之幾:一車間有多少人:156-（人）全廠共有多少人150*25將=600人).綜合算式;卜TO亠護(hù)召戶申43-.=1冗亠匕莠1而亠2拠26=156-25%25=600(A答:這個(gè)服裝廠全廠共有600A.六年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第五講長方體和正方體笫五講長方體和正方體長方體和正方體在立體圖形中是較為簡單的?也是我們較為熟悉的立體圖形-如下圖，

23、長方體茯有六個(gè)面每個(gè)面都是長方形）.，八個(gè)頂點(diǎn)，十二條DC處Bi在六個(gè)面中，兩個(gè)對(duì)面是全等的，即三組對(duì)面兩兩全等疊放在一起能夠完全重合的兩個(gè)圖形稱為全等圖形.兩令全等圖形的面積相等，對(duì)應(yīng)邊也相等）-長方體的表面積和體積的計(jì)算公式是；長方體的表面積.5長方=2-所以，原來長方體的體積為：V=h=257=175立方厘米）.例2如下圈，r氽邊長加aJE米的正方體分別衽它的前氐左右；上下各面的甲心位置挖去一個(gè)截口是邊長為纏米的正方形的長方體士都和對(duì)面打1I3L如果這*鏤空的物體的表面積為2刃2平方厘米，試求正方形截口的邊長.解：原來正方體的表面積為：石栄3/3亂=09#（平方厘米木個(gè)邊長為包的小正方形

24、的面積為：右心絵二陽J（平方厘氷環(huán)；挖成的每個(gè)長方體空洞的側(cè)面積期3aXaX4=12a3（平方厘米）：；三個(gè)長方體空洞重疊部分的校長為遷的小正方體空洞的表面積為；日H=4尹平方厘癒.韻拓理意弋69a56a+312屮耳矗）=2592,化簡得=5-6+24=2592,解得/二北平方厘米）,故赳二合厘米.即正方形截口的邊長為首厘米.例3有一些相同尺寸的正方體積木#準(zhǔn)備在積木的各面上粘貼游戲所需的字母和數(shù)目字.但全部積木的表面總面積不夠用，還需增加一倍，請(qǐng)你想辦法，在不另添積木的情況下，把積木的各面面積的總和増加一倍.輒把每一塊積木鋸三次，鋸成咅塊小立方體（如下圈）.這樣，每鋸一次便得到兩個(gè)大截面，使

25、表面積増加+倍，鋸三洗使截面増加3x|=l（倍）,因此全部小積木的表面總面積就比原積木表面總面積增加了一倍.例彳有太中、小三個(gè)正方形水池爭它們的內(nèi)邊長分別為4米、$米、2米，把兩堆碎石分別沉役在中r不不池的水孔兩個(gè)氷池的水面分別升高了4B米和11厘米.如果將遠(yuǎn)兩堆辭石都沉沒在天水池中，大水池水面將升高多少厘米T解水池中水面升高部分水的體積就是投入水中的辟石體積.忍人孔外水池中的辭石的體積分別是；3心汶0.訊=&36立方米，2X2X0.11=0.44立方氷.它們的和是0.36+0.44=0.8立方米.把它們都沉滅大池里，大池水面升高部分水的體積也應(yīng)當(dāng)是0宜立方米，而大池的底面面積是4X4=16平

26、方米，所以，大水池的水面升高：O.S-16=5厘氷；例H下圖是正方體的展開圈之一，當(dāng)用它組成立方體時(shí)，圈中的哪一邊與帶*記號(hào)的邊相按融呢？解；對(duì)于這個(gè)問題，考慮將各面拼湊成正方體是一種方法，但如只考慮邊的連接會(huì)更簡潔：首先和肓連接，其次HWI連接，且我Y、Z三點(diǎn)重合為正方體的一令頂點(diǎn)因此與*連接的是K邊.例6下圖是正方體的種展開圖和2種偽裝圖即它們不是正方休的展開EI.請(qǐng)你指出偽裝圖是哪兩卒卷B(9)(2)(10)(4)(12).(131解=無論哪一個(gè)圖中都有六個(gè)小正方形；都奸像有道理，但當(dāng)我們把相鄰兩邊逐一拼合后，不能變成正方體的是(10)和(12),送兩個(gè)圖略都是有五販在拼合時(shí)不成問題，但

