工程力學(xué)組合變形課件

1、組合變形第八章8/20/202218-1 概述構(gòu)件同時發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形的情況，稱為組合變形。煙囪傳動軸 吊車立柱1、組合變形的定義和工程實例8/20/202222、組合變形解題的基本方法 解決組合變形問題的基本方法是先分解后疊加,即首先將復(fù)雜的組合變形分解若干個簡單的基本變形;然后分別考慮各個基本變形下發(fā)生的內(nèi)力、應(yīng)力和變形情況;最后進行疊加。8/20/202233、解組合變形問題的一般步驟 1.外力分析將荷載簡化為符合基本變形外力作用條件的靜力等效力系 2.內(nèi)力分析分別做出各基本變形的內(nèi)力圖,確定構(gòu)件危險截面位置及其相應(yīng)內(nèi)力分量,按疊加原理畫出危險點的應(yīng)力狀態(tài)圖. 4.強度分析根

2、據(jù)危險點的應(yīng)力狀態(tài)和桿件的材料按強度理論進行強度計算。3.應(yīng)力分析按危險截面上的內(nèi)力值，分析危險截面上的應(yīng)力分布，確定危險點所在位置。8/20/20224 斜彎曲梁變形后，軸線位于外力所在的平面之外。8-2 斜彎曲一、概念 平面彎曲：外力施加在梁的對稱面（或主平面）內(nèi)時，梁將產(chǎn)生平面彎曲。對稱彎曲：平面彎曲的一種。即梁變形后，軸線位于外力所在的平面之內(nèi)。8/20/20225二、斜彎曲時的應(yīng)力與位移計算 在集中力F1 、 F2 作用下（雙對稱截面梁在水平和垂直兩縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)同時受橫向外力作用），梁將分別在水平縱對稱面(Oxz)和鉛垂縱對稱面(Oxy)內(nèi)發(fā)生對稱彎曲。 在梁的任意橫截面m-m上，

3、F1 、 F2引起的彎矩為 xyzC(y,z)OyzmmF1Fa2MmmzOyzMy8/20/20226 在F2 單獨作用下，梁在豎直平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲，z軸為中性軸。 在F1 單獨作用下，梁在水平平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲，y軸為中性軸。 斜彎曲是兩個互相垂直方向的平面彎曲的組合。(2) F1單獨作用下求應(yīng)力：m-m截面上第一象限某點C(y，z)(1) F2單獨作用下8/20/20227(3) 當(dāng)F1 和F2共同作用時，應(yīng)用疊加法所以,C點的x方向正應(yīng)力為壓zyBD中性軸EFzMF2F1和共同作用時F2單獨作用時F單獨作用時1My8/20/20228強度條件：B、D角點處的切應(yīng)力為零，按單向應(yīng)力狀態(tài)

4、來建立強度條件。設(shè)材料的抗拉和抗壓強度相同，則斜彎曲時的強度條件為中性軸：正應(yīng)力為零處，即求得中性軸方程危險點：m-m截面上角點 B 有最大拉應(yīng)力，D 有最大壓應(yīng)力； E、F點的正應(yīng)力為零，EF線即是中性軸?？梢夿、D點就是危險點，離中性軸最遠8/20/20229 上式可見，中性軸是一條通過橫截面形心的直線, E、F點的正應(yīng)力為零，EF線即是中性軸。其與y軸的夾角為 是橫截面上合成彎矩 M 矢量與 y 軸間的夾角。 一般，截面IyIz，即，因而中性軸與合成彎矩M所在的平面并不相互垂直。所以撓曲線將不在合成彎矩所在的平面內(nèi)，即是斜彎曲。對圓形、正方形等Iy=Iz的截面，得= ，即是平面彎曲Ozy

5、8/20/202210例8-1 20a號工字鋼懸臂梁承受均布載荷 q 和集中力F=qa/2 如圖。已知鋼的許用彎曲正應(yīng)力=160MPa, a=1m。試求梁的許可載荷集度q 解：作計算簡圖,將自由端截面B上的集中力沿兩主軸分解為 yqzaa40FOCBAFyzqaaABCDFzyx8/20/202211危險截面：由彎矩圖 ，可確定A、D兩截面為危險截面 A、D截面在xoz、 xoy平面的彎曲截面系數(shù)，可查表得 在xoz主軸平面內(nèi)的彎矩圖(y軸為中性軸) 在xoy主軸平面內(nèi)的彎矩圖 (z軸為中性軸)0.642qa0.444qa0.321qa222ADCByM圖(Nm)0.617aADCBMz圖0.

