ch3命題邏輯的推理

1、ch3命題邏輯的推理3.1 推理的形式構(gòu)造定義 設(shè)A1, A2, , Ak, B為命題公式. 假設(shè)對(duì)于每組賦值，A1A2 Ak 為假，或當(dāng)A1A2Ak為真時(shí)，B也為真，那么稱由前提A1, A2, , Ak推出結(jié)論B的推理是有效的或正確的, 并稱B是有效結(jié)論.例3.1 判斷以下推理是否正確1 p,pq|-q2 p,qp|-q真值表法注意: 推理正確不能保證結(jié)論一定正確23.1 推理的形式構(gòu)造33.1 推理的形式構(gòu)造定義 設(shè)A1, A2, , Ak, B為命題公式. 假設(shè)對(duì)于每組賦值，A1A2 Ak 為假，或當(dāng)A1A2Ak為真時(shí)，B也為真，那么稱由前提A1, A2, , Ak推出結(jié)論B的推理是有效

2、的或正確的, 并稱B是有效結(jié)論.定理 由命題公式A1, A2, , Ak 推B的推理正確當(dāng)且僅當(dāng)A1A2AkB為重言式注意: 推理正確不能保證結(jié)論一定正確4推理的形式構(gòu)造2. A1A2AkB 假設(shè)推理正確, 記為A1 A2 Ak B3. 前提： A1, A2, , Ak 結(jié)論： B判斷推理是否正確的方法: 真值表法 等值演算法 主析取范式法推理的形式結(jié)構(gòu)1. A1, A2, , Ak B 若推理正確, 記為A1,A2,An B5推理的形式構(gòu)造2. A1A2AkB 假設(shè)推理正確, 記為A1 A2 Ak B3. 前提： A1, A2, , Ak 結(jié)論： B判斷推理是否正確的方法: 真值表法 等值演

3、算法 主析取范式法推理的形式結(jié)構(gòu)1. A1, A2, , Ak B 若推理正確, 記為A1,A2,An B6推理實(shí)例例1 判斷下面推理是否正確(1) 假設(shè)今天是1號(hào)，那么明天是5號(hào). 今天是1號(hào). 所以, 明天是5號(hào). (2) 假設(shè)今天是1號(hào)，那么明天是5號(hào). 明天是5號(hào). 所以, 今天是1號(hào). 解 設(shè) p：今天是1號(hào)，q：明天是5號(hào). (1) 推理的形式構(gòu)造: (pq)pq用等值演算法 (pq)pq (pq)p)q pqq 1 由定理可知推理正確7推理實(shí)例 用主析取范式法 (pq)qp (pq)qp (pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 結(jié)果不含m1, 故0

4、1是成假賦值，所以推理不正確(2) 假設(shè)今天是1號(hào)，那么明天是5號(hào). 明天是5號(hào). 所以, 今天是1號(hào). 推理的形式構(gòu)造:(pq)qp8推理定律重言蘊(yùn)涵式1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化簡律3. (AB)A B 假言推理4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段論6. (AB)(BC) (AC) 假言三段論7. (AB)(BC) (AC) 等價(jià)三段論8. (AB)(CD)(AC) (BD) 構(gòu)造性二難 (AB)(AB) B 構(gòu)造性二難(特殊形式)9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破壞性二難每個(gè)等值式可產(chǎn)生兩個(gè)推理定律如, 由AA可產(chǎn)生 AA 和 A

5、A93.2 自然推理系統(tǒng)P定義 一個(gè)形式系統(tǒng) I 由下面四個(gè)局部組成： (1) 非空的字母表，記作 A(I). (2) A(I) 中符號(hào)構(gòu)造的合式公式集，記作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式組成的公理集，記作 AX(I). (4) 推理規(guī)那么集，記作 R(I). 記I=, 其中是 I 的形式語言系統(tǒng), 是 I 的形式演算系統(tǒng).自然推理系統(tǒng): 無公理, 即AX(I)=公理推理系統(tǒng) 推出的結(jié)論是系統(tǒng)中的重言式, 稱作定理10自然推理系統(tǒng)P定義3.3 自然推理系統(tǒng) P 定義如下:1. 字母表 (1) 命題變項(xiàng)符號(hào)：p, q, r, , pi, qi, ri, (2) 聯(lián)結(jié)詞符號(hào)：,

6、, , , (3) 括號(hào)與逗號(hào)：(, ), ，2. 合式公式同定義3. 推理規(guī)那么 (1) 前提引入規(guī)那么 (2) 結(jié)論引入規(guī)那么 (3) 置換規(guī)那么11推理規(guī)那么(4) 假言推理規(guī)那么 (6) 化簡規(guī)那么 (8) 假言三段論規(guī)那么 AB AB AAB AB A(5) 附加規(guī)那么 (7) 拒取式規(guī)那么 (9) 析取三段論規(guī)那么 AB BA AB BCACAB BA12推理規(guī)那么(10) 構(gòu)造性二難推理規(guī)那么 (11) 破壞性二難推理規(guī)那么 (12) 合取引入規(guī)那么 AB CD AC BD AB CD BD AC A BAC13在自然推理系統(tǒng)P中構(gòu)造證明設(shè)前提A1, A2, Ak,結(jié)論B及公式序

