《固體物理學(xué)》房曉勇-思考題01第一章 晶體的結(jié)構(gòu)

1、 第一章晶體的結(jié)構(gòu)思考題為什么自然界中大多數(shù)固體以晶態(tài)形式存在？為什么面指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面往往暴露在外表面？解答：在密勒指數(shù)（面指數(shù)）簡(jiǎn)單的晶面族中，面間距d較大。對(duì)于一定的晶格，單位體積內(nèi)格點(diǎn)數(shù)目一定，因此在晶面間距大的晶面上，格點(diǎn)（原子）的面密度必然大。面間距大的晶面，由于單位表面能量小，容易在晶體生長(zhǎng)過(guò)程中顯露在外表面，所以面指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面往往暴露在外表面。任何晶面族中最靠近原點(diǎn)的那個(gè)晶面必定通過(guò)一個(gè)或多個(gè)基矢的末端嗎？解答：根據(jù)固體物理學(xué)式（l-10a）acos1,n=hd11,n=hd22(1-10a)acos3,n=hd33解理面是面指數(shù)低的晶面還是指數(shù)高的晶面？為什么？解答：晶體容易

2、沿解理面劈裂，說(shuō)明平行于解理面的原子層之間的結(jié)合力弱，即平行解理面的原子層的間距大.因?yàn)槊骈g距大的晶面族的指數(shù)低,所以解理面是面指數(shù)低的晶面.在14種布喇菲格子中，為什么沒(méi)有底心四方、面心四方和底心立方？解答：參考陳金富P33頁(yè)，徐至中1-13佃(6)1）圖（a）代表向c軸俯視所觀察到的體心四方的格點(diǎn)分布。格點(diǎn)距離由格點(diǎn)組成的晶面的C/2處。如C=a，則點(diǎn)陣為bcc;如圖所示，為已經(jīng)伸長(zhǎng)的bcc，cHa，它是體心四方點(diǎn)陣。如圖（b）與圖（a）代表同樣的點(diǎn)陣，只是觀察的角度不同，圖中構(gòu)成四方面心格點(diǎn)，面心格點(diǎn)間的距離a-云，如C=書(shū)，則點(diǎn)陣為fcc；對(duì)于一般的C值，圖是沿c軸伸長(zhǎng)后的點(diǎn)陣，因此相

3、同的點(diǎn)陣從（a）是體心點(diǎn)陣，從（b）看是面心點(diǎn)陣，本質(zhì)上相同，都稱為體心四方點(diǎn)陣。2）類似的底心四方和簡(jiǎn)單四方是同一種點(diǎn)陣。3）底心立方不再具有立方對(duì)稱性。所以不存在。許多金屬既可以形成體心立方結(jié)構(gòu)，也可以形成面心立方結(jié)構(gòu)。從一種結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N結(jié)構(gòu)時(shí)體積變化很小。設(shè)體積的變化可以忽略，并以R/和R代表面心立方和體心立方結(jié)構(gòu)中最近鄰原子間的距離,fb試問(wèn)R/R等于多少？fd4R解答：在面心立方晶胞結(jié)構(gòu)的空間面對(duì)角線為4R，晶胞的邊長(zhǎng)a=；一個(gè)晶胞包含4個(gè)原子，單ff丁2位體積中的原子數(shù)為nf（4R在體心晶胞結(jié)構(gòu)的空間體對(duì)角線為4R，晶胞的邊長(zhǎng)abb4R一個(gè)晶胞包含兩個(gè)原子，單位體積中的原子數(shù)為

