新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 7.2　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 學(xué)案

1、PAGE PAGE 97. 2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義，并了解基本事實(shí)13. 【教材梳理】1. 平面的基本性質(zhì)(1)基本性質(zhì)基本事實(shí)文字語言圖形語言符號(hào)語言作用基本事實(shí)1過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線存在唯一的平面使A，B，C確定平面；判定點(diǎn)線共面基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)Al，Bl，且A，Bl確定直線在平面內(nèi)；判定點(diǎn)在平面內(nèi)基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P，且P

2、l，且Pl判定兩平面相交；判定點(diǎn)在直線上(2)基本事實(shí)1與2的推論推論文字語言圖形語言符號(hào)語言推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面Al有且只有一個(gè)平面，使A，l推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面abP有且只有一個(gè)平面，使a，b推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面ab有且只有一個(gè)平面，使a，b2. 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(1)空間中直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)共面直線相交直線在同一個(gè)平面內(nèi)1平行直線在同一個(gè)平面內(nèi)0異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)0 (2)空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線在平面內(nèi)直線與平面相交直線與平面平行公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無數(shù)個(gè)1

3、0圖形表示當(dāng)直線與平面相交或平行時(shí)，直線不在平面內(nèi)，也稱為直線在平面外. (3)空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩個(gè)平面相交兩個(gè)平面平行公共點(diǎn)個(gè)數(shù)有一條公共直線0符號(hào)表示a圖形表示【常用結(jié)論】3. 唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行. (2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直. (3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行. (4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直. 4. 異面直線的兩個(gè)常用判定(1)與一個(gè)平面相交的直線和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過交點(diǎn)的直線是異面直線. (2)分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面. 判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“

4、”，錯(cuò)誤的畫“”. (1)如果兩個(gè)不重合的平面，有一條公共直線a，就說平面，相交，并記作a. ()(2)兩個(gè)平面，有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說，相交于過A點(diǎn)的任意一條直線. ()(3)兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線段BC. ()(4)兩個(gè)不重合的平面只能把空間分成四個(gè)部分. ()(5)若a，b是兩條直線，是兩個(gè)平面，且a，b，則a，b是異面直線. ()解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5). (教材練習(xí)改編)下列說法中正確的是 ()A. 經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面B. 四邊形確定一個(gè)平面C. 梯形確定一個(gè)平面D. 空間任意兩條直線確定一個(gè)平面解：在A中，經(jīng)過不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；在B中，四

5、邊形有可能是空間四邊形，故四邊形不一定能確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；在C中，因?yàn)樘菪斡幸唤M對(duì)邊平行，所以梯形確定一個(gè)平面，故C正確；在D中，經(jīng)過一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，故D錯(cuò)誤. 故選C. (教材練習(xí)改編)已知a，b是兩條直線，則“a，b沒有公共點(diǎn)”是“a，b是異面直線”的 ()A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件 解：因?yàn)閍，b沒有公共點(diǎn)，a，b可能平行也可能異面，所以“a，b沒有公共點(diǎn)”推不出“a，b是異面直線”，反之，“a，b是異面直線”可以推出“a，b沒有公共點(diǎn)”，所以“a，b沒有公共點(diǎn)”是“a，b是異面直線”的必要不充分條件.

6、 故選B. (2021全國(guó)乙卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為 ()A. eq f(,2) B. eq f(,3) C. eq f(,4) D. eq f(,6)解：如圖，PBC1即為直線PB與AD1所成的角. 易知A1BC1為正三角形，又因?yàn)镻為A1C1的中點(diǎn)，所以PBC1eq f(,6). 故選D. 考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)【多選題】(2021浙江高三期末)已知A，B，C表示三個(gè)不同的點(diǎn)，l表示直線，表示平面，則下列判斷正確的是 ()A. Al，Bl，A，BlB. A，B，C，A，B，CABC. l，AlAD. A，B，C，A，B，C，A，

