課件第3部分圖像變換

1、第3章 圖像變換3.1 二維離散傅里葉變換（DFT）3.1.1 二維連續(xù)傅里葉變換二維連續(xù)函數(shù) f (x, y)的傅里葉變換定義如下：設(shè) 是獨(dú)立變量 的函數(shù)，且在 上絕對(duì)可積，則定義積分 為二維連續(xù)函數(shù) 的付里葉變換，并定義 為 的反變換。 和 為傅里葉變換對(duì)。（3.1） （3.2） 【例3.1】求圖3.1所示函數(shù) 的傅里葉變換。 解：將函數(shù)代入到(3.1)式中，得 其幅度譜為二維信號(hào)的圖形表示圖3.1 二維信號(hào)f (x, y) （a）信號(hào)的頻譜圖 （b）圖（a）的灰度圖圖3.2 信號(hào)的頻譜圖 二維信號(hào)的頻譜圖3.1.2 二維離散傅里葉變換尺寸為MN的離散圖像函數(shù)的DFT 反變換可以通過(guò)對(duì)F(

2、u,v) 求IDFT獲得 （3.3） （3.4） DFT變換進(jìn)行圖像處理時(shí)有如下特點(diǎn)：（1）直流成分為F(0,0)。（2）幅度譜|F(u,v)|對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)。（3）圖像f (x, y)平移后，幅度譜不發(fā)生變化，僅有相位發(fā)生了變化。 （3.5） （3.6） 3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)1周期性和共軛對(duì)稱(chēng)性周期性和共軛對(duì)稱(chēng)性來(lái)了許多方便。我們首先來(lái)看一維的情況。設(shè)有一矩形函數(shù)為,求出它的傅里葉變換： 幅度譜： （a）幅度譜 （b）原點(diǎn)平移后的幅度譜 圖3.4 頻譜圖 DFT取的區(qū)間是0,N-1，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)頻譜是由兩個(gè)背靠背的半周期組成的 ，要顯示一個(gè)完整的周期，必須將變換的原點(diǎn)移至u=N/

3、2點(diǎn)。根據(jù)定義，有 在進(jìn)行DFT之前用(-1)x 乘以輸入的信號(hào) f (x) ，可以在一個(gè)周期的變換中（u0，1，2，N1），求得一個(gè)完整的頻譜。（3.7） 推廣到二維情況。在進(jìn)行傅里葉變換之前用(-1)x+y 乘以輸入的圖像函數(shù)，則有： DFT的原點(diǎn)，即F(0,0)被設(shè)置在u=M/2和v=N/2上。(0,0)點(diǎn)的變換值為： 即 f (x,y) 的平均值。如果是一幅圖像，在原點(diǎn)的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級(jí)，也稱(chēng)作頻率譜的直流成分。 （3.8） （3.9） （a）原始圖像 (b) 中心化前的頻譜圖 (c) 中心化后的頻譜圖圖3.5 圖像頻譜的中心化 2可分性離散傅里葉變換可以用可

4、分離的形式表示 這里對(duì)于每個(gè)x值，當(dāng)v0，1，2，N1時(shí)，該等式是完整的一維傅里葉變換。 （3.10） （3.11） 二維變換可以通過(guò)兩次一維變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。同樣可以通過(guò)先求列變換再求行變換得到2D DFT。 圖3.6 二維DFT變換方法3離散卷積定理設(shè)f(x,y)和g(x,y) 是大小分別為AB和CD的兩個(gè)數(shù)組，則它們的離散卷積定義為卷積定理 （3.12） （3.13） 【例3.2】用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的傅里葉變換。 解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %讀入圖像 imshow(A); %顯示圖像 A2=fft2(A); %計(jì)算二維傅里葉變換 A2=fftshi

