2016屆高三數(shù)學(xué)備考數(shù)列通項公式的求法理

1、PAGE PAGE 26高三數(shù)學(xué)數(shù)列的通項公式【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)1、解決形如 通項公式的確定。 2、通過學(xué)習(xí)讓學(xué)生掌握和理解幾種類型的通項公式的求法。 二、能力目標(biāo) 在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)入數(shù)列通項公式，培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力。通過對公式的應(yīng)用，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。通過歸納總結(jié)，促進學(xué)生自主學(xué)習(xí)和歸納的能力。情感目標(biāo)通過公式的推導(dǎo)使學(xué)生進一步體會從特殊到一般，再從一般到特殊，體現(xiàn)“歸納推理”的思想方法?！窘虒W(xué)重點】：通過學(xué)習(xí)讓學(xué)生能夠熟練準(zhǔn)確的掌握通項公式的求法，并能解決實際問題。【教學(xué)難點】：如何將轉(zhuǎn)化為我們熟悉的等差和等比數(shù)列。理解和掌握此類型的數(shù)列通項公

2、式確定的數(shù)學(xué)思想方法。【知識點梳理】1. 數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列an的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子anf(n)來表示，那么這個公式叫 做這個數(shù)列的通項公式2Sn與an的關(guān)系 已知Sn，則aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2.)在數(shù)列an中，若an最大，則eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1.)若an最小，則 eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1.)3、已知求數(shù)列通項公式用累加法4、已知求數(shù)列通項公式用累乘法5、已知求數(shù)列通項公式（1）：可轉(zhuǎn)化為令，則成等比數(shù)列；（2）：可轉(zhuǎn)化為，則為等

3、比數(shù)列【典型例題】題型一：由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的通項公式例1、根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：解析： 點撥：（1）解決這類問題需要我們從多角度、全方位觀察、廣泛聯(lián)系，一般要將原數(shù)列變形后化為基本數(shù)列或特殊數(shù)列，要熟知一些基本數(shù)列，如數(shù)列等（2）歸納得出的數(shù)列的通項公式適合前幾項即可，并且通項公式也不一定唯一【變式練習(xí)】1.寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：(1)3,5,7,9，；(2)eq f(1,2)，eq f(3,4)，eq f(7,8)，eq f(15,16)，eq f(31,32)，；(3)1，eq f(3,2)，eq f(1,3)，eq f(3,4)，eq f(1,

4、5)，eq f(3,6)，；(4)3,33,333,3 333，.審題視點 先觀察各項的特點，然后歸納出其通項公式，要注意項與項之間的關(guān)系，項與前后項之間的關(guān)系解(1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an2n1.(2)每一項的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23，24，所以aneq f(2n1,2n).(3)奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故通項公式中含因子(1)n；各項絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，；而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項為1，偶數(shù)項為3，即奇數(shù)項為21，偶數(shù)項為21，所以an(1)neq f(21n,n).也可寫為aneq blcrc (avs4alco1(f(1,n)，

5、n為正奇數(shù)，,f(3,n)，n為正偶數(shù).)(4)將數(shù)列各項改寫為：eq f(9,3)，eq f(99,3)，eq f(999,3)，eq f(9 999,3)，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031，1041，所以aneq f(1,3)(10n1)題型二：由遞推關(guān)系求通項（1）累加法：已知求數(shù)列通項公式用累加法例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通項公式為。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式?！咀兪骄毩?xí)】1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式。

6、2. 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式；【解題思路】已知關(guān)系式，可利用迭加法或迭代法；【解析】（累加法）， （2）累乘法：已知求數(shù)列通項公式用累乘法例2 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式.【解析】由得，.【變式練習(xí)】1.已知數(shù)列中: a11，aneq f(n1,n)an1(n2), 確定數(shù)列an的通項公式【解析】aneq f(n1,n)an1(n2)，an1eq f(n2,n1)an2，a2eq f(1,2)a1.以上(n1)個式子相乘得 ana1eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(n1,n)eq f(a1,n)eq f(1,n).2. 已知數(shù)列滿足=，求【解析】由已知得，分別令n=1，2，

7、3，.(n-1),代入 上式得n-1個等式累乘，即= 所以，又因為也滿足該式，所以?！痉椒ㄅc技巧總結(jié)】累加法適用于求遞推關(guān)系形如“”； 累乘法適用于求遞推關(guān)系形如“；累加法、累乘法公式： .（3）轉(zhuǎn)化法: 1. （A、B為常數(shù)）型，可化為=A（）的形式.例3、已知數(shù)列中，求的通項公式解析：方法一：轉(zhuǎn)化法故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，即方法二：引入新數(shù)列法兩式相減得故數(shù)列是首項為公比為2的等比數(shù)列，即 再用累加法得：【變式練習(xí)】1. 設(shè)數(shù)列的首項，=，(n=2、3、4) 求的通項公式解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列即= 整理得：=滿足=得 = p=-1 即新數(shù)列首項為，的等比數(shù)列 = 故