4、nb（4R/bn=nfb依題意，在兩種晶格變化時(shí)設(shè)體積的變化可以忽略，即密度相等。4即（4R/程）=（4R/朽）fb得R/Rfd=石X213=1.029將等體積的硬球在平面上密積排列時(shí)，空間利用率等于多少？解答：在平面上排列時(shí)可以理解為是圓在二維平面上的排列，1)每一個(gè)圓如圖所示排列時(shí)，最緊密，空間利用率最大。每一個(gè)圓在平面四邊形一個(gè)頂角上，為四個(gè)四邊形共有，每個(gè)四邊形有四個(gè)圓，所以每個(gè)四邊形包含一個(gè)圓。每個(gè)四邊形的面積S=2xxa2cos2=2x1x（2R）2sin兀=2x、3R223每個(gè)圓的面積S=冗R2空間利用率面利用率pS2頁(yè)R22P3空間利用率體利用率pS4冗R3323R2X2R2)

5、球排成正方形格子每個(gè)正方形的面積S=a2=(2R)2=4R2每個(gè)圓的面積S=冗R2第一章晶體的結(jié)構(gòu)習(xí)題2 空間利用率面利用率P=-SS4R24V4冗R33兀V4R2x2R6空間利用率體利用率PS在立方晶系中，晶列hkl垂直于同指數(shù)的晶面（hkl）。這個(gè)結(jié)論對(duì)別的晶系，例如四方晶系兀、（a=卩=丫=,a=b主c），是否成立？2解答：設(shè)d為晶面族的（hkl）的面間距，n為法向單位矢量，根據(jù)晶面的定義，晶面族（hkl）將a,b,c分別截為h,k|,|l|等分，即()a-n=acosa,n=hd于是有dddn=hi+ki+li(1)abc其中i,k,l分別是a,b,C三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量，面晶列Vhk

6、i的方向矢量為R=hai+kbj+ick(2)如果是立方晶系a=b=c，TOC o 1-5 h zdddd()n=hi+kj+lk=hi+kj+lk(1)bcaR=hai+kbj+ick=ha(+kj+ik)(2)-*d*比較兩式得n=正R，即n與R平行，晶列hkl垂直于同指數(shù)的晶面（hkl）cos0=/d-d-d-A()hi+kj+lkI-Vhai+kbj+lck丿*abc丿(h2+k2+l2)+kbj+lck)h2k2l2+xh2a2+k2b2+l2c2a2b2c2如果是立方晶系，cos0=1，表示平行，即晶列hkl垂直于同指數(shù)的晶面（hkl）兀如果不是立方晶系，例如四方晶系（a=卩=丫=

7、,a=b豐c）(h2+k2+l2)cos0=h2k2l2:+x；h2a2+k2a2+l2c2a2a2c2第一章晶體的結(jié)構(gòu)習(xí)題123 顯然，cos0豐1,即n與R不平行，即晶列hkl不垂直于同指數(shù)的晶面（hkl）。1.8驗(yàn)證晶面（210）、（110）、（012）是否屬于同一晶帶？若是同一晶帶，其帶軸方向的晶列指數(shù)是什么？解答：參考王矜奉1.1.6；根據(jù)習(xí)題1.10，三個(gè)晶面屬于同一晶帶的條件是hhh-21123hhh=0,而-11123hf1h2hf3010=(-2)x(1x2-1x1)+1x2所以晶面（210）、（110）、（1x0-(-1)x2=0012）是屬于同一晶帶。三晶面屬于同一晶帶u

8、vw其帶軸方向的晶列指數(shù)是uvw，（交線為晶帶軸，此即為晶帶軸的方向指數(shù)）,則滿足KCa+vb+wc一一一)()a*+hb*+he*丿ua+vb+wc=0123因?yàn)閍*a=b*b=e*e=2兀得hu+hv+hw=0123同理有hfu+hfv+hfw=01233hh22hhhh12hhhhhhhh100-2-212u:v:w=33112=hhhhh111-1-1112233123得=1:2:12331121.9晶面指數(shù)為（123）的晶面ABC是離原點(diǎn)O最近的晶面，OA、OB、和OC分別與基矢a,a,a重合,123除O點(diǎn)外，OA、OB、和OC上是否有格點(diǎn)？若ABC的面指數(shù)為（234）,情況又如何？