7、列C1, C2, Cl. 假設(shè)每一個(gè)Ci(1il)是某個(gè)Aj, 或者可由序列中前面的公式應(yīng)用推理規(guī)那么得到, 并且Cl =B, 那么稱這個(gè)公式序列是由A1, A2, Ak推出B的證明例2 構(gòu)造下面推理的證明： 假設(shè)明天是星期一或星期三，我明天就有課. 假設(shè)我明天有 課，今天必備課. 我今天沒備課. 所以，明天不是星期一、 也不是星期三. 解 (1) 設(shè)命題并符號(hào)化 設(shè) p：明天是星期一，q：明天是星期三， r：我明天有課，s：我今天備課14直接證明法(2) 寫出證明的形式構(gòu)造 前提：(pq)r, rs, s 結(jié)論：pq(3) 證明 rs 前提引入 s 前提引入 r 拒取式 (pq)r 前提引入

8、 (pq) 拒取式 pq 置換15附加前提證明法附加前提證明法 適用于結(jié)論為蘊(yùn)涵式欲證 前提：A1, A2, , Ak 結(jié)論：CB等價(jià)地證明 前提：A1, A2, , Ak, C 結(jié)論：B理由： (A1A2Ak)(CB) ( A1A2Ak)(CB) ( A1A2AkC)B (A1A2AkC)B16附加前提證明法實(shí)例例3 構(gòu)造下面推理的證明 2是素?cái)?shù)或合數(shù). 假設(shè)2是素?cái)?shù)，那么 是無理數(shù). 假設(shè) 是無理數(shù)，那么4不是素?cái)?shù). 所以，假設(shè)4是素?cái)?shù)，那么2是合數(shù). 解 用附加前提證明法構(gòu)造證明 (1) 設(shè) p：2是素?cái)?shù)，q：2是合數(shù)， r： 是無理數(shù)，s：4是素?cái)?shù) (2) 推理的形式構(gòu)造 前提：pq,

9、 pr, rs 結(jié)論：sq 17附加前提證明法實(shí)例 (3) 證明 s 附加前提引入 pr 前提引入 rs 前提引入 ps 假言三段論 p 拒取式 pq 前提引入 q 析取三段論18歸謬法反證法歸謬法 (反證法)欲證 前提：A1, A2, , Ak 結(jié)論：B做法 在前提中參加B，推出矛盾.理由 A1A2AkB (A1A2Ak)B (A1A2AkB) (A1A2AkB)0 A1A2AkB019歸謬法實(shí)例例4 前提：(pq)r, rs, s, p 結(jié)論：q證明 用歸繆法 q 結(jié)論否認(rèn)引入 rs 前提引入 s 前提引入 r 拒取式 (pq)r 前提引入 (pq) 析取三段論 pq 置換 p 析取三段論

10、 p 前提引入 pp 合取20第三章 習(xí)題課主要內(nèi)容推理的形式構(gòu)造判斷推理是否正確的方法 真值表法 等值演算法 主析取范式法推理定律自然推理系統(tǒng)P構(gòu)造推理證明的方法 直接證明法 附加前提證明法 歸謬法(反證法)21根本要求理解并記住推理形式構(gòu)造的兩種形式： 1. (A1A2Ak)B 2. 前提：A1, A2, , Ak 結(jié)論：B純熟掌握判斷推理是否正確的不同方法如真值表法、等值演算法、主析取范式法等牢記 P 系統(tǒng)中各條推理規(guī)那么純熟掌握構(gòu)造證明的直接證明法、附加前提證明法和歸謬 法會(huì)解決實(shí)際中的簡單推理問題22練習(xí)1：判斷推理是否正確1. 判斷下面推理是否正確: (1) 前提：pq, q 結(jié)論

11、：p 解 推理的形式構(gòu)造:(pq)qp 方法一：等值演算法 (pq)qp (pq)q)p (pq)qp (pq)(qq)p pq易知10是成假賦值，不是重言式，所以推理不正確.23練習(xí)1解答方法二：主析取范式法， (pq)qp (pq)q)p pq M2 m0m1m3未含m2, 不是重言式, 推理不正確.24練習(xí)1解答方法三 真值表法 不是重言式, 推理不正確111001110100(pq)qpqppq 0 1 1 1(pq)q 0 0 1 0方法四 直接觀察出10是成假賦值25練習(xí)1解答用等值演算法 (qr)(pr)(qp) (qr)(pr)(qp) (qr)(pr)(qp) (qp)(qr)(rp)(qp) (qp)(qr)(rp)(qp)1推理正確(2) 前提：qr, pr 結(jié)論：qp 解 推理的形式構(gòu)造：(qr)(pr)(qp) 26練習(xí)2：構(gòu)造證明2. 在系統(tǒng)P中構(gòu)造下面推理的證明： 假設(shè)今天是周六，我們就到頤和園或圓明園玩. 假設(shè)頤和 園游人太多，就不去頤和園. 今天是周六，并且頤和園游