課件第3部分圖像變換

1、第3章 圖像變換3.1 二維離散傅里葉變換（DFT）3.1.1 二維連續(xù)傅里葉變換二維連續(xù)函數(shù) f (x, y)的傅里葉變換定義如下：設(shè) 是獨立變量 的函數(shù)，且在 上絕對可積，則定義積分 為二維連續(xù)函數(shù) 的付里葉變換，并定義 為 的反變換。 和 為傅里葉變換對。（3.1） （3.2） 【例3.1】求圖3.1所示函數(shù) 的傅里葉變換。 解：將函數(shù)代入到(3.1)式中，得 其幅度譜為二維信號的圖形表示圖3.1 二維信號f (x, y) （a）信號的頻譜圖 （b）圖（a）的灰度圖圖3.2 信號的頻譜圖 二維信號的頻譜圖3.1.2 二維離散傅里葉變換尺寸為MN的離散圖像函數(shù)的DFT 反變換可以通過對F(

2、u,v) 求IDFT獲得 （3.3） （3.4） DFT變換進行圖像處理時有如下特點：（1）直流成分為F(0,0)。（2）幅度譜|F(u,v)|對稱于原點。（3）圖像f (x, y)平移后，幅度譜不發(fā)生變化，僅有相位發(fā)生了變化。 （3.5） （3.6） 3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)1周期性和共軛對稱性周期性和共軛對稱性來了許多方便。我們首先來看一維的情況。設(shè)有一矩形函數(shù)為,求出它的傅里葉變換： 幅度譜： （a）幅度譜 （b）原點平移后的幅度譜 圖3.4 頻譜圖 DFT取的區(qū)間是0,N-1，在這個區(qū)間內(nèi)頻譜是由兩個背靠背的半周期組成的 ，要顯示一個完整的周期，必須將變換的原點移至u=N/

3、2點。根據(jù)定義，有 在進行DFT之前用(-1)x 乘以輸入的信號 f (x) ，可以在一個周期的變換中（u0，1，2，N1），求得一個完整的頻譜。（3.7） 推廣到二維情況。在進行傅里葉變換之前用(-1)x+y 乘以輸入的圖像函數(shù)，則有： DFT的原點，即F(0,0)被設(shè)置在u=M/2和v=N/2上。(0,0)點的變換值為： 即 f (x,y) 的平均值。如果是一幅圖像，在原點的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級，也稱作頻率譜的直流成分。 （3.8） （3.9） （a）原始圖像 (b) 中心化前的頻譜圖 (c) 中心化后的頻譜圖圖3.5 圖像頻譜的中心化 2可分性離散傅里葉變換可以用可

4、分離的形式表示 這里對于每個x值，當v0，1，2，N1時，該等式是完整的一維傅里葉變換。 （3.10） （3.11） 二維變換可以通過兩次一維變換來實現(xiàn)。同樣可以通過先求列變換再求行變換得到2D DFT。 圖3.6 二維DFT變換方法3離散卷積定理設(shè)f(x,y)和g(x,y) 是大小分別為AB和CD的兩個數(shù)組，則它們的離散卷積定義為卷積定理 （3.12） （3.13） 【例3.2】用MATLAB實現(xiàn)圖像的傅里葉變換。 解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %讀入圖像 imshow(A); %顯示圖像 A2=fft2(A); %計算二維傅里葉變換 A2=fftshi

5、ft(A2); %將直流分量移到頻譜圖的中心figure, imshow(log(abs(A2)+1),0 10); %顯示變換后的頻譜圖（a）原始圖像 （b）圖像頻譜圖3.7 傅里葉變換3.2 二維離散余弦變換（DCT）任何實對稱函數(shù)的傅里葉變換中只含余弦項，余弦變換是傅里葉變換的特例，余弦變換是簡化DFT的重要方法。3.2.1 一維離散余弦變換將一個信號通過對折延拓成實偶函數(shù)，然后進行傅里葉變換，我們就可用2N點的DFT來產(chǎn)生N點的DCT。 1以x=-1/2為對稱軸折疊原來的實序列f(n) 得： （3.14） -N-10N-1NN+1f (n)圖3.8 延拓示意圖 2以2N為周期將其周期延

6、拓，其中f（0）f（1），f（N1）f（N） （3.15） （3.16） 3對0到2N1的2N個點的離散周期序列 作DFT，得令i2Nm1，則上式為 為了保證變換基的規(guī)范正交性，引入常量，定義：F(k)C(k) C(k)= （3.17） 其中（3.18） 3.2.2 二維離散余弦變換 （3.19） DCT逆變換為 【例3.3】應(yīng)用MATLAB實現(xiàn)圖像的DCT變換。 解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %讀入圖像 I=dct2(A); %對圖像作DCT變換 subplot(1,2,1),imshow(A); %顯示原圖像 subplot(1,2,2),imshow

