全國中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校通用教材-數(shù)學(xué)(上)3精選教學(xué)課件

1、第3章 三角函數(shù)3.1 角的概念推廣3.2 任意角的三角函數(shù)3.3 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)3.1 角的概念推廣 完成“將這扇門打開60”的動作有兩種選擇。你能否找出一種簡明的方法區(qū)分出開門的方向？ 假設(shè)目前的準(zhǔn)確時間是8:45，左圖里掛鐘顯示的時間（10:15）快了一個半小時要校準(zhǔn)此鐘，必須將分針（長針）往回?fù)芤蝗Π?。分針被撥動一圈的時候，它被撥動的角度是多少？再撥半圈，分針又轉(zhuǎn)過多少度？從開始撥動到完成校準(zhǔn)，分針被撥動的角度一共是多少？ 角的概念推廣 在平面內(nèi)一條射線繞它的端點O從位置OA旋轉(zhuǎn)到任意位置OB形成的圖形稱為角。射線的端點O稱為角的頂點。射線在旋轉(zhuǎn)的初始位置OA稱為角的始邊，射線在

2、旋轉(zhuǎn)的終止位置OB稱為角的終邊。角常用小寫希臘字母、示。 一個角的大小可以超過360。為了表達準(zhǔn)確，我們在畫一個角的時候，不僅要表示出旋轉(zhuǎn)方向，而且要把形成這個角的旋轉(zhuǎn)過程表示出來。 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角稱為正角； 按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角稱為負(fù)角； 當(dāng)一條射線不旋轉(zhuǎn)時，我們也認(rèn)為它形成了一個角，稱為零角。 1時鐘從3點走到3點15分，分針旋轉(zhuǎn)了多少度？ 2當(dāng)把手表倒撥（逆時針）1小時20分鐘，分針旋轉(zhuǎn)了多少度？ 3分別畫出以下各角： 150、420、750、120、390。 象限角與終邊相同的角 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把角的頂點放在原點O的位置上，讓角的始邊與x軸的正半軸重合，這時角

3、的終邊落在坐標(biāo)系中的第幾象限，就說這個角是第幾象限角。比如，45角是第一象限角；240角是第二象限角； 585角是第三象限角；300角是第四象限角。 如果一個角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就說這個角是軸線角。例如，90、180角都是軸線角。 在0360范圍內(nèi)，各象限角的范圍如下：(0, 90)(90,180)(180,270)(270,360)象限一二三四在0360范圍內(nèi)，各軸線角的大小如下：角度090180270位置x正半軸y正半軸x負(fù)半軸y負(fù)半軸思考在同一坐標(biāo)系中觀察下面角的共同點？30、390、750、330、690 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，這些角的終邊位置是相同的。我們把它們稱為是與30終邊相同的角

4、。 很顯然，與30終邊相同的角有無限多個。3030036039030136075030236033030（1）36039030（2）360 這樣我們可以得到與30角終邊相同的角（含30在內(nèi)）的一般表達式為30k360，kZ 由此推廣，軸線角的一般表達式如下終邊位置一般表達式x軸的正半軸k360( kZ)x軸的負(fù)半軸180k360( kZ)x軸k180( kZ)y軸的正半軸90k360( kZ)y軸的負(fù)半軸270k360( kZ)y軸90k180( kZ) 由此推廣，與角終邊相同的角（含角在內(nèi)）的一般表達式是：k360 ，kZ 例題解析 例 下列各角中哪些角與40的角終邊相同?390、400、3

5、20、320 解 因為 39030360 40040360 32040360 32040360 所以400、320角與40角終邊相同（400、320與40的差值正好是360的整數(shù)倍）； 而390、320角與40角終邊不相同（390、320與40的差值不是360的整數(shù)倍）。單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 1下列各角是第幾象限角？（如果是軸線角也請說明） 30、 120、 180、 260、300、360、390、450、30、90、 120、180、230、330。 2下列各角中哪些角與80的角終邊相同？ 440、280、280、400。 弧度 我們規(guī)定，長度等于半徑的圓弧對應(yīng)的圓心角為1弧度。弧度的單位符號是r