27、是最后一匣總是擠在外匣血成不了正方體.例7如下面的各圖中均有若干個(gè)六面休，每小題圖中的幾個(gè)六面休上直、B、C.D、E、F六個(gè)字母的排列順序完全相同（即每個(gè)小題中六面體上刻字母的方式是気全一樣的）試判斷各小題的圏中A、B.C三個(gè)字母的對(duì)面依次是哪幾個(gè)字母？901C3)/CahCFDETIIh1Ec/IC7ZA7B=由圖中可知，直與HC.E、F都相鄰，故A的對(duì)面是D.E、F的位置可按右手關(guān)系得岀伸岀右手伸直大猾扌旨按中右圖所示，讓四指方向從盤轉(zhuǎn)動(dòng)而扌旨向F,此時(shí)大拇指正好指向E（向上）.如果，判斷為F在E對(duì)E,由（1）中左圏所示，讓四扌旨的方向從A向卩此吋大拇指指向E,與（1）中右圖矛冑故F在E的

28、對(duì)面，E在C的對(duì)面.（2）（6）按佻氏C順序給出對(duì)面的字母；（2）E、D、F；瓦E、D?（4）D、瓦E?（5）E.D、F；（6）瓦E、D.例&有一塊正方體的蛋糕-用刀子將它一刀切成兩半，為了使切口成正穴邊形，應(yīng)該怎樣切呢辛1股j也按照平常習(xí)慣的切法切下去，得到的切口成為上圖中（1）的正方形或者像（iL那樣的長方形.如果斜切下去時(shí)樣子就不一樣了，比如像G）那即笛以打算切的頂點(diǎn)作一方，將不相鄰的某一邊的中點(diǎn)作另一方，沿它的連接線來切，切口變成菱形；如果再進(jìn)一歩，連接相鄰邊的中點(diǎn)，沿著它的連線來切，如上圖刁所示，因?yàn)榍锌诘母鬟叾际沁B接邊和邊的中點(diǎn)的直線，所以長度都相鋒，相鄰邊夾角也相等，邊數(shù)是六，故

29、是正六邊形.六年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第六講立體圖形的計(jì)算笫天講立體圖形的計(jì)算并且知道了它在小學(xué)階段，我們除了學(xué)習(xí)平面B3WE還認(rèn)識(shí)了一些簡單險(xiǎn)立體圖形如長方體、正方體（立方體）、直圓柱體直圓錐體、球體等，們的體積、表面積的計(jì)舁公式，歸納如下.見下圖.V=sh在數(shù)學(xué)競賽中，有許多幾何趣題，解笞這些趣題的關(guān)鍵在于精巧的構(gòu)思和恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)，把形象思維和抽象思維結(jié)合起來.例丄下圖是由冷個(gè)邊長為1厘米的小正方體拼成的，求它的表面積.分祈與解答求這個(gè)長方體的表面積，如杲一面一面地去數(shù)，把結(jié)杲累計(jì)相加可以得到答案，但方法太鑒.如果仔細(xì)視察，會(huì)發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)個(gè)立體的上下、左右、前后面的面積分別相等.因此列式為/-C9+S+7）

30、X2=4S（平方厘米）.答;它的表面積是48平方厘米.例2個(gè)圓柱體底面周長和高相等.如栗高縮短了2厘氷，表面積就減少12一咒平方厘米.求這個(gè)圓柱體的表面積.分靳一個(gè)圓柱體底面周長和高相需，說明圓柱體側(cè)面展開是一個(gè)正方M.解題的關(guān)犍在于求出底周長.根搖條件：高縮短2厘米，表面積就減歩12一丸平方厘氷，用右圖表示，從圖中不難看出陰影部分就是圓柱體表面積減少部分，值是12%平方厘貳所以底面周長C=12.56-2=6.28CH米.這*問題解決了，其它問題也就迎刃而解了.解；底面周長也是圓柱體的高）；12.56-2=6.25厘氷）.側(cè)面積：6.28X6.28=9.4354平方厘米兩個(gè)底面積、取兀=3一1

31、4）:望14魏X灼咅盅平方厘米艮z汽A14表面積；9.43S4+6.2=45.71S4（平方厘托Q管：這個(gè)圓柱體的表面積是4至71嗣平方厘米*例3個(gè)正方體形狀的木塊，棱長対1米.若沿正方體的三個(gè)方向分別鋸成孑份、4份和5份，如下圖，共得到大大小小的長方體筑塊，這和塊長方體的表匣積的和杲芻少平方米？分析如果將加個(gè)長方體逐仝計(jì)算表面積是個(gè)很復(fù)雜的問題，更何況鋸成的小木塊長、寬、高都未知使得計(jì)算小長方體的表面積成為不可能的事.如果換一個(gè)角度考慮問題：每鋸一次就得到兩個(gè)新的切面I這兩個(gè)面的面積都等于原正方體一個(gè)面的面積，也就是，每鋸一次表面積増加1+1=2平方米，達(dá)樣只要計(jì)算一下鋸的總次數(shù)就可使問題得