6、456qa0.383qa0.266qa222(Nm)8/20/202212 可見，梁的危險點在截面A的棱角處。危險點處是單軸應(yīng)力狀態(tài)，強度條件為 即解得 按疊加法，在xoz主軸平面內(nèi)、 xoy主軸平面內(nèi)的彎曲正應(yīng)力，在x方向疊加8/20/2022138-3 拉伸(壓縮)與彎曲組合F力作用在桿自由端形心處，作用線位于xy面內(nèi)，與x軸夾角為. F力既非軸向力，也非橫向力，所以變形不是基本變形。LxyF一、橫向力與軸向力共同作用8/20/2022141.外力分解Fy=Fsin y為對稱軸，引起平面彎曲Fx=Fcos 引起軸向拉伸lxFxFyyFx2.內(nèi)力分析FN=FxMz=Fy(lx)只有一個方向的

7、彎矩，就用平面彎曲的彎矩符號規(guī)定。+xFyFxFNMzFyll8/20/2022153.應(yīng)力及強度條件FN對應(yīng)的應(yīng)力Mz對應(yīng)的應(yīng)力疊加：8/20/202216由于忽略了剪切應(yīng)力，橫截面上只有正應(yīng)力，于是疊加后，橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律只可能為以下三種情況：中性軸(零應(yīng)力線)發(fā)生平移危險點的位置很容易確定，在截面的最上緣或最下緣。由于危險點的應(yīng)力狀態(tài)為簡單應(yīng)力狀態(tài)(單向拉伸或單向壓縮)，故：強度條件 max 8/20/202217例 8-2已知：W = 8kN，AB為工字鋼，材料為Q235鋼， = 100MPa。求: 工字鋼型號。解：AB受力如圖這是組合變形問題 壓彎組合。40kN作出AB桿的彎矩

8、圖和軸力圖8/20/202218根據(jù)內(nèi)力圖：危險截面為C 截面 設(shè)計截面的一般步驟 先根據(jù)彎曲正應(yīng)力選擇工字鋼型號； 再按組合變形的最大正應(yīng)力校核強度，必要時選擇大一號或大二號的工字鋼； 若剪力較大時，還需校核剪切強度。8/20/202219可以使用 本題不需要校核剪切強度拉(壓)彎組合變形時，危險點的應(yīng)力狀態(tài)是單向應(yīng)力狀態(tài)。 按彎曲正應(yīng)力選擇工字鋼型號選16號工字鋼8/20/202220 當(dāng)直桿受到與桿的軸線平行但不重合的拉力或壓力作用時，即為偏心拉伸或偏心壓縮。如鉆床的立柱、廠房中支承吊車梁的柱子。F1F2二、偏心拉伸與偏心壓縮8/20/202221 以橫截面具有兩對稱軸的等直桿承受距離截

9、面形心為 e (稱為偏心距)的偏心拉力F為例，來說明. 將偏心拉力 F 用靜力等效力系來代替。把A點處的拉力F向截面形心O1點簡化，得到軸向拉力F和兩個在縱對稱面內(nèi)的力偶Mey、Mez。 因此，桿將發(fā)生軸向拉伸和在兩個縱對稱面O1xy、O1xz內(nèi)的純彎曲。 z1yOeFA(y ,z )FFO1yzFFMeyzF=eMz=FyFOnnzy,yC(z)8/20/202222軸力FN=F 引起的正應(yīng)力彎矩My=Mey 引起的正應(yīng)力彎矩Mz=Mez 引起的正應(yīng)力按疊加法，得C點的正應(yīng)力A為橫截面面積；Iy、Iz分別為橫截面對y軸、z軸的慣性矩。 在任一橫截面n-n上任一點 C(y,z) 處的正應(yīng)力分別

10、為8/20/202223利用慣性矩與慣性半徑間的關(guān)系 C點的正應(yīng)力表達式變?yōu)?取=0 ，以y0、z0代表中性軸上任一點的坐標，則可得中性軸方程yOz中性軸8/20/202224 可見，在偏心拉伸(壓縮)情況下，中性軸是一條不通過截面形心的直線。 求出中性軸在y、z兩軸上的截距 對于周邊無棱角的截面，可作兩條與中性軸平行的直線與橫截面的周邊相切，兩切點D1、D2，即為橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力所在的危險點。相應(yīng)的應(yīng)力即為最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值。 中性軸D (y ,z222 )2azayOzyD (y ,z )1118/20/202225 對于周邊具有棱角的截面，其危險點必定在截面的棱角處