6、ad。 根據(jù)以上規(guī)定，在半徑為r的圓中，長度為l的圓弧對應(yīng)的圓心角的大小是 ，即 例如，圓周的長度是2r，它對應(yīng)的圓心角的大小是 因為圓周角用角度表示為360，所以可得出360= 2 rad 由此推廣，可進行如下?lián)Q算： 例題解析 例1 用弧度表示下列各角的大?。?60、 120、 60、 270 解單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 例2 用角度表示下列各角的大?。?2.5、 、 、 解單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 例3 求圖中公路彎道處弧AB的長l。（單位：m，結(jié)果保留整數(shù)）解由圖示可知：r48， 。 由圓心角公式 ，得 所以彎道處AB的長約為50m。l|r 4850 m 單擊鼠標(biāo)繼續(xù)下表列出了一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

7、 度數(shù)030456090120135150180270360弧度0 采用弧度制后，與角終邊相同的角（含角在內(nèi)）的一般表達式是：=2k，kZ 1用弧度表示下列各角的大?。?245、420、300、120、330 2用角度表示下列各角的大?。?3、 、 、 。 3.2 任意角的三角函數(shù) 銳角三角函數(shù) 在直角三角形OPM中，M是直角。角的對邊是a，鄰邊是b，斜邊是c，則有 坐標(biāo)系內(nèi)的三角函數(shù) 以O(shè)為原點，鄰邊OM所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。顯然x，y就是角的鄰邊和對邊長，r是斜邊。由此，我們得到：任意角三角函數(shù)的定義 以任意角的頂點為原點O，角的始邊為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系

8、xOy，在的終邊上任意取一點P（x，y），設(shè)點P到原點的距離是r，則有 這些比值都是角的函數(shù)，分別叫做的正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)，它們都是三角函數(shù)。我們規(guī)定： 1比值 叫做的正弦，記作sin，即 。 2比值 叫做的余弦，記作cos，即 。 3比值 叫做的正切，記作tan，即 。 由于2k（kZ）表示的所有角的終邊相同，根據(jù)三角函數(shù)的定義，它們的同名三角函數(shù)值相等，即sin(2k)sin，kZcos(2k)cos，kZtan(2k)tan，kZ 單位圓 以原點為圓心，半徑長為1個單位的圓。 設(shè)角的終邊與單位圓的交點為P。根據(jù)三角函數(shù)的定義，由點P的坐標(biāo)(x，y)可得以下公式： 在正切函數(shù) 中

9、，由于分母x不能為零，所以角的終邊不能在y軸上。在弧度制下，正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域如下表 三角函數(shù)定義域sin、cosRtan 例題解析 例1 已知角的終邊經(jīng)過點P（3，4），求的正弦、余弦及正切函數(shù)值。解所以由點P（3，4）可知x3，y4，單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 例2 求角390和 的正弦、余弦和正切值 。解單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 1已知角的終邊上一點P（3，4），求的正弦、余弦和正切函數(shù)值。 2求角420和 的三角函數(shù)值。 3求下列特殊角的三角函數(shù)值：（度） 0 30 45 60 90 180 270 (弧度)sincostan不存在不存在三角函數(shù)值的符號三角函數(shù)值的符號總結(jié)如下：三角函數(shù)第一象限的角第

10、二象限的角第三象限的角第四象限的角sincostan 1用或填空。 利用計算器求三角函數(shù)值 使用計算器求三角函數(shù)值時，角的大小、正負(fù)可以是任意的；角的單位可以是度，也可以是弧度。因此在計算三角函數(shù)值之前，必須先使用MODE鍵（或DRG鍵），把計算器調(diào)到相應(yīng)的狀態(tài)。 另外，由于計算器型號不同，所按的鍵名及按鍵過程稍有差異。因此，使用前應(yīng)仔細(xì)閱讀說明書。 例題解析題按鍵過程顯示結(jié)果sin165C E 1 6 5 sin0.258819045tan471C E 4 7 1 tan2.605089065sin(513)C E 5 1 3 / sin0.4539905C E 5 2ndF EXP 8 D