8、=+12. 已知數(shù)列中，=2，= 求的通項公式。解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列= 整理得：=+使之滿足已知條件 =+2解得 是首項為 的等比數(shù)列，由此得= =2 .（A、B、C為常數(shù)，下同）型，可化為=）的形式.例4 在數(shù)列中，求通項公式。解：原遞推式可化為： 比較系數(shù)得=-4，式即是：.則數(shù)列是一個等比數(shù)列，其首項，公比是2. 即.【變式練習(xí)】1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最

9、后再求出數(shù)列的通項公式。2. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)將代入式，得整理得。令，則，代入式得由及式，得，則，故數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求數(shù)列的通項公式。3.型，可化為的形式例5在數(shù)列中，當(dāng)， , 求通項公式.解：原遞推式可化為：比較系數(shù)得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化為：則是一個等比數(shù)列，首項=2-2（-1）=4，公比為3.利用上題結(jié)果有：.【變式練習(xí)】1.已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項公式解：（I）證明：是以為首項，2為公比的

10、等比數(shù)列（II）解：由（I）得 4、型，可化為的形式例6在數(shù)列中，=6 求通項公式.解 原式可化為： 比較系數(shù)可得：=-6， 式為是一個等比數(shù)列，首項，公比為.即 故.【變式練習(xí)】1.在數(shù)列中，=2，= ，求數(shù)列的通項解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為q=4的等比數(shù)列，則= 整理得：=滿足=，即得新數(shù)列的首項為，q=4的等比數(shù)列 5、形如型（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過累加來求出通項;或用逐差法(兩式相減)得，分奇偶項來分求通項.例7數(shù)列滿足,求數(shù)列an的通項公式.分析

11、 1：構(gòu)造 轉(zhuǎn)化為型解法1：令則.時,各式相加:當(dāng)n為偶數(shù)時，.此時當(dāng)n為奇數(shù)時，此時,所以.故 解法2：時，兩式相減得：.構(gòu)成以,為首項，以2為公差的等差數(shù)列;構(gòu)成以,為首項，以2為公差的等差數(shù)列. 評注：結(jié)果要還原成n的表達式.【方法與技巧總結(jié)】原數(shù)列既不等差，也不等比。若把中每一項添上一個數(shù)或一個式子構(gòu)成新數(shù)列，使之等比，從而求出。該法適用于遞推式形如=或=或= 其中b、c為不相等的常數(shù) （4）取對數(shù)法:例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以。在式兩邊取常用對數(shù)得設(shè) eq oac(,11)將式代入 eq oac(,11)式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入 eq oac(,

12、11)式，得 eq oac(,12)由及 eq oac(,12)式，得，則，所以數(shù)列是以為首項，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。【變式練習(xí)】1.若數(shù)列中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項公式是=解 由題意知0，將兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項，公比為2的等比數(shù)列， ，即.（5）開平方法:（換元法）例8已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則故，代入得即因為，故則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將

13、的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式?！咀兪骄毩?xí)】1.若數(shù)列中，=2且（n），求它的通項公式是.解 將兩邊平方整理得。數(shù)列是以=4為首項，3為公差的等差數(shù)列。因為0，所以。（6）倒數(shù)法: 形如（都為的一次式，且中無常數(shù)項）的遞推公式可用倒數(shù)變換，將其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列例9 數(shù)列中，解析：取倒數(shù)，得：為首項公差的等差數(shù)列【變式練習(xí)】1.已知數(shù)列滿足，且（），求數(shù)列的通項公式。解：把原式變形成 兩邊同除以得即 構(gòu)造新數(shù)列，使其成為公比q= 的等比數(shù)列即整理得： 滿足式使 數(shù)列是首項為，q= 的等比數(shù)列 。題型三：由與的關(guān)系

14、求通項例10數(shù)列的前項和求其通項公式解析：法一、，由得：法二：由得： 為等比數(shù)列點撥：（1）利用與的關(guān)系 （2）若和在一個等式中，一般可利用與的關(guān)系，消去或，構(gòu)造關(guān)于或的遞推公式，再進一步確定或【變式練習(xí)】1. 已知為數(shù)列的前項和，求下列數(shù)列的通項公式： ； .【解題思路】已知關(guān)系式，可利用，這是求數(shù)列通項的一個重要公式.【解析】當(dāng)時，當(dāng)時，.而時，.當(dāng)時，當(dāng)時，.而時，.2. 已知為數(shù)列的前項和， ，求數(shù)列的通項公式.【解析】當(dāng)時，當(dāng)時，.是以為公比的等比數(shù)列，其首項為，題型四：求遞推數(shù)列通項的特征根法與不動點法一、形如是常數(shù)）的數(shù)列 形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項，其特征

