六年級(jí)奧數(shù)比較與估算教師版

1、 PAGE 頁(yè)碼 20 / NUMPAGES 總頁(yè)數(shù) 20比較與估算教學(xué)目標(biāo)六年級(jí)奧數(shù)比較與估算教師版知識(shí)點(diǎn)撥一、小數(shù)的大小比較常用方法為方便比較,往往把這些小數(shù)排成一個(gè)豎列,并在它們的末尾添上適當(dāng)?shù)摹?”,使它們都變成小數(shù)位數(shù)相同的小數(shù).如果是循環(huán)小數(shù),就把它改寫(xiě)成一般寫(xiě)法的形式二、分?jǐn)?shù)的大小比較常用方法 = 1 * GB2 通分母：分子小的分?jǐn)?shù)小. = 2 * GB2 通分子：分母小的分?jǐn)?shù)大. = 3 * GB2 比倒數(shù)：倒數(shù)大的分?jǐn)?shù)小. = 4 * GB2 與1相減比較法：分別與1相減,差大的分?jǐn)?shù)小適用于真分?jǐn)?shù) = 5 * GB2 重要結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)真分?jǐn)?shù),如果分子和分母相差相同的數(shù),則

2、分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大；對(duì)于兩個(gè)假分?jǐn)?shù),如果分子和分母相差相同的數(shù),則分子和分母都小的分?jǐn)?shù)比較大 = 6 * GB2 放縮法在實(shí)際解題的過(guò)程中,我們還會(huì)用到其它一些思路！同學(xué)們要根據(jù)具體情況展開(kāi)思維！三、數(shù)的估算時(shí)常用方法1放縮法：為求出某數(shù)的整數(shù)部分,設(shè)法放大或縮小使結(jié)果介于某兩個(gè)接近數(shù)之間,從而估算結(jié)果2變換結(jié)構(gòu)：將原來(lái)算式或問(wèn)題變形為便于估算的形式例題精講模塊一、兩個(gè)數(shù)的大小比較如果a ,b ,那么a,b中較大的數(shù)是 【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級(jí),一試方法一：1 ；1 因?yàn)?,所以b較大；方法二：因?yàn)?所以,進(jìn)而,即；方法三：兩個(gè)真分?jǐn)?shù)

3、,如果分子和分母相差相同的數(shù),分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大,所以b大【答案】試比較和的大小【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較 【難度】2星 【題型】填空【答案】比較和的大小【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較 【難度】2星 【題型】填空因?yàn)?顯然,根據(jù)被減數(shù)一定,減數(shù)越大差越小的道理,有：【答案】如果A,B,A與B中哪個(gè)數(shù)較大？【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯,決賽方法一：觀察可以發(fā)現(xiàn)A、B都很接近,且比它小我們不防與比較A,B,BA,即B比A更接近,換句話說(shuō) BA .方法二： ,即.方法三：,顯然,則【答案】如果,那么A和B中較大的數(shù)是 .【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較 【難度】2星

4、【題型】填空【關(guān)鍵詞】祖沖之杯,即大【答案】試比較和的大小 【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空方法一：觀察可知,這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都比分子的10倍多1對(duì)于這樣的分?jǐn)?shù),可以利用它們的倒數(shù)比較大小的倒數(shù)是1 ,的倒數(shù)是 ,我們很容易看出10 10 ,所以 ；方法二：,兩個(gè)真分?jǐn)?shù),如果分子和分母相差相同的數(shù),則分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大,所以即【答案】在 a=200320032002和 b=200220032003中,較大的數(shù)是_ ,比較小的數(shù)大_ 。 【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,4年級(jí),1試b-a=200220032003-20032003

5、2002=200200002003+20032003-200300002002-20032002=20032003-2002=2003所以a比b大2003【答案】a比b大2003設(shè)a= ,b= ,則在a與b中,較大的數(shù)是_?！究键c(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空可采用放縮法。因?yàn)? + + ,。所以,即a是較大的數(shù)。當(dāng)然這道題目我們也可采用通分求結(jié)果的一般方法?！敬鸢浮縜比較與的大小【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空如果直接放縮：,但是,所以不能確定與的大小關(guān)系,同樣如果如下進(jìn)行放縮：,也不能確定但是如果保留,將進(jìn)行放縮,則有：,可見(jiàn)兩者中較大【答案】較大與相比

6、,哪個(gè)更大,為什么？【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空記,顯然有： ,而,有,所以原分式比小 .【答案】更大試比較: 與哪一個(gè)大? 【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空296=378,185=375,因?yàn)?所以【答案】圖中有兩個(gè)黑色的正方形,兩個(gè)白色的正方形,它們的面積已在圖中標(biāo)出單位：厘米黑色的兩個(gè)正方形面積大還是白色的兩個(gè)正方形面積大?請(qǐng)說(shuō)明理由【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽,口試此題利用到平方差公式：19971996199719961997199619971996399319931992199319923985所以1