11、。如，矩形截面桿受偏心拉力F作用時，若桿任一橫截面上的內(nèi)力分量為FN=F、 My=FzF， Mz=FzF，則與各內(nèi)力分量相對應(yīng)的正應(yīng)力為：按疊加法疊加得OD2D1 AFyzyOzhbD1D2 FWzFyzyOD2D1 FyFWz中性軸yzOD1 st,maxsD2c,max8/20/202226 可見，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別在截面的棱角D1、D2處，其值為危險點處仍為單軸應(yīng)力狀態(tài)，其強度條件為 8/20/202227補充例題 圖示矩形截面鋼桿，用應(yīng)變片測得桿件上、下表面的軸向正應(yīng)變分別為a1103、 b 0.4103，材料的彈性模量E210GPa 。(1).試繪出橫截面上的正應(yīng)力分布圖；(

12、2).求拉力F及偏心距的距離。8/20/202228 當(dāng)偏心拉（壓）作用點位于某一個區(qū)域時，橫截面上只出現(xiàn)一種性質(zhì)的應(yīng)力(偏心拉伸時為拉應(yīng)力，偏心壓縮時為壓應(yīng)力)，這樣一個截面形心附近的區(qū)域就稱為截面核心。 對于磚、石或混凝土等材料（如橋墩），由于它們的抗拉強度較低，在設(shè)計這類材料的偏心受壓桿時，最好使橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力。因此，確定截面核心是很有實際意義的。 為此，應(yīng)使中性軸不與橫截面相交。三、截面核心8/20/202229作一系列與截面周邊相切的直線作為中性軸，由每一條中性軸在 y、z 軸上的截距ay1、az1，即可求得與其對應(yīng)的偏心力作用點的坐標(yF1,zF1)。有了一系列點，描出截面

13、核心邊界。（一個反算過程）前面偏心拉（壓）計算的中性軸截距表達式Ozyaay1z122114433558/20/202230例8-4 求矩形截面的截面核心 邊長為h和b的矩形截面，y、z兩對稱軸為截面的形心主慣性軸。得 若中性軸與AB 邊重合，則中興軸在坐標軸上的截距分別為 b66hCzybhBAD h66bOa13d4b18/20/202231例8-5 求圓截面核心 對于圓心 O 是極對稱的，截面核心的邊界對于圓心也應(yīng)是極對稱的，即為一圓心為 O 的圓。 得 作一條與圓截面周邊相切于A點的直線，將其看作為中性軸，并取OA為y軸，于是，該中性軸在y、z兩個形心主慣性軸上的截距分別為dzyO8d

14、8d1A18/20/202232 同理，分別將與BC、CD和DA邊相切的直線、看作是中性軸，可求得對應(yīng)的截面核心邊界上點2、3、4的坐標依次為 當(dāng)中性軸從截面的一個側(cè)邊繞截面的頂點旋轉(zhuǎn)到其相鄰邊時，相應(yīng)的外力作用點移動的軌跡是一條連接點1、2的直線。 于是，將1、2、3、4四點中相鄰的兩點連以直線，即得矩形截面的截面核心邊界。它是個位于截面中央的菱形， 8/20/202233AB段為等直實心圓截面桿,作受力簡化,作M、MxFABMe=Fa以圓截面桿在彎扭組合時的強度計算問題8-4 彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合AFlBR_Fl_FaFR8/20/202234 F力使AB桿發(fā)生彎曲，外力偶矩Me=FR使它發(fā)生

15、扭轉(zhuǎn)。 由彎矩、扭矩圖知，危險截面為固定端截面A危險截面上與彎矩和扭矩對應(yīng)的正應(yīng)力、切應(yīng)力為A截面的上、下兩個點C1和C2是危險點C1點的應(yīng)力狀態(tài)，取單元體得-二向應(yīng)力狀態(tài)C12CCC34A1C2C3CC4C18/20/202235可用相應(yīng)的強度理論對其校核，如第四強度理論，第三強度理論。在這種特定的平面應(yīng)力狀態(tài)下，這兩個強度理論的相當(dāng)應(yīng)力的表達式可得按應(yīng)力狀態(tài)分析的知識， C1點三個主應(yīng)力為 8/20/202236注意到=M/W、= Mx/Wp, 相當(dāng)應(yīng)力改寫為 上式同樣適用于空心圓截面桿，對其它的彎扭組合，可同樣采用上面的分析方法。8/20/202237例8-6 圖示一鋼制實心圓軸，軸上的齒輪 C 上作用有鉛垂切向力5kN，徑向力1.82kN；齒輪 D 上作用有水平切向力10kN，徑向力3.64kN。齒輪 C 的節(jié)圓直徑dC=400mm，齒輪D的節(jié)圓直徑dD=200mm。設(shè)許用應(yīng)力=100MPa，試按第四強度理論求軸的直徑。 解：將每個齒輪上的切向外力向該軸的截面形心簡化。ABxyzCD5kN1.82kN10kN3.64kN300300100AB1.82kNC5kN1kN.mD10kN3.64kN1kN.m8/20/202238