32、到解決.W=原正方體表面積：1X1紬=5（平方米）一共鋸了多少次：次數(shù)比分的段數(shù)少D3T）+C4-1）+C5-1）=9（次）表甌積；6+2苓9=2譏平方氷答:60塊長方f本表面積的和是24平方氷.例4一平灑精瓶,它的瓶身呈圓柱形不旬括淞頸）,如下圖.已知它的容積為2匸航立方厘米.當(dāng)瓶子正放時(shí)，和內(nèi)的灑精的液面高為6厘米.瓶子倒放時(shí)，空余部分的高為2厘米.問：瓶內(nèi)灑精的體積是多少立方厘米？合多少升？T61-分祈由題意，液體的體積是不變的，瓶內(nèi)空余部分的體積也是不變的T總此可知液體體積是空余部分體積的3倍（6-2）.解s.4KX：=:62.172（立方厘米文取兀=314）62.172立方厘=62.

33、172毫升=0.062172ft.答：灑精的體積是62.172方厘米，合0.062172?h.例5令稻谷囤，上面是圓錐體，下面是圓柱體如下圖）圓柱的底面周長是9.42,高2米圓錐的高是0.，求這個(gè)糧囤的體積是多少立方米F分祈按一般的計(jì)算方法先分別求出錐、柱的體積再把它們舍并在一起求出總體積.佢我們仔細(xì)想一想.如舉把圓錐形的稻谷鋪平，把它變成圓柱饑這時(shí)圓柱的高0.6=0.2（米）,那么原來兩個(gè)形體變成一個(gè)圓柱體，高是C2+0.2）米.這樣求出變化后直圓柱的體積就可以了.圓錐體化為圓柱體的高；0：6X-=()2(米$.底面積:3.14=7.065（平方米體積：7.065養(yǎng)2+工2）=15.543立

34、方米丁-.答：糧囤的體積是羽立方氷.例6皮球掉在一個(gè)盛有氷的圓往形氷桶中.皮球的直徑為口厘氷嚴(yán)水桶底面直徑為60厘米.皮球有占3的體積寢在小中I下圖）問皮球掉進(jìn)氷中后，水桶的水面升高多少厘米？厘米分析皮球掉進(jìn)水中后排擠岀一部分水使水面升高.這部分水的體積的大小等于皮球覆在爪中部分的體積，再用這個(gè)體積除以圓柱形水桶底面積.就得到水面升高的高度；解；球的體積;=2茨兀（立方厘米）水桶的底面積:7iX3O=mjr（平方厘米）.小面升高的高度；|x|=l|C厘米答：水面升高等厘米.例7下圖所示為一個(gè)棱長6厘米的正方體，從正方體的底面向內(nèi)挖去一個(gè)最大的圓錐體，求剩下的體積是頰正方體的白分之幾7保留一位小

35、數(shù)）.分祈直圓錐底面直徑是正方體的棱長，高與棱長相等.剩下體積等于原正方體體積減去直圓錐體積.解=正方f本體積：6=216（立方厘氷）.圓錐體積：jx3.14XC|）嘰=56.52（立方厘米）.剩下體積占正方體的百分之幾.（216-56.52）-2160.73873.8%.答=剩下體積占正方體體積的73.8%.六年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第七講旋轉(zhuǎn)體的計(jì)算笫七講旋轉(zhuǎn)體的計(jì)算分別以頰舷、直角三角舷、直角悌形的一邊、一直角邊、垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲更所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)丫下圖）旋轉(zhuǎn)軸叫做它們的軸，在軸上這條邊的長度叫傲它們的高，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而形成的圓面叫做

36、它們的底面，不垂亶于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做它們的側(cè)面這條邊無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，都叫做旋轉(zhuǎn)體的母線.圓柱的側(cè)面展開后是個(gè)矩形，它的寬是圓往的母線，長是圓柱底面的周長.由此可得5回柱側(cè)二2曲，其中雇圓性側(cè)直的母線長，nt底面半徑（下左圏.圓錐的惻面展開圖是一個(gè)扇形；如上頁下角圈這個(gè)扇形的羋徑是圓錐的母線，弧長是圓錐底面的周長，于是可得其中雇圓錐側(cè)面的母線”C是圓錐底面的周長，慮圓錐底面的半徑.圓臺(tái)是用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截圓錐而得到的，所以圓臺(tái)的側(cè)面展開圈是兩個(gè)扇形的差，常叫扇壞形.這個(gè)扇壞形的寬是圓臺(tái)側(cè)面的母線，外弧長和內(nèi)弧長分別是圓臺(tái)的下底面利上底面的周長，于是可得滄廠土1=札其中1是圓