7、997199619931992即1997199219961993,兩個(gè)白色正方形的面積大【答案】?jī)蓚€(gè)白色正方形的面積大在中選出若干個(gè)數(shù)使它們的和大于3,最少要選多少個(gè)數(shù)?【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空 為了使選出的數(shù)最少,那么必須盡可能選擇較大的數(shù) 有依次減小,所以我們選擇時(shí)應(yīng)從左至右的選擇 有而所以最少選擇11個(gè)即可使它們的和大于3.【答案】11個(gè)已知：,那么與中 比較大,說(shuō)明原因；【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較 【難度】4星 【題型】填空 ,即比大【答案】比較大模塊二、多個(gè)數(shù)的大小比較 = 1 * GB2 比較以下小數(shù),找到最大的數(shù)：, , = 2 * GB2 比較以下5個(gè)

8、數(shù),排列大小：1 ,.【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空 = 1 * GB2 題目中存在循環(huán)小數(shù),將所有小數(shù)位數(shù)補(bǔ)至相同的位數(shù),如下所示： 1.12112112l 1.121000000 1.1212121211.121210000 1.120000000于是可以得出結(jié)果,是最大的數(shù)對(duì)于循環(huán)小數(shù)的問(wèn)題,首先考慮的就是將其展開(kāi),從中獲得足夠的信息,然后按照小數(shù)比較原則判斷,不處理而一味的觀察是沒(méi)有意義的 = 2 * GB2 題目中出現(xiàn)了整數(shù)、小數(shù)、假分?jǐn)?shù),可以先把數(shù)分為兩個(gè)部分,一部分為小于1的數(shù),一部分為大于等于1的數(shù),然后兩部分內(nèi)部比較,無(wú)須兩部分間重復(fù)比較小于l的部分為和

9、,將小數(shù)展開(kāi),并把化為小數(shù)得：,顯然,即；大于等于1的部分中,有整數(shù)、小數(shù)、假分?jǐn)?shù)：1,1.667,先將假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù),比較三數(shù)整數(shù)部分,發(fā)現(xiàn)都為1,然后比較其他部分：1.6666661.667,所以得到1 ； -=,即；-=,即；-=,即；-,-,-,-所得的差依次為,均小于0,所以,bc Bacb Cacb Dabc【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】選擇【關(guān)鍵詞】華杯賽,初賽略【答案】甲、乙兩個(gè)天平上都放著一定重量的物體,問(wèn)：哪個(gè)是平衡的?【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽,初賽考慮除以3,所得的余數(shù)因?yàn)?78除以3余1,9763除以3也余

10、1只要看478,9十76十3除以3的余數(shù),所以4789763除以3余111,而4666514除以3余2即4666514除以3余2,因此47897634666514,從而天平甲不平衡天平乙是平衡的.【答案】天平乙是平衡的用“”號(hào)把下列分?jǐn)?shù)連接起來(lái)： 【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空這道題目本身并不難,孩子們用自己的辦法可以很快的做出來(lái),但如果數(shù)字變的復(fù)雜些,那么我們就必須找到一個(gè)有效方法了。從這道題目,我們可以給大家展示另外2種典型思路。法1：法2: 觀察可以發(fā)現(xiàn)分母都是4的倍數(shù),所以我們不妨把分母都化為4,可得：因?yàn)?即【答案】這里有5個(gè)分?jǐn)?shù)：,如果按大小順序排列,排在中間

11、的是哪個(gè)數(shù)？【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽,初賽,試題分子的最小公倍數(shù)是60,給出的5個(gè)分?jǐn)?shù)依次等于：,比較分母的大小,居中的分?jǐn)?shù)是,即?！敬鸢浮繌牧鶄€(gè)數(shù)中選出三個(gè)數(shù),分別記為A,B,C.要求選出的三個(gè)數(shù)使得AB-C盡量大,并寫(xiě)出AB-C的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示?！究键c(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空要求AB-C盡量大,顯然C取最小數(shù),A、B取最大和次大數(shù),利用和一定,差越小積越大,顯然A取次大數(shù),B取最大數(shù)。六個(gè)數(shù)中分?jǐn)?shù)、小數(shù)并存,發(fā)現(xiàn)是比1小的數(shù),所以C為。再看其它五個(gè)數(shù)字,本題將分?jǐn)?shù)化為小數(shù)容易判斷：因此,故有： . 【答案】在四個(gè)算式60.3,

