關于單變量統(tǒng)計過程控制圖某些研究結果簡介

1、.PAGE ：.；關于單變量統(tǒng)計過程控制圖某些研討結果簡介王兆軍南開大學數(shù)學科學學院統(tǒng)計系天津 摘要 本文僅對一元延續(xù)變量的靜態(tài)與動態(tài)控制圖研討現(xiàn)狀進展了簡單的總結和引見，并給出了較詳細的參考文獻，希望以此為在國內開展此方向的研討拋磚引玉。關鍵詞：Shewhart控制圖，CUSUM控制圖，EWMA控制圖一、引言眾所周知，質量控制為世界工業(yè)經(jīng)濟的開展起到了宏大的推進作用，尤其是隨著消費線的廣泛運用，線內質量管理特別是質量控制圖得到了充分運用、研討與開展-。目前，隨著世界經(jīng)濟的全球化，產品競爭越來越猛烈，假設一個產品沒有過硬的質量，就很難在猛烈競爭的市場中長久地生存

2、、開展，這一點可以從日本的工業(yè)產品迅速占領國際市場得到驗證。可以說，統(tǒng)計過程控制Statistical Process Control, SPC為日本工業(yè)產品迅速占領國際市場起到了宏大的推進作用。另外，隨著我國市場經(jīng)濟體制的完善以及全球經(jīng)濟的一體化，我國經(jīng)濟已融入了世界經(jīng)濟，假設我國工業(yè)產品不在質量上多下功夫，就能夠使我國的民族工業(yè)蒙受重創(chuàng)甚至沒頂之災。而統(tǒng)計過程控制那么可以協(xié)助 工業(yè)企業(yè)如何提高本身產質量量，為我國工業(yè)產品走出國門、占領國際市場提供技術上的指點與協(xié)助 。統(tǒng)計過程控制圖的研討來源于年由Shewhart博士提出的Shewhart X-bar控制圖，在這七十年間，它得到了廣泛的研討

3、與開展，獲得了相當豐富的成果。這些研討成果可大致分成如下幾個方面：獨立數(shù)據(jù)的第一、第二階段控制圖的研討；相關數(shù)據(jù)的第一、第二階段控制圖的研討；多元數(shù)據(jù)的控制圖的研討；基于非參數(shù)統(tǒng)計方法的控制圖的研討；動態(tài)控制圖的研討；控制圖的經(jīng)濟設計(economic design)研討；從大樣本角度研討某些常用控制圖的優(yōu)良性質, 。本文就近幾年關于統(tǒng)計過程控制圖的研討成果作一簡單引見。二、關于獨立數(shù)據(jù)的動態(tài)控制圖的研討動態(tài)控制圖的特點是其樣本容量或抽樣區(qū)間的大小與前一組樣本的位置有關，這方面的成果可分為五類：VSI(Variable Sampling Interval)、VSS(Variable Sampl

4、e Size)、VSSI(Variable Sample Size and Sampling Interval)、VP(Variable Parameter)和VSSIFT (Variable Sample size and Sampling Interval at Fixed Time)控制圖。總的來說，動態(tài)控制圖的平均報警時間(Average Time to Signal，簡記為ATS)明顯優(yōu)于FSS(Fixed Sample Size)或FSI(Fixed Sampling Interval)控制圖；對于小飄移，動態(tài)EWMA和CUSUM控制圖明顯優(yōu)于動態(tài)Shewhart控制圖；VSS控制

5、圖優(yōu)于VSI控制圖；VP X-bar控制圖優(yōu)于VSSI X-bar控制圖。從比較準那么來看，大家多采用Adjusted ATS或Steady State ATS，而僅有一篇文章從切換頻率(Average Number of Switches,簡記為ANSW)的角度研討動態(tài)控制圖。從所用統(tǒng)計量來看，多采用基于樣本均值的統(tǒng)計量，而僅有少數(shù)幾篇文章利用中位數(shù)等更穩(wěn)鍵的統(tǒng)計量進展研討。關于VP控制圖，現(xiàn)只需關于VP X-bar控制圖的結果,而沒有人研討過VP CUSUM和VP EWMA控制圖的性質，也沒有關于在固定時間點抽樣的VP控制圖的任何研討結果。關于穩(wěn)鍵特別是基于非參數(shù)統(tǒng)計量的動態(tài)控制圖，如今的