9、解答：參考1.2.5晶面族（123）截a,a,a分別為1,2,3等份，ABC面是離原點(diǎn)O最近的晶面，OA的長(zhǎng)度等于a長(zhǎng)1231度,OB的長(zhǎng)度等于7長(zhǎng)度的1/2,OC的長(zhǎng)度等于7長(zhǎng)度的1/3,所以A是格點(diǎn)。若ABC的面指數(shù)為（234）,23則A、B、C都不是格點(diǎn)。1.10與晶列l(wèi)ll垂直的倒格面的面指數(shù)是什么？第一章晶體的結(jié)構(gòu)習(xí)題 2aa2（a）斜方晶格，a,a任意，申任意.12b）正方晶格，（c）長(zhǎng)方晶格，a主a,q=兀/2.12解答：王矜奉1.1.8正格子與倒格子互為倒格子，正格子晶面（仇1,h2,與倒格式Kh=-bi+h2b2+h3b3垂直，則倒格晶面Qii）與正格矢r=ia+1a+1a正

10、交，即晶列/門(mén)與倒格面（iii）垂直。123l112233123123面心立方和體心立方晶格中原子線密度最大的是哪個(gè)方向？解答：參考王矜奉1.2.11面間距最大的晶面上的格點(diǎn)最密，格點(diǎn)最密的線一定分布在格點(diǎn)最密的面上。根據(jù)固體物理學(xué)習(xí)題1.12，面心立方晶格中格點(diǎn)面密度最大的面是面指數(shù)為（111）的晶面，所以面心立方晶格中原子線密度最大的方向是晶面（111）內(nèi)如圖所示，最小的晶體心立方晶格中，面密度最大的面是面指數(shù)為（110）的晶面，所以面心立方晶格中原子線密度最大的方向是晶面（110）內(nèi)如圖所示，最小的晶列周期為冒3a/2.二維布喇菲點(diǎn)陣只有五種，試列舉并畫(huà)圖表示之。解答：參考基泰爾P6有斜

11、方晶格、正方晶格、長(zhǎng)方晶格、六角晶格和有心長(zhǎng)方晶格五種。（e）長(zhǎng)方晶格，左邊為原胞，右為晶胞(d)六角方晶格，a=a,cp=2兀/3.12具有4度象軸而沒(méi)有4度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸的晶體，有沒(méi)有對(duì)稱中心？舉例說(shuō)明。解答：1.14如晶體中存在兩個(gè)相互交角為n/4的對(duì)稱面，試問(wèn)這兩個(gè)對(duì)稱面的交線是幾度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸？解答：面心立方元素晶體中最小的晶列周期為多大？該晶列在那些晶面內(nèi)？解答：參考王矜奉1.1.12周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面內(nèi)。若以密堆積模型，則原子密度最的晶面就是密排面。如固體物理學(xué)圖1-9所示，可知密勒指數(shù)（111）可以證明原胞坐標(biāo)系中的面指數(shù)也為（111）是一個(gè)密排面晶面族，最小的

12、晶列周期為2a/2.根據(jù)同族晶面族的性質(zhì)，周期最小的晶列處于（111）晶面內(nèi)。對(duì)晶體做結(jié)構(gòu)分析時(shí)，為什么不使用可見(jiàn)光？解答：固體物理學(xué)式（1-39）布拉格反射公式2dsin0=n九（1-39），當(dāng)入射波長(zhǎng)一定時(shí)，入射h1h2h3角只有符合sin0=n九f2d時(shí)才能發(fā)生衍射。由于sin01，則當(dāng)n=1時(shí)，必有X2d。晶體中h1h2h3h1h2h3原子間距的數(shù)量級(jí)為10-10m，要使原子晶格成為光波的衍射光柵，光波的波長(zhǎng)應(yīng)小于10-10m。但可見(jiàn)光的波長(zhǎng)為（4.07.6）x10-7m，是晶體中原子間距的1000倍。因此，在晶體衍射中，不能用可見(jiàn)光。在晶體的X射線衍射中，為了實(shí)現(xiàn)來(lái)自相繼晶面的輻射發(fā)