12、6,6,6的四個(gè)方框內(nèi),分別填上加、減、乘、除四種運(yùn)算符號(hào),使得到的四個(gè)算式的四個(gè)圓圈之和盡可能大,那么這個(gè)和等于多少？ 【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空 所以,0.3前面應(yīng)填除號(hào),前面填減號(hào),前填加號(hào),前填乘號(hào),才能使這四個(gè)算式的答數(shù)之和最大這個(gè)最大的和是：【答案】從1,2,3,4,5,6,7,8,9中隨意取出兩個(gè)數(shù)字,一個(gè)作分子,一個(gè)作分母,組成一個(gè)分?jǐn)?shù),所有分?jǐn)?shù)中,最大的是 ,循環(huán)小數(shù)有個(gè) 。【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級(jí),一試最大的為=9,循環(huán)小數(shù)的分母為3,分子為1、2、4、5、7、8；分母為6,分子為1、2、4、5、

13、7、8；分母為7,分子為1、2、3、4、5、6、8、9；分母為9,分子為1、2、3、4、5、6、7、8；共28個(gè)?！敬鸢浮?；共28個(gè) 從中去掉兩個(gè)數(shù),使得剩下的三個(gè)數(shù)之和與接近,去掉的兩個(gè)數(shù)是 .ABCD【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】選擇【關(guān)鍵詞】華杯賽,初賽 本題不是計(jì)算最大,而是計(jì)算哪個(gè)與接近,再找分母的最小公倍數(shù)比較大小,則以上分式分別可以寫(xiě)成：,可以寫(xiě)成,顯然最接近?！敬鸢浮緿已知A15=B15=C15.2=D14.8.A、B、C、D四個(gè)數(shù)中最大的是_【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】小數(shù)報(bào),決賽找A、B、C、D中最大的,即找151、15

14、.2、14.8中最小的容易求出最小,所以B最大【答案】B已知,并且,都不等于0,把、這三個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列是_ ?！究键c(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,初賽,六年級(jí)由于,且,所以。【答案】氣象局對(duì)部分旅游景區(qū)的某一天的氣溫預(yù)報(bào)如下表：景區(qū)千島湖 張家界廬山三亞麗江大理九寨溝鼓浪嶼武夷山黃山氣溫11/18/43/-227/1917/318/38/-815/915/10/-5其中,溫差最小的景區(qū)是_ ,溫差最大的景區(qū)是_。【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,4年級(jí),1試表中溫差從左到右分別為：10、4、5、8、14、15、16

15、、6、14、5所以溫差最小的景區(qū)是張家界,溫差最大的景區(qū)是九寨溝。【答案】最小的景區(qū)是張家界,溫差最大的景區(qū)是九寨溝模塊三、數(shù)的估算求數(shù) 的整數(shù)部分【考點(diǎn)】數(shù)的估算 【難度】2星 【題型】填空這道題顯然不宜對(duì)分母中的11個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分求和要求a的整數(shù)部分,只要知道a在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間因?yàn)閍中的11個(gè)分?jǐn)?shù)都不大于,不小于,所以1111 即1.1 由此可知a的整數(shù)部分是1【答案】1已知 ,則A的整數(shù)部分是_【考點(diǎn)】數(shù)的估算 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級(jí),一試； 所以的整數(shù)部分是2?！敬鸢浮壳髷?shù)的整數(shù)部分是幾？【考點(diǎn)】數(shù)的估算 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽,復(fù)賽

16、,即1原式1.9,所以原式的整數(shù)部分是1.【答案】求數(shù)的整數(shù)部分【考點(diǎn)】數(shù)的估算 【難度】3星 【題型】填空,又,所以,即,所以其整數(shù)部分是1【答案】1已知：S,則S的整數(shù)部分是 . 【考點(diǎn)】數(shù)的估算 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】清華附中,入學(xué)測(cè)試如果全是,那么結(jié)果是,如果全是,那么結(jié)果是,所以S,不能確定S的整數(shù)部分.我們不妨采用分段估值,有：則大家馬上會(huì)被這個(gè)計(jì)算量嚇住了！這只是我們的第一次嘗試,如果不行我們還要再次細(xì)化分段,計(jì)算量的龐大讓我們有些止步了.那么我們有沒(méi)有更好的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？答案是：有！下面先讓我們來(lái)看看兩個(gè)例子： = 1 * GB2 那么也就有：2那么也就有