6、結果非常少，只是張維銘教授研討過基于中位數(shù)的動態(tài)控制圖。如今一切的動態(tài)控制圖均假設過程參數(shù)知，而沒有研討參數(shù)估計對控制圖的影響及自啟動(Self-starting)的動態(tài)控制圖。三、針對Linear Profile的控制圖的研討關于Linear Profile控制圖是Kang & Albin于年基于某實踐問題首先提出并加以研討的。到目前為止，一切的控制圖均假設模型僅有截距和斜率項，采用的方法多為對估計后的殘差做Shewhart X-bar、EWMA或CUSUM控制圖；為了檢測是截距、斜率及方差中的哪部分發(fā)生了飄移，有人也把原模型中心化后，使得斜率與方差的估計量獨立，再分別針對二者進展檢測,；有

7、人把似然比檢驗用于Linear Profile控制圖；有人把Change-point方法用于Linear Profile控制圖；也有人研討過自啟動的Linear Profile控制圖。從模擬結果看，基于Change-point方法的控制圖的穩(wěn)鍵性最優(yōu)。其次，基于似然比的方法可以用來檢測截距、斜率和方差的飄移，并且較其它方法具有一定的優(yōu)勢。到目前為止，還沒有關于多元線性模型的控制圖，其緣由是Woodall等人提出的計算方法很難推行到多元情形；沒有關于Linear Profile的動態(tài)控制圖的研討結果；沒有關于縱向數(shù)據(jù)(longitudinal data)的控制圖。四、針對相關數(shù)據(jù)控制圖的研討 關

8、于相關數(shù)據(jù)的第二階段控制圖，根本有兩大類方法-，一類是基于觀測數(shù)據(jù)本身的，另一類是基于一步預測殘差的。Montgomery和Mastrangelo指出，不論數(shù)據(jù)的相關構造如何，均可以利用常規(guī)的EWMA控制圖進展檢測?；跉埐畹目刂茍D均是在給定模型的條件下，利用一步預測殘差的獨立性而進展檢測的。如今討論最多的模型是ARMA，AR()及IMA(,)模型。其中Lin和Adams較詳細地研討了基于殘差的Shewhart-EWMA結合控制圖對于ARMA(p,q)模型的trend shift和AR()及IMA(,)模型的step shift的表現(xiàn)。但值得留意的是，對于step飄移，在任何一個模型下，殘差的

9、飄移不是固定不變的，而是隨著時間的推進，逐漸減小,以致于利用殘差不易檢測過程曾經(jīng)發(fā)生飄移，并且其recovery rate依賴于模型的選擇。為此，Nembhard和Kao提出了一種權函數(shù)依時間發(fā)生變化的Adaptive EWMA控制圖。另外，Adams和Tseng研討了基于殘差控制圖的穩(wěn)鍵性問題，Lu和Reynolds研討了相關數(shù)據(jù)的均值與規(guī)范差的控制圖。到目前為止，關于相關數(shù)據(jù)的CUSUM控制圖還不多見，其困難在于：不同模型的飄移有不同的特點；參數(shù)如何估計，而估計后的殘差并不是IID的等等。 另外，Han和Tsung基于Cuscore檢驗提出了一種叫做Reference-free Cusco

10、re控制圖，并從大樣本角度和其它幾種控制圖進展了比較。實際與模擬結果均顯示這種控制圖具有一定的優(yōu)勢。關于相關數(shù)據(jù)的第一階段控制圖，現(xiàn)只需一篇文章對此進展了研討。此文主要是針對AR()模型的相關數(shù)據(jù)，利用帶有獨立丈量誤差的AR()模型與ARIMA模型的等價性，給出了模型參數(shù)的一種穩(wěn)健的估計方法。另外，還有一篇文章研討了相關數(shù)據(jù)的離群值的檢驗方法。關于研討相關數(shù)據(jù)第一階段動態(tài)控制圖的困難在于：其模型如何確定，參數(shù)如何估計，而估計后的殘差并不是IID的，其報警概率如何計算等。五、基于似然比的控制圖的研討 關于第一階段控制圖，現(xiàn)有的基于似然比的控制圖有：Sullivan和Woodall提出的基于極大似