37、臺(tái)側(cè)面母線長，C上、C下分別是圓舍上底和下底周悅，f上下分別是圓臺(tái)上底和下底的半徑如下圖）圓柱的體積等于它的底面積S與高h(yuǎn)的乘積，即T圓柱=Sh=7ir也其中為圓柱底面的半徑.圓錐的體積等于它的底面積S與高h(yuǎn)的積的三分之1,即瞬=Shg兀rh,其中Y為圓錐底面半徑.圓臺(tái)的體積是兀h，上+宀+），耳中，吐rr下分別是上底和下底的半徑-例1甲、乙兩個(gè)圓柱形水桶，容積一樣大，甲桶底圓半徑是乙桶的13倍,乙桶比甲桶高25厘米，求甲.乙兩桶的高度.分祈與解答如下圖.r廣1.5rh+25甲桶乙桶由題意，設(shè)乙桶半任為匚則甲桶半徑為L*甲桶高度為i則乙桶高度為h+25,則兀(1.5r)2h=(h+25jf2一

38、透li二r2(h+25),2.25h=h+25,.h=20(厘米),h+25=45(厘米).答：甲桶高度為”厘米，乙桶高度為住厘米.例上一塊正方形蒲鐵板的邊長是紅厘米，以它的一奪頂點(diǎn)為圓心#邊長為羊徑畫弧沿弧剪下一個(gè)扇形，用這塊扇形鐵板圍成一個(gè)圓錐筒；求它的容積毬吉杲取整數(shù)部粗鶴如下團(tuán)扇形弧長=1x271X22=11兀厘米，因此所作的圓錐簡底的周長=加=1皿解得厘米.因?yàn)槟港`長是2；厘米，所以圓錐的高1-1=J?，5.寧宀21.3；厘托,甘酗=X5-52x21-3674（立方厘米）.答；所求圓錐筒的容積約為6淚立方厘米.例3在倉庫一角有一堆各，呈扌圓錐形（如下圖）,量得底面弧長為2臨，圓錐的高

39、為1米，這堆甞重約多少公斤各的比重是每立方米重芒0公斤,吉果取整數(shù)部分）?解；因?yàn)榈酌婊￠L為2米，所以lx2nr=2,求帚二氷），因此，谷堆體積為=ixlnx（A）2xi=|x（立方米）41谷子重量為飛。X-X=305（公斤）.答：這堆各子重約孔6公斤.例盤有一個(gè)倒圓錐形的容器，它的底面半徑是5厘米，高是10厘米，1容器內(nèi)放著一些石子，石子的體積為罟兀立方厘米，在容器內(nèi)倒?jié)M水后，再把石子全部拿出來，求此吋容器內(nèi)水面的高度-解如上頁圈設(shè)石子取出后容器內(nèi)水面髙度為xB米則啊圓錐容器的容積等于水的f本積加上石子的體積.根據(jù)體積公式有11v196x5210=Sprrg二滬菸直亠二77,3-3：2圭頑二

40、（孚X10-1先?：4=54X4=27S=3sX2x6-答.石子取出后，容器內(nèi)水面的高為6厘米.例5有一草垛，如下圖，上部是圓錐形，下部是圓臺(tái)形廣圓錐的高為07米底面圓周長為&話米，圓臺(tái)的高為米，下底面周長為4力米.如果每立方氷草約重1切公斤，求這垛草的重量（結(jié)杲取整數(shù)部分J分析與解答圓錐底面半徑：=等=1米八圓錐的體積：117=-Hr2h=叢兀.邈護(hù)據(jù)7=亍-兀滋CH粵立方氷.型*3330圓臺(tái)的下底半徑：f下二磐二扌氷）.圓臺(tái)上底半徑=1上=f=l米，.3.圓佇咼；h=氷.則砒（宀+F下+甘下TOC o 1-5 h z3-3333L4416=二-n冷3.63d立方米.二草垛體積為；V圓錐+V

41、圓臺(tái)=0.73+3.63=4.36（立方氷$,故草垛的重量T：150X4.36=654s（：&斤）.笥草垛約重於4公斤.例百如下右劉在長為號(hào)厘米的圓筒形管子的橫截面上，最長直線段為沙厘米，求這個(gè)管子的體積.初厘米分祈如上左圏，AB是截面圓環(huán)的最長直線段，0是截面圓壞的圓心.過。作AB的垂線，垂足是U以0為圓心，以0C為半徑作圓，即管截面的內(nèi)圓周.連結(jié)25根據(jù)勾股定理有:AO=AC-+COs/.AO?-QC?=ACS同SAO2-OC2=BC2;/.sii環(huán)二兀acpoc2二Cao-oc2)解g,先求出管子橫截面的圓環(huán)面積対兀滋2=10071叢平方厘氷),則管子的體積為三兀.占外徑.h-低吶徑h=