13、生相長(zhǎng)干涉，對(duì)于高指數(shù)的晶面，應(yīng)采用長(zhǎng)的還是短的波長(zhǎng)？解答：高指數(shù)的晶面族與低指數(shù)的晶面族相比，對(duì)于同級(jí)衍射，哪一晶面衍射光弱？為什么？解答：（參考王矜奉1.1.14）對(duì)于同一級(jí)衍射，高指數(shù)的晶面族衍射光弱，低指數(shù)的晶面族衍射光強(qiáng)。低指數(shù)的晶面族面間距大，晶面上的原子密度大，這樣的晶面對(duì)射線的反射（衍射）作用強(qiáng)。相反，高指數(shù)的晶面族面間距小，晶面上的原子數(shù)密度小，這樣的晶面對(duì)射線的反射（衍射）作用弱。另外，由固體物理學(xué)式（1-39）布拉格反射公式2dsin=nX（-L39h1h2h3可知，面間距大的晶面，對(duì)應(yīng)一個(gè)小的光的掠射角0，面間距小的晶面，對(duì)應(yīng)一個(gè)大的光的掠射角0，0越大，光的透射能力越

14、強(qiáng)，反射能力越弱。溫度升高時(shí)，衍射角如何變化？X光波長(zhǎng)變化時(shí)，衍射角如何變化？解答：（參考王矜奉1.1.15）由固體物理學(xué)式（1-39）布拉格反射公式2dsin0=nX（1-39）h1h2h3可知，對(duì)于同一級(jí)衍射，當(dāng)X光波長(zhǎng)不變時(shí)，面間距d之間變大，衍射角逐漸變小，所以溫度h1h2h3升高，由于熱膨脹，面間距d逐漸變大，衍射角變小。h1h2h3當(dāng)溫度不變時(shí)，X光波長(zhǎng)變大時(shí)，對(duì)于同一晶面族，衍射角隨之變大。體心立方元素晶體，密勒指數(shù)（100）和（110）面，原胞坐標(biāo)系中的一級(jí)衍射，分別對(duì)應(yīng)晶胞坐標(biāo)系中幾級(jí)衍射？解答：（參考王矜奉1.1.16,1.2.15，王矜奉教材29頁(yè)）根據(jù)固體物理學(xué)1.5節(jié)

15、，根據(jù)固體物理學(xué)式1-9)體心立方晶體的固體物理學(xué)原胞和結(jié)晶學(xué)晶胞的中基矢分別為a1aia2ajaka3倒格矢分別為b1(j+k)=b*+c*a*1b2j=1(一b一b+bb3+j)=a*+b*1(一b+b一b與固體物理學(xué)原胞晶面族（hhh）和結(jié)晶學(xué)晶胞晶面族（hkl）對(duì)應(yīng)的倒格矢分別為123一(一)(一)()K=hbhbhb=hb*c*ha*c*ha*b*h1h2h3112233123=(h+h)a*+(h+h)b*+(h+h)c*(a)2313127一一hK=ha*+kb*+lc*=hkl77)k(-777)l(77)b+b+b一b+b+b+b一b/212321232123=1(h+k+l

16、)b+(hk+l)b+(h+kl)b(b)根據(jù)固體物理學(xué)式（1-18）晶面間距離分別為,d123h1h2h3hkl2兀又根據(jù)固體物理學(xué)式（1-39）布拉格反射公式，2dsin0=n九(c)1232dsin0=n九(d)hkl衍射角相同意味著（hhh）與（hkl）為同一晶族，對(duì)應(yīng)的倒格矢平行，即123K=pK（e）h1h2h3hkl其中p是一個(gè)常數(shù)。比較得式（a）和（c）(hkl)=p(h+h)(h+h)(h+h)(f)231312p為(h+h),(h+h),(h+h)的公約數(shù)。231312比較比較得式(b)和(c)TOC o 1-5 h zK=K(g)hkl2h1h2h3(hhh)=(h+k+