5、ft(A2); %將直流分量移到頻譜圖的中心figure, imshow(log(abs(A2)+1),0 10); %顯示變換后的頻譜圖（a）原始圖像 （b）圖像頻譜圖3.7 傅里葉變換3.2 二維離散余弦變換（DCT）任何實(shí)對(duì)稱(chēng)函數(shù)的傅里葉變換中只含余弦項(xiàng)，余弦變換是傅里葉變換的特例，余弦變換是簡(jiǎn)化DFT的重要方法。3.2.1 一維離散余弦變換將一個(gè)信號(hào)通過(guò)對(duì)折延拓成實(shí)偶函數(shù)，然后進(jìn)行傅里葉變換，我們就可用2N點(diǎn)的DFT來(lái)產(chǎn)生N點(diǎn)的DCT。 1以x=-1/2為對(duì)稱(chēng)軸折疊原來(lái)的實(shí)序列f(n) 得： （3.14） -N-10N-1NN+1f (n)圖3.8 延拓示意圖 2以2N為周期將其周期延

6、拓，其中f（0）f（1），f（N1）f（N） （3.15） （3.16） 3對(duì)0到2N1的2N個(gè)點(diǎn)的離散周期序列 作DFT，得令i2Nm1，則上式為 為了保證變換基的規(guī)范正交性，引入常量，定義：F(k)C(k) C(k)= （3.17） 其中（3.18） 3.2.2 二維離散余弦變換 （3.19） DCT逆變換為 【例3.3】應(yīng)用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的DCT變換。 解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %讀入圖像 I=dct2(A); %對(duì)圖像作DCT變換 subplot(1,2,1),imshow(A); %顯示原圖像 subplot(1,2,2),imshow

7、(log(abs(I),0 5); （3.20） （a）原圖 （b）DCT系數(shù)圖3.10 離散余弦變換3.3 二維離散沃爾什-哈達(dá)瑪變換（DHT）前面的變換都是余弦型變換，基底函數(shù)選用的都是余弦型。圖像處理中還有許多變換常常選用方波信號(hào)或者它的變形。沃爾什（Walsh）變換。沃爾什函數(shù)是一組矩形波，其取值為1和-1，非常便于計(jì)算機(jī)運(yùn)算。沃爾什函數(shù)有三種排列或編號(hào)方式，以哈達(dá)瑪排列最便于快速計(jì)算。采用哈達(dá)瑪排列的沃爾什函數(shù)進(jìn)行的變換稱(chēng)為沃爾什-哈達(dá)瑪變換，簡(jiǎn)稱(chēng)WHT或直稱(chēng)哈達(dá)瑪變換。 3.3.1 哈達(dá)瑪變換哈達(dá)瑪矩陣：元素僅由1和1組成的正交方陣。正交方陣：指它的任意兩行（或兩列）都彼此正交，或

8、者說(shuō)它們對(duì)應(yīng)元素之和為零。哈達(dá)瑪變換要求圖像的大小為N2n 。一維哈達(dá)瑪變換核為 其中， 代表z的二進(jìn)制表示的第k位值。（3.21） 一維哈達(dá)瑪正變換為 一維哈達(dá)瑪反變換為 二維哈達(dá)瑪正反變換為 （3.22） （3.23） （3.24） （3.25） 二維哈達(dá)瑪正、反變換也具有相同形式。正反變換都可通過(guò)兩個(gè)一維變換實(shí)現(xiàn)。高階哈達(dá)瑪矩陣可以通過(guò)如下方法求得：N8的哈達(dá)瑪矩陣為 （3.26） （3.27） 3.3.2 沃爾什變換哈達(dá)瑪變換矩陣，其列率的排列是無(wú)規(guī)則的。將無(wú)序的哈達(dá)瑪核進(jìn)行列率的排序，之后得到的有序的變換就成為沃爾什（Walsh）變換。 一維Walsh變換核為 二維沃爾什正變換和反變