11、然比的LRT圖；Koning和Does提出的基于檢測線性飄移的UMP檢驗的CUSUMCumulative Sum,累積和控制圖；代毅、鄒長亮和王兆軍提出的基于似然比的CUSUM圖。其中僅LRT圖可同時檢測均值與方差的飄移。雖然Koning和Does提出的CUSUM統(tǒng)計量是UMP的，但它僅對檢測線性飄移才有效，而對于step飄移和多個飄移它都不如他們提出的CUSUM圖。關于第二階段控制圖，Page博士于年提出了CUSUM控制圖就是基于極大似然比檢驗得到的，現(xiàn)已驗證它對于小飄移的檢測是非常有效的。關于動態(tài)控制圖，有Soumbos和Reynolds提出的SPRT控制圖, 。SPRT控制圖充分利用了S

12、PRT的優(yōu)良性質，以使其平均報警時間得到了很大的提高。這兩篇文章的區(qū)別在于第一篇僅思索到了樣本抽取時間可忽略的情況，而第二篇那么取消了此限制。另外，兩篇文章均利用積分方程求解平均報警時間，但第二篇文章利用了某些近似，使計算效率得到了極大的提高。從模擬結果看，SPRT控制圖明顯優(yōu)于其它現(xiàn)有的動態(tài)控制圖，但它們僅能檢測均值的飄移，而不能檢測方差或二者同時發(fā)生的飄移。另外，他們提出的控制圖是基于極大似然比檢驗導出的，故屬于CUSUM控制圖。另外，還有兩篇文章研討相關數(shù)據(jù)的基于似然比的控制圖, 。六、檢測區(qū)間飄移的控制圖的研討現(xiàn)有絕大多數(shù)控制圖的最優(yōu)參數(shù)都是針對固定飄移設計得到的，但在許多實踐問題中，

13、飄移的大小是很難事先確定的，于是就有了區(qū)間飄移的檢測問題。最早研討區(qū)間飄移的是Lorden, 其方法是結合無窮多個CUSUM，但其計算非常困難。Zhao, Tsung, and Wang提出的DCUSUM控制圖不僅可以用來檢測區(qū)間飄移，而且其一種設計方法的效果非常接近Lorden的無窮多個CUSUM控制圖，即它是漸近最優(yōu)的(相對于無窮多個CUSUM控制圖)。另外，他們也首先給出了衡量檢測區(qū)間飄移的準那么IRARL及其計算方法，但由于利用了馬氏鏈方法，故推行到雙邊情況較困難(或所需計算時間很長)。Han和Tsung用類似于Lorden的思想提出了GEWMA，并從大樣本角度與其它幾種常用方法進展了

14、比較。無論從實際結果還是模擬結果看，GEWMA較其它幾種方法均具有一定的優(yōu)勢。雖然Han和Tsung僅比較了ARL的大小，并沒有從運轉長度的分布和規(guī)范差角度進展比較，但這是利用大樣本性質研討控制圖的第一篇文章不包括變點問題。關于變點問題的類似方法請見Siegmund and Venkatraman，并由此開辟了研討控制圖的一種新方法。七、終了語本文僅就獨立及相關數(shù)據(jù)的第一、第二階段控制圖及相關數(shù)據(jù)的動態(tài)質量控制圖的研討內容，進展了簡單的引見，并給出了較詳細的參考文獻。對其中有興趣的讀者可參見相應的文獻。當然，關于質量控制圖還有一些研討熱點，如穩(wěn)鍵的多元控制圖有基于auti-rank的，有基于s

15、tatistical depth的、結合SPC與EPC的控制圖等等，但由于篇幅所限，本文沒有加以引見。參考文獻： Montgomery, D. C. (). Introduction to Statistical Quality Control, th ed. John Wiley & Sons, New York. Woodall, W. H. and Montgomery, D. C. (). Research issues and ideas in statistical process control. Journal of Quality Technology , . 張維銘().

16、統(tǒng)計質量控制實際與運用，浙江大學. 章渭基等(). 質量控制，科學. 周紀薌、茆詩松(). 質量管理統(tǒng)計方法，中國統(tǒng)計. 吳玉印(). 關于日本消費率的一個秘決，數(shù)理統(tǒng)計與管理，No , -. Lowry, C. A. and Montgomery, D. C. (). A review of multivariate control charts. IIE Transactions, , -. Chakraborti, S., Van Der Laan, P., and Barki, S. (). Nonparametric statistical process control: an o

17、verview and some results, Journal of Quality Technology, , -.王兆軍().關于動態(tài)質量控制圖的設計實際，運用概率統(tǒng)計,-.Montgomery, D. C.(). The economic design of control charts: a review and literature survey, Journal of Quality Technology, , -.Han, D., Tsung, F. G. (). A Generalized EWMA Control Chart and Its Comparison with