42、圓環(huán)面積Xh=10(k35=350-(.C立方厘米答；這個(gè)管子的體積為3刃血立方厘米.例丁一個(gè)長方形的長為16厘氷，寬為12厘氷.以它的一條對(duì)角線為軸旋轉(zhuǎn)此長方體得到一傘旋轉(zhuǎn)體.求這個(gè)旋轉(zhuǎn)f本的體積.結(jié)果中保留五即不用近擬值代替.Y分析與解答如下圖,記這個(gè)長方形為ABCDf對(duì)角線AE的中點(diǎn)為0.過O作EF垂宜于AC,分別交BC.AT于E、F.由對(duì)稱性知道：E0=0F設(shè)P為A0上的任一點(diǎn)，過衛(wèi)作比0的垂線，分別交折線ABEfl線段AP于M和N,那么MPPN因此，四邊形ABEF繞*旋轉(zhuǎn)得到的立體即為四邊形ABEO繞恥旋轉(zhuǎn)得到的立體-同祥，四邊形CQFE繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體即為四邊形CDFO繞AC旋

43、轉(zhuǎn)得到的立體.并且，由于對(duì)稱性，四邊形ABEO與CEFO是淀全一樣的，因此由它們繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體也是完全一碎的.這祥，這兩個(gè)立體的體積相等.所以，長方形ABCT僥眞匚旋驀得到的立體的體積李于四邊形ABEO繞AC癥轉(zhuǎn)得到的立體的體積的兩倍.記由長方體ABCD繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體為硏，由四邊形ABEO繞止U旅轉(zhuǎn)得到的立體為匚由ABH舌在A0s垂直于AO、四邊形召EOB繞加?旋轉(zhuǎn)得到的立體分別記為1兒U2顯然,U1U2有一索公共的邊界由KB旋轉(zhuǎn)而成的圓，且U1與匸2皆成!；因此V=2VU=2(VU1+VU2)由.45=12厘氷，BC=16厘氷及勾股弦定理得：AC=20W,所呱0=住0=AE=10

44、厘米再由&在ABE=j-AE*BC=EE得BB=9/厘米.在直角三角形阿艮中再用勾股弦定理，得M-7J厘氷，斯!UB0=AO-M,=2.E厘氷-U1是一畢圓錐，底面半徑BB=9.6厘米，髙AB=7.2厘氷，所臥vui=貢72立方厘氷.是一個(gè)圓臺(tái)，它是大、小兩個(gè)圓錐的差，犬圓錐以時(shí)対底酉半徑,爼為高，水圓錐以0為底面半徑，C0為高，容易知道CBCO+OB12.S厘氷，由EO,0C=AB：BC可以求出EO=F:5厘井t.國此V廣.；兀斃963契吃g-|n駅？弓痕10（立方厘米）.所以V.xr.-jrxg.e5312+-irX9.622.S-1兀）7寧汎：10TVL22上二S53.S5I立方厘氷）答

45、匸所求的旋轉(zhuǎn)體體積為E53.n方厘米.六年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第八講應(yīng)用同余解題篇八講應(yīng)用同余解題在五年級(jí)我們已初歩學(xué)習(xí)丁同余的有關(guān)知識(shí)同余在解答競賽題中有著廣泛的應(yīng)用.在這一講中，我們將深入理解同余的概念和性質(zhì)，悟?qū)缢囊恍┻\(yùn)用技巧和方法.例L滁必余1,b除以5余生如果3ab,那么覇-麻以5余幾？分祈與余數(shù)有關(guān)的問題考慮用同余式可以使解題簡便.解軻a=1(madS,3a=3fmoci5)；或者3aSCmod5).CO又T11(mod5),住)二Cl)-得3a-8-44.(mod5)因此，張一b除以余4.例2若包為自然數(shù)，證明10丨(聲護(hù)們.分析如果換一種方式表達(dá)，所要證明的即是要證才賽與汩樹個(gè)位數(shù)字

46、相同.用對(duì)于模W兩數(shù)同余來解，可以使解題過程簡化.證明：Ta1：=護(hù)-=a(mod10),ai?,E=-,F7-;=a(mod10),.a1F：-一呂i：n；a-a0(mod10).即10|fa?亦一壬浴).說明：這里用到一個(gè)事實(shí)：對(duì)于任何自然數(shù)玉涉與込的個(gè)位數(shù)字相同.例3計(jì)算機(jī)菲人員平均每分鐘可以輸入疋個(gè)汶字，輸入一篇有丙個(gè)漢字的文章所用的分鐘數(shù)恰奸是整數(shù)，求五位數(shù)而殲.分番運(yùn)道一鬆實(shí)質(zhì)是求一個(gè)能被72整除狗五位數(shù)679y.解*丁72=89：.y72|679y由能被乩9整除的特征，得+6+7+9+y=0(mod9)1)?00+90+y0Cmod.(_2)L由(2)得y2(madE)因OCy,