7、(log(abs(I),0 5); （3.20） （a）原圖 （b）DCT系數(shù)圖3.10 離散余弦變換3.3 二維離散沃爾什-哈達瑪變換（DHT）前面的變換都是余弦型變換，基底函數(shù)選用的都是余弦型。圖像處理中還有許多變換常常選用方波信號或者它的變形。沃爾什（Walsh）變換。沃爾什函數(shù)是一組矩形波，其取值為1和-1，非常便于計算機運算。沃爾什函數(shù)有三種排列或編號方式，以哈達瑪排列最便于快速計算。采用哈達瑪排列的沃爾什函數(shù)進行的變換稱為沃爾什-哈達瑪變換，簡稱WHT或直稱哈達瑪變換。 3.3.1 哈達瑪變換哈達瑪矩陣：元素僅由1和1組成的正交方陣。正交方陣：指它的任意兩行（或兩列）都彼此正交，或

8、者說它們對應(yīng)元素之和為零。哈達瑪變換要求圖像的大小為N2n 。一維哈達瑪變換核為 其中， 代表z的二進制表示的第k位值。（3.21） 一維哈達瑪正變換為 一維哈達瑪反變換為 二維哈達瑪正反變換為 （3.22） （3.23） （3.24） （3.25） 二維哈達瑪正、反變換也具有相同形式。正反變換都可通過兩個一維變換實現(xiàn)。高階哈達瑪矩陣可以通過如下方法求得：N8的哈達瑪矩陣為 （3.26） （3.27） 3.3.2 沃爾什變換哈達瑪變換矩陣，其列率的排列是無規(guī)則的。將無序的哈達瑪核進行列率的排序，之后得到的有序的變換就成為沃爾什（Walsh）變換。 一維Walsh變換核為 二維沃爾什正變換和反變

9、換為（3.28） N8時的沃爾什變換核的值為 3.4 卡胡南-列夫變換（K-L變換）Kahunen-Loeve變換是在均方意義下的最佳變換。優(yōu)點：能夠完全去除原信號中的相關(guān)性，因而具有非常重要的理論意義。缺點：基函數(shù)取決于待變換圖像的協(xié)方差矩陣，因而基函數(shù)的形式是不定的，且計算量很大。H8= （3.29） K-L變換基本原理設(shè)：隨機圖像訓練集X為N*N階矩陣的集合，每張圖像寫成向量 則均值向量為 X的自協(xié)方差矩陣為K = = 其中： 為X的自相關(guān)函數(shù)在 中對角線上為 各個分量的方差，非對角線上為各個分量間的協(xié)方差。因此K 為對稱矩陣。計算 的根，有 在線性代數(shù)理論中知：由特征值 可以進一步求得

10、特征向量。 即 特征向量 滿足 由特征向量可構(gòu)成特征向量矩陣 因此有 其中： 取 A 為變換矩陣，對 作變換，則有 該式稱為K-L變換，并有 因此經(jīng)K-L變換后，等價于F已完全去處相關(guān)性。問題 求變換核 A 需計算協(xié)方差矩陣，計算量大且無快速算法；變換核A與數(shù)據(jù)X集有關(guān)，不適合用于正交變換領(lǐng)域。K-L變換的應(yīng)用把 從大到小排列，取前MN個特征值對應(yīng)的特征向量構(gòu)成變換矩陣為AM*N，則一. 基于變換域的數(shù)據(jù)壓縮 正變換 Y=A（ ），其中；X維數(shù)為N，Y維數(shù)為M 逆變換 =ATY，注：對于正交變換有AT=A-1 特點： A隨數(shù)據(jù)集合X不同而變化，工程應(yīng)用無意義。二. 統(tǒng)計學習和知識抽取 對Y進一

11、步進行聚類，可以在M維空間上建立Y的描述，進而完成N維空間上關(guān)于X的描述，獲得關(guān)于X的知識。三. 模式識別 建立對Y的分類器，可實現(xiàn)對X的分類。K-L變換引入的失真正交變換保持能量守恒，即： 時域能量總和=變換域能量總和 的協(xié)方差矩陣為 Y的協(xié)方差矩陣為 因此，信號總能量為： 當作降維操作時有能量保持率為 引入的失真（噪聲能量）3.5 二維離散小波變換一種窗口大小固定，但形狀可改變，因而能滿足時頻局部化分析的要求的變換。 3.5.1 連續(xù)小波變換設(shè) 且 ，按如下方式生成的函數(shù)族 稱為分析小波或連續(xù)小波。 稱為基本小波或母波a稱為伸縮因子，b為平移因子。（3.30） 3.5.2 離散小波變換把連

12、續(xù)小波變換離散化更有利于實際應(yīng)用。對a和b按如下規(guī)律取樣： 其中， ； ； ，得離散小波： 離散小波變換和逆變換為 （3.31） （3.32） （3.33） 3.5.3 快速小波變換算法【例3.4】應(yīng)用MATLAB實現(xiàn)小波變換的例子。解：MATLAB程序如下：X=imread(pout.tif); %讀入圖像imshow(X);cA1,cH1,cV1,cD1 = dwt2(X,bior3.7); %進行二維小波變換A1 = upcoef2(a,cA1,bior3.7,1); H1 = upcoef2(h,cH1,bior3.7,1);V1 = upcoef2(v,cV1,bior3.7,1);D1 = upcoef2(d,cD1,bior3.7,1);subplot(2,2,1); image(wcodemat(A1,192);title(Approximation A1)subplot(2,2,2