15、方程為 若有二異根，則可令是待定常數(shù)） 若有二重根，則可令是待定常數(shù)） 再利用可求得，進而求得例11已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，解得，令，由，得， 例12已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，解得，令，由，得， 【變式練習(xí)】1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：的相應(yīng)特征方程為，解之求特征根是，所以。由初始值，得方程組求得 ， 從而， 。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出，從而可得數(shù)列的通項公式。二、形如的數(shù)列對于數(shù)列，是常數(shù)且） 其特征方程為，變形為 若有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值 這樣數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，于

16、是這樣可求得 若有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值 這樣數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得此方法又稱不動點法例14 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個不動點。因為。所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點，即方程的兩個根，進而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項公式，最后求出數(shù)列的通項公式。例15 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的不動點。因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，故。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點，即方程的根，進而可推出

17、，從而可知數(shù)列為等差數(shù)列，再求出數(shù)列的通項公式，最后求出數(shù)列的通項公式?！咀兪骄毩?xí)】1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，化簡得，解得，令 由得，可得，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，2. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，即，解得，令 由得，求得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，【鞏固練習(xí)】等差數(shù)列中, 則的通向公式為 2.如圖，將一個邊長為1的正角三形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3）試用 n表示出第n個圖形的邊數(shù)已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式4. 若在數(shù)列中，求通項.5.已知數(shù)列滿足，

18、求的通項公式6.數(shù)列的前n項和為，=1， ( n),求的通項公式。7.已知數(shù)列中，,，求8.設(shè)數(shù)列的前項的和，求首項與通項9.數(shù)列：， ，求數(shù)列的通項公式10.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足SnSn2=3求數(shù)列an的通項公式.11.已知數(shù)列中，求通項公式【課后作業(yè)】已知數(shù)列的前項和，則其通項 ；若它的第項滿足，則 根據(jù)下列5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)的變化規(guī)律，猜測第個圖中有 個點。（1） （2） （3） （4） （5）3.在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第

19、二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用表示）. 4.數(shù)列an的前項的和Sn=（an-1） (n)(1)求a1；a2； (2)求證數(shù)列an為等比數(shù)列5.數(shù)列中，求的通項公式6.已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖像上，求數(shù)列的通項公式。7.已知數(shù)列中，是其前項和，并且，(1)設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （3）求數(shù)列的通項公式及前項和8.數(shù)列滿足= ()，首項為，求數(shù)列的通項公式。9.數(shù)列中，=5，且 （n=2、3、4），試求數(shù)列的通項公式。10.已知數(shù)列

20、滿足，且（）求數(shù)列的通項公式。11.?！就卣褂?xùn)練】1、已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：Sn=2an +(-1)n,n1（1）寫出求數(shù)列an的前3項a1,a2,a3；（2）求數(shù)列an的通項公式；2. 設(shè)正項數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項公式.3、在數(shù)列中，,求通項4、設(shè)數(shù)列an滿足,求an的通項公式.5.已知數(shù)列滿足，且,且滿足,求.?！緟⒖即鸢浮快柟叹毩?xí)答案1.2.答案： 3.4.解：由得，所以，將以上各式相加得：，又所以 =5.解：由于， =6.解：由=1，=2，當(dāng)n2時=得=3，因此是首項為=2，q=3的等比數(shù)列。故= (n2),而=1不滿足該式 所以=。7.解：在兩邊乘以得：令，則，解

21、之得：，所以8.解：當(dāng)時，；當(dāng)時，即利用的方法，解之得：9.解：由，得，且則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是由迭加法：，把以上各式相加，得10.解：11.解：取倒數(shù)： 2、課后作業(yè)答案1.答案：；2.n2-n+13.；4.解: ()由,得 又,即,得. ()當(dāng)n1時, 得所以是首項,公比為的等比數(shù)列5.解：，6.解：設(shè)這二次函數(shù)f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因為點均在函數(shù)的圖像上，所以3n22n.當(dāng)n2時，anSnSn1（3n22n）6n5.當(dāng)n1時，a1S13122615，所以，an6n5 （）.7.解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強恒等變形能力的訓(xùn)練)a-2a=2(a-2a)