7、B，C不共線，重合解：對(duì)于A，Al，Bl，A，B，則l，故A正確；對(duì)于B，A，B，C，A，B，C，則平面即平面ABC，而C，則，兩平面相交有且只有一條交線，即AB，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)lA時(shí)，滿足l，Al，此時(shí)A，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，A，B，C，A，B，C，A，B，C不共線，則點(diǎn)A，B，C確定的平面有且只有一個(gè)，即，重合，故D正確. 故選ABD. 【點(diǎn)撥】 結(jié)合平面的基本性質(zhì)及其相關(guān)推論進(jìn)行判斷，必要時(shí)畫出圖形分析. 是一個(gè)平面，m，n是兩條直線，A是一個(gè)點(diǎn)，若m，n，且Am，A，則m，n的位置關(guān)系不可能是 ()A. 垂直 B. 相交 C. 異面 D. 平行解：因?yàn)锳m，A，m，所以A是m和平面

8、相交的點(diǎn)，又n在平面內(nèi)，所以m和n異面或相交，一定不平行. 故選D. 已知在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，ACBDP，A1C1EFQ. 求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn). 證明：(1)如圖所示. 因?yàn)镋F是D1B1C1的中位線，所以EFB1D1. 在正方體AC1中，B1D1BD，所以EFBD. 所以EF，BD確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面. (2)在正方體AC1中，設(shè)平面AA1C1C為，又因?yàn)樵O(shè)平面BDEF為. 因?yàn)镼A1C1，所以Q. 又因?yàn)镼E

9、F，所以Q. 所以Q是與的公共點(diǎn). 同理，P是與的公共點(diǎn). 所以PQ. 又因?yàn)锳1CR，所以RA1C，R，且R. 則RPQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線. (3)因?yàn)镋FBD且EFBD，所以DE與BF相交，設(shè)交點(diǎn)為M，則由MDE，DE平面D1DCC1，得M平面D1DCC1，同理，點(diǎn)M平面B1BCC1. 又因?yàn)槠矫鍰1DCC1平面B1BCC1CC1，所以MCC1. 所以DE，BF，CC1三線交于點(diǎn)M. 【點(diǎn)撥】 證明四點(diǎn)共面的基本思路：一是直接證明，即利用基本事實(shí)或推論來直接證明；二是先由其中不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證第四個(gè)點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)即可；要證明點(diǎn)共線問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上，也就是利

10、用基本事實(shí)3，即證點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上，本題即采用這種證法；或者選擇其中兩點(diǎn)確定一直線，然后證明另一點(diǎn)也在直線上；證明空間三線共點(diǎn)問題，先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上. 如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BGGCDHHC12. (1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線. 證明：(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EFBD. 在BCD中，因?yàn)閑q f(BG,GC)eq f(DH,HC)eq f(1,2)，所以GHBD，所以EFGH. 所以E，F(xiàn)，

11、G，H四點(diǎn)共面. (2)因?yàn)镋GFHP，PEG，EG平面ABC，所以P平面ABC. 同理P平面ADC. 所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn). 又因?yàn)槠矫鍭BC平面ADCAC，所以PAC，即P，A，C三點(diǎn)共線. 考點(diǎn)二判斷兩條直線的位置關(guān)系【多選題】(2020山東煙臺(tái)適應(yīng)性訓(xùn)練)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是 ()A. 直線AM與C1C是相交直線B. 直線AM與BN是平行直線C. 直線BN與MB1是異面直線D. 直線MN與AC所成的角為60解：A中，CC1平面CDD1C1，M平面CDD1C1，A平面CDD1C1，MCC1

12、，可知AM與CC1為異面直線，故A錯(cuò)誤；B中，取DD1的中點(diǎn)P，連接AP，易知BNAP，APAMA，可知BN與AM不平行，故B錯(cuò)誤；C中，BN平面BCC1B1，B1平面BCC1B1，M平面BCC1B1，B1BN，可知BN與MB1異面，可知C正確；D中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，可知MNCD1，則直線MN與AC所成角即為D1CA，又AD1C為等邊三角形，可得D1CA60，可知D正確. 故選CD. 【點(diǎn)撥】 空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法：【多選題】(2021重慶質(zhì)檢)四棱錐PABCD的所有棱長(zhǎng)都相等，M，N分別為PA，CD的中點(diǎn)，下列說法正確的是 ()A. MN與PD是異面直線B.