47、即業(yè)一斗二gx商，又4的個(gè)位數(shù)字是気J被滁所得的商的個(gè)位數(shù)字是5.例5設(shè)加+1是質(zhì)數(shù)，證明:：例傘，訥松+1除所得的余數(shù)各不相同.分柝這道題肯定不可能通過各數(shù)被2口+1除去求余數(shù).那么我們可以考慮從反面入手，假設(shè)存在兩個(gè)栢同的余數(shù)的話就會(huì)發(fā)生矛眉-而中間的推導(dǎo)是歩歩有根據(jù)的（：所臥發(fā)生矛盾的原因是假設(shè)不合理-從而說明假設(shè)不成立；因此原來的結(jié)論是正確的.證明：假i殳有兩個(gè)數(shù)乩b,設(shè)決弧且lCaCn,&們的平方込盼被加+1除余數(shù)相同.那么，由同余定義得去一lx2三0（mod（2ii+l）.即（且+b）（吐一b）三0CmodQi卄1）;由于加+3是質(zhì)數(shù).a+b-=0-Cmoci如+1或a一b=0mo

48、din+1）.由于遼+b,已-陶小于2n+1且大于零，可知，a+b與N+1互質(zhì)，a-b也與2n+1互質(zhì).即a.+b二且-靖B不能被2口+1整除.產(chǎn)生矛盾，.原題得證.說明：這里用到一個(gè)重要的事實(shí)：如果AA佝施）,P是質(zhì)數(shù)，那么直或E中至少有一個(gè)模p為零.p是質(zhì)數(shù)這一條件不能少，否則兀能成立.例如20tmod法,30od.例&己知】a=19191915-1919,191P-T1919問：濟(jì)以13所得余數(shù)是幾T鶴用試除方祛可知f13|191919,J1919X2=3陽&W3I3837,13：|1919-1900,.湎住19a-19191900=1珈.33371-19即i9ig個(gè)澎g有弦弦乍rgj三

49、組三組取走嘟嗦還剩下一組.a=19（mod13）.a6（mod13頁.即滁以13余數(shù)是債例7求被滁余塔被，除余3,被7除余5的最水三位數(shù).S=設(shè)兀為所求數(shù)，由題意TOC o 1-5 h zk=2hi婁d3）9（1）ix=3Cm?d5）,2）（:m陰7）,（_3）匕（3）即x=7k+5（晟整數(shù)）.代入得7k+5=3Cmod5、2k=3（mod5）,2k=S（mod5）.ir=4（mod5）,即k=5m+4（ni是整數(shù)）./.x=7k+二7（也+4$+5=35m+爭3,上式代入（1）得：3血+33=2Cmo葫,111=1Cniod3),即m=3t+l(堤:整數(shù))兀二込也+33二菇0+1)+33=l

50、Q5t+6S)當(dāng)t二1時(shí)，4=173.二所求的最小三位數(shù)為173.例3給岀12個(gè)彼此不同的兩位數(shù)，證明；由它們中一定可以選出兩個(gè)數(shù)，它們的差是兩個(gè)相同數(shù)字組成的兩位數(shù).分祈證這道題要考慮到以下三點(diǎn)兩位數(shù)的數(shù)碼相同時(shí)，它一定能被11整除.遇到數(shù)是任意的，需排個(gè)序，這樣討論表述起來比較方便.用12個(gè)數(shù)中最大的數(shù)依灰地分別減去其余11肇?cái)?shù)可得到11舉差.若差中有相同數(shù)碼組成的兩位數(shù)，問題得證；若差中沒有合條件的兩位數(shù)，這吋這11個(gè)差)數(shù)各自除以lb所得余數(shù)只可能在1或2,典，10中，必有兩竽差數(shù)的余數(shù)相同強(qiáng)考慮用余數(shù)造抽屜解題.證明；設(shè)12個(gè)兩位數(shù)從小到大排列為；10Cala2,a.l1-&1299

51、,用也分別減去其余的數(shù)，得差！bl=112-31ab2=al-a2,-,bl1=al2ali.若上面11個(gè)差中有某個(gè)差也能被11整除，1P11IGlS-ai),那么己證出數(shù)亂12與匝的差臥是兩殺相同數(shù)碼俎成的兩位數(shù).若逹11帑差均不能被1謹(jǐn)除，則按不能被11整除的余數(shù)造10個(gè)扌由園余數(shù)相同者歸入同一抽屜，根鋸抽屜原理，li平差數(shù)中，一定存在兩數(shù)b叫bn對(duì)于橈11同余即；bn-bn=0Cmod11).,即(包12一迦)一(al2an)0(mod.ll),即anann=0(mod11),即11ICan-ajn)即差血-曲是一個(gè)由相同數(shù)碼組成的兩位數(shù).綜合:.03問題得證.說明：這道題的證明用到了將