18、 the Optimal EWMA, CUSUM and GLR Schemes, Annals of Statistics, , -.Han, D., Tsung, F. G. (). A reference-free Cuscore chart for dynamic mean change detection and a unified framework for charting performance comparison, to appear in JASA.Amin, R. W., Hemasinha, R. (). The switching behavior of X-bar

19、 charts with variable sampling intervals, Communication in Statistics-Theory and Method, , -.張維銘(). 可變樣本容量的質量控制圖, 運用概率統(tǒng)計, , -.Costa, A. F. B. (). X-bar charts with variable parameters, Journal of Quality Technology, (), -.Kang, L, Albin, S. L. (). On-line monitoring when the process yields a linear

20、profile, Journal of Quality Technology, , -.Kim, K. , Mahmound, M. A., and Woodall, W. H. (). On the monitoring of linear profile, Journal of Quality Technology, , -.Mahmoud, M. A., Woodall, W. H. (). Phase I analysis of linear profiles with calibration applications, Technometrics, , -.Zou Changlian

21、g, Day Yi, and Wang Zhaojun (). Control Charts Based on Likelihood Ratio For Preliminary Analysis of Linear Profile. Nankai Preprints in Mathematics, -.Zou Changliang, Zhang Yujuan, Wang Zhaojun (). Control chart based on Change-Point model for monitoring Linear Profiles, to appear in IIE Transactio

22、ns, . Zou Changliang, Zhou Chunguang, Wang Zhaojun (). Self-Starting Control Chart For Linear Profiles. ?Montgomery, D. C., Mastrangelo, C. M. (). Some statistical process control methods for autocorrelated data, Journal of Quality Technology, , -.Jiang, W., Tsui, K. L., and Woodall, W. H. (). A new

23、 SPC monitoring method: the ARMA chart, Technometrics, , -.Lin, W. S. W., Adams, B. M. (). Combined control charts for forecast-based monitoring schemes, Journal of Quality Technology, , -.Dyer, J. N., Adams, B. M., Conerly, M. D. (). The reverse moving average control chart for monitoring autocorre

24、lated processes, JQT, , -.Nembhard, H. B. Kao, M.S. () Adaptive forecast-based monitoring for dynamic systems, Technometrics, , -.Adams, B. M., Tseng, I. T. (). Robustness of forecast-based monitoring schemes, Journal of Quality Technology, , -.Lu, C. W., and Reynolds, M. R., Jr. (). Control charts

25、for monitoring the mean and variance of autocorrelated processes, Journal of Quality Technology, , -. VanBracklet, L. N., and Reynolds, M. R., Jr. (). EWMA and CUSUM control charts in the presence of correlation, Communication in Statistics-Simulation and Computation, , -. Boyles, R. A. (). Phase I

26、analysis for autocorrelated processes, Journal of Quality Technology, , -. Wright, C. M., Booth, D. E., and Hu, M. Y. (). Joint estimation: SPC method for short-run autocorrelated data, Journal of Quality Technology, , -.Sullivan, J. H. & Woodall, W. H. (), A control chart for preliminary analysis o

27、f individual observations, Journal of Quality Technology, ,-.Koning, A. J. and Does, R. J. M. M. (). CUSUM control charts for preliminary analysis of individual observations, Journal of Quality Technology, , -.Dai, Y., Zou, C. L., and Wang, Z. J. (). Cusum control charts based on likelihood ratio fo

28、r preliminary analysis. Nankai Preprints in Mathematics, -.Stoumbos, Z. G., and Reynolds, Jr. M. R. (). Control charts applying a sequential test at fixed sampling intervals, Journal of Quality Technology, , -.Stoumbos, Z. G., Reynolds, Jr., M. R. (). The SPRT control chart for the process mean with

29、 samples starting at fixed times, Nonlinear Analysis: Real World Applications, , -. Apley, D. W. and Shi, J. (). The GLRT for statistical process control of autocorrelated processed, IIE Transactions, , -. Shu, L. J., Apley, D. W., and Tsung, F. (). Autocorrelated process monitoring using triggered

30、Cuscore charts. Quality and Reliability Engineering International, , -. Lorden, G. (). Procedures for reacting to a change in distribution. Annals of Mathematics and Statistics, , -.Zhao Yi, Tsung Fugee, Wang Zhaojun (). Dual CUSUM control scheme for detecting a range of mean shift. IIE Transactions, , -.Siegmund, D. , and Venkatraman, E. S. (). Using the generalized likelihood ratio statistic