17、l)(h-k+l)(h+k-l)(h)123pp為(h+k+l),(h-k+l),(h+k-1)的公約數(shù)。對(duì)于體心立方元素晶體，對(duì)應(yīng)密勒指數(shù)（100）的原胞體系的指數(shù)根據(jù)式（h）(hhh)123=(-h+k+l)(h-k+l)(h+k-l)=(-1+0+0)(1-0+0)(1+0-0)=C11)ffppp，=1，由式（c）、（d）和（g）可知n=2n，即對(duì)于體心立方元素晶體，對(duì)應(yīng)密勒指數(shù)（100）晶面族的原胞體系中一級(jí)衍射，對(duì)應(yīng)晶胞坐標(biāo)系中的二級(jí)衍射。對(duì)于體心立方元素晶體，對(duì)應(yīng)密勒指數(shù)（110）的原胞體系的指數(shù)根據(jù)式（h）（hhh）=（h+k+l）（h-k+l）（h+k-l）=（-1+1+0）

18、（1-1+0）（1+1-0）=1（001）123pp2p，=2，由式（c）、（d）和（g）可知n=n，即對(duì)于體心立方元素晶體，對(duì)應(yīng)密勒指數(shù)（100）晶面族的原胞體系中一級(jí)衍射，對(duì)應(yīng)晶胞坐標(biāo)系中的一級(jí)衍射。1.21如果間距為d的兩個(gè)相鄰原子面上X射線反射彼此加強(qiáng)，間距為2d，3d，4d,的兩個(gè)原子面上的反射是否也彼此加強(qiáng)？反之，如果間距為2d的兩個(gè)面的反射滿足布喇格公式，間距為d的面上的反射是否加強(qiáng)？解答：根據(jù)固體物理學(xué)式（1-39）2dsin0=n九（139）h1h2h3時(shí)滿足衍射加強(qiáng)，d是晶面族的面間距，與原子間間距成正比，即d=md。h1h2h3h1h2h3顯然當(dāng)間距為d的兩個(gè)原子滿足式（

19、1-39）時(shí)，間距為2d，3d，4d,的兩個(gè)原子面也滿足衍射加強(qiáng)。反之，如果間距為2d的兩個(gè)面的反射滿足布喇格公式時(shí)，如n為奇數(shù)時(shí)，間距為d的面不滿足衍射方程,而當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，間距為d的面滿足衍射方程，表示此面上的反射是加強(qiáng)的。1.22金剛石和鍺的幾何結(jié)構(gòu)因子有何異同？解答：（參考王矜奉1.1.18）幾何結(jié)構(gòu)因子的表達(dá)式（1-52）Fhkl=工fei2nn(huj+kv,+Iw其中u,v,w是一個(gè)晶胞內(nèi)，第j個(gè)原子的位置矢量在a,b,c軸上投影的系數(shù)。jjj金剛石和鍺具有相同的結(jié)構(gòu)，盡管它們的a,b,c大小不相同，但第j個(gè)原子的位置矢量在a,b,c軸上投影的系數(shù)相同。如果認(rèn)為晶胞內(nèi)各個(gè)原子的散射因子f都一樣，則幾何結(jié)構(gòu)因子化為Ei2nnCu+kv+iw)ejjjiF=hkij在這種情況下金剛石和鍺的幾何結(jié)構(gòu)因子的求和部分相同。由于金剛石和鍺原子中的電子數(shù)和分布不同幾何結(jié)構(gòu)因子中的原子散射因子f不會(huì)相同。1.23旋轉(zhuǎn)單晶法中，將膠片卷成以轉(zhuǎn)軸為軸的圓筒，膠片上的