52、數(shù)按掖11除的余數(shù)分類的思想.一般地，任何一線淫數(shù)我自然數(shù)濟(jì)，余數(shù)只可能是0,珀2,，hT這址種情況，這祥我們可臥利用余數(shù)將整數(shù)井為幾類，如？整數(shù)按除加余1還是0,分為奇數(shù)和偶數(shù).又如，整數(shù)除以3,余數(shù)只能是Q,竝2這三種情況，我們可以把所有整數(shù)按除以3后的奈竅分三類，即3匕3k+l,3k+dk是整藪5.這種利用余數(shù)分類思想；.是重要的數(shù)學(xué)思想方法，它可以使研究問題時(shí)搜索的范園大大縮小.例9試證不小于弐的質(zhì)數(shù)的平方與1的差必能被筑整除CE明丁質(zhì)數(shù)中僅有一個(gè)偶數(shù)I人不小于5的質(zhì)數(shù)是奇數(shù)又不小于于的自然數(shù)按除以首所得的余數(shù)可分為6類|弧曲+1,創(chuàng)+忑島+玉6n+4,Sn+5r（是自然數(shù)/其中島，6

53、n+2,En+4都是偶數(shù)f又3|6n+3.二不小于圭的質(zhì)數(shù)只可能是首ti+1,6iiH5.又自然數(shù)除以6余數(shù)是壬的這類數(shù)換一記法是：611-1,C不小于5的質(zhì)數(shù)）2-1=（6n1）-1=36n:12n=12n（3n1）,這里fi與O1）奇偶性不同，其中定有一個(gè)偶數(shù)，.2|ii-(3n1),24|12n.C3n1).二結(jié)論成立.說明；按同余類造抽屜是解競賽題的常用方袪.例皿任給七個(gè)不同的整數(shù)，證明其中必有兩個(gè)數(shù)，其利或差是10的倍數(shù).分析首先考慮什么樣的兩個(gè)整數(shù)的和或差可以被10整除.設(shè)兩個(gè)整數(shù)基b?瓊包mb(tnod10)r貝lj10|(包b);:碩a=r(mod1Q)?而b=10_r(mod

54、10).,則10|(a+b)，只有遠(yuǎn)兩種情況.但是如果按整數(shù)除以10的余數(shù)造抽屜、就有十個(gè)抽屜;“對(duì)于己知條件中給定的七沖數(shù)無法應(yīng)用抽屜原理；：所以要考慮如何造六個(gè)抽屜.根據(jù)百先考慮的兩個(gè)整數(shù)被除的兩雅情撫，可以把余數(shù)之和等于10的并成一類這樣分為：血、10kk10k2.10k土久1陸土乂1陸土蘭大類，恰奸構(gòu)造六個(gè)抽J6,再應(yīng)坤抽履原理可解此題.證明根據(jù)整數(shù)ilTCmodlQ)構(gòu)造天個(gè)抽屆如下：=0的數(shù)r=5的數(shù)？i=1B9的數(shù)*r=2或$的數(shù)J【=3或7的數(shù)？或百的辣這樣任給定的七個(gè)整數(shù)按照除以的余數(shù)口歆入六個(gè)扌由屜中二必有一個(gè)扌由屜中至少有兩個(gè)數(shù).這兩數(shù)的和或差必是10的倍數(shù).六年級(jí)奧數(shù)上

55、冊(cè)：第九講二進(jìn)制小數(shù)第九祈二進(jìn)制小教我們?cè)?jīng)學(xué)了二進(jìn)制&M,六及各種進(jìn)制的罄數(shù)，以及它們的加減乘除四則運(yùn)算.大家必然會(huì)提問：與進(jìn)制分?jǐn)?shù)芒爾數(shù)類似的二進(jìn)制令數(shù)卜數(shù)，如何推廣過來于一個(gè)二進(jìn)制分?jǐn)?shù)，就是M晟二進(jìn)制整數(shù)，b弄Q也是二進(jìn)制整數(shù).b一個(gè)二逬制為數(shù)，不妨先講純小數(shù)：04110化為二逬制小數(shù).I(用k責(zé)示龐位數(shù).1010(1010)2=(0.0100U0011001-)=-(p.01Q0i)30.01001iOiOjllOOJ1010ioooo1010HOD呢成薩環(huán)）逑表示十進(jìn)制有限小數(shù)可能優(yōu)成二進(jìn)制循環(huán)小數(shù).本節(jié)重點(diǎn)講二進(jìn)制循壞小數(shù)如何化為二進(jìn)制分?jǐn)?shù).回憶十進(jìn)制循壞小數(shù)化分?jǐn)?shù),一是要學(xué)習(xí)推理