17、：聰明的你從中會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)找“最小界限的新規(guī)律”,那么再讓我們回到原題來(lái)看看吧！則,由此可以確定整數(shù)部分是73【答案】已知,則與最接近的整數(shù)是_【考點(diǎn)】數(shù)的估算 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)校由于,所以,所以,即,那么與最接近的整數(shù)是143小結(jié)：由于只需要求與最接近的整數(shù),而不是求的整數(shù)部分,所以進(jìn)行上述放縮已經(jīng)足夠但是如果要求的整數(shù)部分,又該如何進(jìn)行呢？將分母中的14個(gè)分?jǐn)?shù)兩兩分為一組：,分組的標(biāo)準(zhǔn)在于每組中兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母之和相等,此處有偶數(shù)項(xiàng),恰好可以兩兩分組；如果有奇數(shù)項(xiàng),則將中間的一項(xiàng)單獨(dú)分為一組,根據(jù)“兩數(shù)之和一定,差越小積越大”,可知,所以,可得,所以,所以,即,所以的

18、整數(shù)部分為142【答案】142的整數(shù)部分是_【考點(diǎn)】數(shù)的估算 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯,六年級(jí)由于,所以,即,所以,所以,又,所以,所以的整數(shù)部分是1【答案】的整數(shù)部分是 【考點(diǎn)】數(shù)的估算 【難度】3星 【題型】填空對(duì)分母進(jìn)行放縮令,則,又,根據(jù)兩個(gè)數(shù)和一定則差越小積越大,所以,則,可得,所以,即,所以的整數(shù)部分為400【答案】400已知,求的整數(shù)部分【考點(diǎn)】數(shù)的估算 【難度】4星 【題型】填空題中已經(jīng)指明,式子中每一項(xiàng)的分母都可以表示成,對(duì)于不好直接進(jìn)行處理,很容易聯(lián)想到及,所以可以進(jìn)行放縮由于,所以,那么,即,那么的整數(shù)部分為1小結(jié)：從式子中也可以直接看出,所以對(duì)于這一

19、點(diǎn)也可以不進(jìn)行放縮【答案】1A8.88.988.9988.99988.99998,A的整數(shù)部分是_.【考點(diǎn)】數(shù)的估算 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】小數(shù)報(bào),決賽方法一：A8.8544 ,A9545 ,所以A的整數(shù)部分是44 .方法二：將原式變形后再估算A8.88.988.9988.99988.9999890.290.0290.00290.000290.00002450.22222所以A的整數(shù)部分是44 .【答案】44=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998,的整數(shù)部分是 。【考點(diǎn)】數(shù)的估算 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯,6年級(jí)=11-0.2+

20、11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222所以的整數(shù)部分是54?！敬鸢浮?4已知x0.90.990.9990.9999999999求x的整數(shù)部分【考點(diǎn)】數(shù)的估算 【難度】3星 【題型】填空方法一：要求x的整數(shù)部分,必須找到x介于哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間即axa1,x的整數(shù)部分和n相等可以先將原算式放大,把每個(gè)加數(shù)都看成1這樣結(jié)果是11010；然后將原算式縮小,把每個(gè)加數(shù)都看成0.9,結(jié)果是0.9109可見(jiàn)原算式的結(jié)果介于10和9之間即9x10,所以x的整數(shù)部分是9方法二：將原式變型后再估算x0.90.990.9990.999999999910.1

21、10.0110.00110.0000000001 100.10010.0010.0000000001100.1111111111所以x的整數(shù)部分是9【答案】9計(jì)算 8.011.248.021.238.031.22整數(shù)部分.【考點(diǎn)】數(shù)的估算 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽 方法一：在8.011.248.021.238.031.22中,各式的兩個(gè)因數(shù)之和都相等.根據(jù)兩個(gè)數(shù)和一定時(shí),這兩個(gè)數(shù)越接近則乘積越大,所以8.011.248.021.238.031.22；則有1.228.0031.228.033原式1.248.0131.258.003 ,即 29.28原式30 ,所以原式的整數(shù)部分

22、是29 .方法二：為了使計(jì)算簡(jiǎn)便,可以把8.01、8.02、8.03分成整數(shù)和小數(shù)兩部分計(jì)算,小數(shù)部分可以進(jìn)行估算81.2481.2381.2281.241.231.2283.6629.280.011.240.021.230.031.220.0110.0210.0310.06因?yàn)?.06不會(huì)影響整個(gè)算式的整數(shù)部分,所以整數(shù)部分是29【答案】29老師在黑板上寫(xiě)了七個(gè)自然數(shù),讓小明計(jì)算它們的平均數(shù)保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位小明計(jì)算出的答數(shù)是14.73,老師說(shuō)：“除最后一位數(shù)字外其它都對(duì)了”那么,正確的得數(shù)應(yīng)是_ _.【考點(diǎn)】數(shù)的估算 【難度】3星 【題型】填空法1：因?yàn)?4.7這三個(gè)數(shù)字正確,14.77102.9,所以,這七個(gè)自然數(shù)的