9、換為（3.28） N8時(shí)的沃爾什變換核的值為 3.4 卡胡南-列夫變換（K-L變換）Kahunen-Loeve變換是在均方意義下的最佳變換。優(yōu)點(diǎn)：能夠完全去除原信號(hào)中的相關(guān)性，因而具有非常重要的理論意義。缺點(diǎn)：基函數(shù)取決于待變換圖像的協(xié)方差矩陣，因而基函數(shù)的形式是不定的，且計(jì)算量很大。H8= （3.29） K-L變換基本原理設(shè)：隨機(jī)圖像訓(xùn)練集X為N*N階矩陣的集合，每張圖像寫(xiě)成向量 則均值向量為 X的自協(xié)方差矩陣為K = = 其中： 為X的自相關(guān)函數(shù)在 中對(duì)角線(xiàn)上為 各個(gè)分量的方差，非對(duì)角線(xiàn)上為各個(gè)分量間的協(xié)方差。因此K 為對(duì)稱(chēng)矩陣。計(jì)算 的根，有 在線(xiàn)性代數(shù)理論中知：由特征值 可以進(jìn)一步求得

10、特征向量。 即 特征向量 滿(mǎn)足 由特征向量可構(gòu)成特征向量矩陣 因此有 其中： 取 A 為變換矩陣，對(duì) 作變換，則有 該式稱(chēng)為K-L變換，并有 因此經(jīng)K-L變換后，等價(jià)于F已完全去處相關(guān)性。問(wèn)題 求變換核 A 需計(jì)算協(xié)方差矩陣，計(jì)算量大且無(wú)快速算法；變換核A與數(shù)據(jù)X集有關(guān)，不適合用于正交變換領(lǐng)域。K-L變換的應(yīng)用把 從大到小排列，取前MN個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成變換矩陣為AM*N，則一. 基于變換域的數(shù)據(jù)壓縮 正變換 Y=A（ ），其中；X維數(shù)為N，Y維數(shù)為M 逆變換 =ATY，注：對(duì)于正交變換有AT=A-1 特點(diǎn)： A隨數(shù)據(jù)集合X不同而變化，工程應(yīng)用無(wú)意義。二. 統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)和知識(shí)抽取 對(duì)Y進(jìn)一

11、步進(jìn)行聚類(lèi)，可以在M維空間上建立Y的描述，進(jìn)而完成N維空間上關(guān)于X的描述，獲得關(guān)于X的知識(shí)。三. 模式識(shí)別 建立對(duì)Y的分類(lèi)器，可實(shí)現(xiàn)對(duì)X的分類(lèi)。K-L變換引入的失真正交變換保持能量守恒，即： 時(shí)域能量總和=變換域能量總和 的協(xié)方差矩陣為 Y的協(xié)方差矩陣為 因此，信號(hào)總能量為： 當(dāng)作降維操作時(shí)有能量保持率為 引入的失真（噪聲能量）3.5 二維離散小波變換一種窗口大小固定，但形狀可改變，因而能滿(mǎn)足時(shí)頻局部化分析的要求的變換。 3.5.1 連續(xù)小波變換設(shè) 且 ，按如下方式生成的函數(shù)族 稱(chēng)為分析小波或連續(xù)小波。 稱(chēng)為基本小波或母波a稱(chēng)為伸縮因子，b為平移因子。（3.30） 3.5.2 離散小波變換把連

12、續(xù)小波變換離散化更有利于實(shí)際應(yīng)用。對(duì)a和b按如下規(guī)律取樣： 其中， ； ； ，得離散小波： 離散小波變換和逆變換為 （3.31） （3.32） （3.33） 3.5.3 快速小波變換算法【例3.4】應(yīng)用MATLAB實(shí)現(xiàn)小波變換的例子。解：MATLAB程序如下：X=imread(pout.tif); %讀入圖像imshow(X);cA1,cH1,cV1,cD1 = dwt2(X,bior3.7); %進(jìn)行二維小波變換A1 = upcoef2(a,cA1,bior3.7,1); H1 = upcoef2(h,cH1,bior3.7,1);V1 = upcoef2(v,cV1,bior3.7,1);D1 = upcoef2(d,cD1,bior3.7,1);subplot(2,2,1); image(wcodemat(A1,192);title(Approximation A1)subplot(2,2,2