56、中的思想方法；二是最好歸納成一朮易用易記的公式.十進(jìn)制循壞小數(shù)化分?jǐn)?shù)一股必式:純循環(huán)小數(shù)：0訕10=alai-ak-扌昆循環(huán)小一數(shù)；（0,-1劭聲衛(wèi)1衍炸玄）k-sT-這些公式的推導(dǎo)過程如下；請(qǐng)?bào)w會(huì)思想方法.設(shè)*（O.aL-afc）L0.笫一歩：在此等式的兩邊乘1九右邊相當(dāng)于小數(shù)點(diǎn)右移k包得1此七屁才餌礦玄：第二歩：兩個(gè)等式左右兩邊分別相減，左邊為whs-sf右邊為幻的（巧妙在于差值很整齊，消去了讓人害怕的無限長（雖然是循壞）的小數(shù)）；S（10k-1）=a1a/-ak=二一.公式證得.至于混循環(huán)，只要借用己證得的公式，因?yàn)?展E翠塗1幻無）iok-?0k-?01io7的9lI1aiar-：99

57、勺TOC o 1-5 h zlk亍1klk-2-.-f1OO-0-*-a-?ak-護(hù)99-9貯9000l.l.k-f片松豔鋒聲儘髓茲黔釘復(fù)雜樓式是借用簡單情況下對(duì)于二進(jìn)制循環(huán)小數(shù)化二進(jìn)制分?jǐn)?shù)，也可同祥推導(dǎo).設(shè)ACo.b-KX.-第一步：兩邊乘/右邊相當(dāng)于小數(shù)點(diǎn)右移竝得護(hù)滬b嘰譏-第二歩=兩個(gè)等式左右兩邊分別相減,左邊為2叱-右邊為恰為整數(shù),消去了無限長的部分，有：11至于二進(jìn)制混循壞小數(shù)；也記這小數(shù)的整體為s呂=如至1鬲0）和則有&譯玄瓦h(yuǎn)琉）I.1乞溟產(chǎn)-字壓*汽耳11-100-0-“Jk個(gè)介從推導(dǎo)和記憶規(guī)則看.公式和：（2）.與十進(jìn)制公式和相仿.那么讀看一定會(huì)歸納岀任意進(jìn)制的循壞小數(shù)化分?jǐn)?shù)

58、的裁式.例1化CO.OOD2為二進(jìn)制分?jǐn)?shù)，十進(jìn)制分?jǐn)?shù).解=用公式fOdOi）2=（帀）2=（y）io例2優(yōu)Co.0714285）】占（cO.OlOD2為十進(jìn)制分?jǐn)?shù)解:C0.07142S5)714285-09999990_7142S5-05.119999990=亍1?=(T710101-0.1110；例3化tO.lOOlllOlDM為二進(jìn)制分?jǐn)?shù).解由公式.100111011-1001(o.ioornoina=3111110000loonooioinnoooo10011001nniooo直接檢臉0.10011101111111110011.001;11111;111010!-J11111I*110

59、110;-)11111;1011101111111111100j-)mil1111010_）11111110110呢成循壞現(xiàn)在再看推導(dǎo)公式的方法，關(guān)犍是把循環(huán)小數(shù)的值設(shè)為J好比列方程設(shè)未知數(shù)F而10-S-S恰好消去了燙手的無限長的小數(shù)部分，推岀嚴(yán)方程先（iok-0=科廠如,立刻求解出&這樣的思想，在研究等比數(shù)列吋也用到了.以前講過有限項(xiàng)數(shù)列；曲，迄遼，ai）an.所謂等比數(shù)列，即它每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)乘上一公茯&馳也爲(wèi):a.1,a2=alq,a3=a2q,，ai=nilq,*,an=anlq,或a.1,a2=alq,a3=al(f卜,ai=alq1_:,，an=al了一：.現(xiàn)在要求出比1fa2+a

60、3H日i+an.患想方法；第一步；設(shè)咅二al+a2+3n=al+alq+alq2+alL_1.上式兩邊乘上6作為第二歩：qS=alq+包1于十十a(chǎn)l(1-1+當(dāng)玨1時(shí).用上式兩邊減下式兩邊，得到即有A字亡（徑i）1-q.公式稱為公比小于1的等比級(jí)數(shù)前11項(xiàng)求和公式.它敘述為；前11項(xiàng)和等于首項(xiàng)與首項(xiàng)蠶公比的故籌的差除以1與公比之差-類似地可推導(dǎo)出；當(dāng)滬時(shí)，A眄屮,9DTOC o 1-5 h zq_1例冷1.1x1.丄X丄十丄X丄77總14-2.2S256-211111=+1-1-.7142856112用魯我丁q=-：-,&!=pn=5?。?-?。2（2j-1）_31,1=7-2-=匝最后以一