13、MN平面PBCC. MNACD. MNPB解：如圖所示，取PB的中點(diǎn)H，連接MH，HC，AC，由題意知，四邊形MHCN為平行四邊形，則MNHC，所以MN平面PBC，設(shè)四邊形MHCN確定平面，又因?yàn)镈，但P平面，DMN，因此MN與PD是異面直線，故A，B正確；若MNAC，由于CHMN，則CHAC，事實(shí)上ACCHC，C不正確；因?yàn)镻CBC，H為PB的中點(diǎn)，所以CHPB，又CHMN，所以MNPB，D正確. 故選ABD. 考點(diǎn)三異面直線所成的角(1)(2021湖北省八校聯(lián)考)正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1eq r(2)AB，D是BC的中點(diǎn)，則異面直線AD與A1C所成的角為 ()A. eq f(,

14、6) B. eq f(,4) C. eq f(,3) D. eq f(,2)解：如圖，取B1C1的中點(diǎn)E，連接A1E，CE，在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面A1B1C1，而A1E底面A1B1C1，所以BB1A1E，由正三棱柱的性質(zhì)可知，A1B1C1為等邊三角形，所以A1EB1C1，且A1EB1C1E，所以A1E平面BB1C1C，而EC平面BB1C1C，則A1EEC，又因?yàn)锳1EAD，A1EC90，所以CA1E即為異面直線AD與A1C所成的角，不妨設(shè)AB2，則AA12eq r(2)，A1Eeq r(3)，CE3，則tanCA1Eeq f(CE,A1E)eq f(3,r(3)eq r(3

15、)，所以CA1Eeq f(,3). 故選C. (2)(教材習(xí)題改編)如圖是某正方體的平面展開圖，B是所在棱的中點(diǎn)，則在該正方體中，AB與CD所成角的余弦值為 ()A. eq f(r(10),10) B. eq f(r(10),5) C. eq f(1,20) D. eq f(1,10)解：將平面展開圖還原，如圖所示，過點(diǎn)C作CNAB交正方體的棱于點(diǎn)N，則易知N為所在棱的中點(diǎn)，則DCN或其補(bǔ)角為異面直線AB與CD所成的角. 連接DN，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則易知CD2eq r(2)，CNeq r(5)，NDeq r(221222)3，故在CND中，由余弦定理得cosDCNeq f(CD2CN2DN

16、2,2CDCN)eq f(r(10),10)，即異面直線AB與CD所成角的余弦值為eq f(r(10),10). 故選A. 【點(diǎn)撥】 平移直線法是求異面直線所成角的常用方法，求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍為(0，90. (1)(2021合肥市第六中學(xué)高一期末)如圖，矩形ABCD中，ABeq r(3)，正方形ADEF的邊長(zhǎng)為1，且平面ABCD平面ADEF，則異面直線BD與FC所成角的余弦值為 ()A. eq f(r(7),7) B. eq f(r(7),7) C. eq f(r(5),5) D. eq f(r(5),5)解：取AF的中點(diǎn)G，連接AC交BD于O點(diǎn)，如圖所示，則

17、OGCF，且OGeq f(1,2)CF，異面直線BD與FC所成角即直線BD與OG所成角，由平面ABCD平面ADEF知，AF平面ABCD，由題易知ACBD2，CFeq r(1222)eq r(5)，則OGeq f(1,2)CFeq f(r(5),2)，OBeq f(1,2)BD1，BGeq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)（r(3)）2)eq f(r(13),2)，則在OBG中，由余弦定理知，cosBOGeq f(OB2OG2BG2,2OBOG)eq f(12blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(f(r(13),2)sup12(2),21f(r(5),2)eq f(r(5),5)，由兩異面直線夾角的取值范圍為(0，eq f(,2)，則異面直線BD與FC所成角的余弦值為eq f(r(5),5). 故選C. (2)(2020太原三模)如圖是