11、RG sin0.923879533C E 11 2ndF EXP 7 / DRG cos0.222520935C E 17 2ndF EXP 6 DRG tan0.577350269sin（2）C E 2 / DRG sin.909297427 用計算器計算下列各三角函數(shù)值。（結(jié)果保留位有效數(shù)字） （1）sin231 （2）cos(175) （3）tan(75) （4） （5） （6） 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 根據(jù)三角函數(shù)的定義，只要 k( kZ)，則 又因為x2y2r2，所以 于是，得出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系： 例題解析 例1 已知 ，且是第二象限的角，求cos和tan的值。解因為sin2c

12、os21，所以 又因為是第二象限的角，即cos0，所以單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 例2 化簡下列三角函數(shù)式： （1） (270360) （2）解（1）因為2700。（2）單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 1已知 ，0 ，求sin和tan的值。 2已知 ，且在第三象限，求cos和tan的值。 3化簡下列三角函數(shù)式： （1）costan （2）3.3 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) 用描點法完成正弦函數(shù)y=sinx，x0，2的圖像。 x02y列表： 描點：以表中對應(yīng)的x、y的值為坐標(biāo)在坐標(biāo)系中描點。連線：將所描各點順次連接起來，即完成所畫的圖像。正弦函數(shù)ysinx的圖像和性質(zhì)正弦函數(shù)ysinx的圖像 把函數(shù)ysin x在區(qū)間0，2上的圖像向

13、左平移2就能得到正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間2，0上的圖像。 我們把正弦函數(shù)ysinx(xR)的圖像叫做正弦曲線。 把正弦函數(shù)ysinx在區(qū)間0，2上的圖像向左、右分別平移2、4、6個單位，就能得到正弦函數(shù)ysinx，xR的圖像。 由ysinx，x0，2的圖像可以看出，下面五個點在確定圖像形狀時起著關(guān)鍵的作用： (0，0)、( ，1)、(，0)、( ，1)、(2，0) 這五個點描出后，正弦函數(shù)ysinx，x0，2的圖像的形狀就基本上確定了。今后，我們只要找出這五個點就可以描點畫簡圖了。這種作圖法稱為五點法。 例題解析 例 用五點法畫出函數(shù)ysinx1在0，2上的簡圖。解 分析 比較函數(shù)ysinx

14、1和函數(shù)ysinx可以看出，對同一個x值，函數(shù)ysinx1的值比函數(shù)ysinx的值大1。所以 ，函數(shù)ysinx1的圖像與函數(shù)ysinx的圖像形狀一樣，但在坐標(biāo)系中的位置不同。 描點并連線： x02sinx01010sinx112101列表： 單擊鼠標(biāo)繼續(xù)正弦函數(shù)ysinx的性質(zhì) （1）定義域：R。 （2）值域：1，1。 （3）周期性： 由于終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即sin（x2k）sinx，kZ。 所以 sinx在變化過程中，x每增大或減小2k（kZ 且k0），函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，我們稱y=sinx為周期函數(shù)；而2k（kZ 且k0）為它的周期（周期常用T表示），其中T=2稱為它的最小正周期。

15、 今后我們所說的周期都是指最小正周期。 （4）對稱性：正弦函數(shù)ysinx的圖像關(guān)于原點對稱，即sin(x)=sinx （5）單調(diào)性： 正弦函數(shù)ysinx在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上是減函數(shù)。 用五點法作出下列函數(shù)在區(qū)間0，2上的簡圖。 （1）ysinx1 （2）y2sinx 余弦函數(shù)ycosx的圖像和性質(zhì)余弦函數(shù)ycosx的圖像 把余弦函數(shù)ycosx在區(qū)間0，2上的圖像向左、右分別平移2、4 個單位，就能得到余弦函數(shù)ycosx，xR的圖像。 余弦函數(shù)ycosx（x）的圖像叫做余弦曲線。余弦函數(shù)ycosx的性質(zhì)（1）定義域：（，）（2）值域：1，1（3）周期性：余弦函數(shù)ycos x是周期函數(shù)，它的周期是2。（4）對稱性：余弦函數(shù)ycosx（x）的圖像關(guān)于y軸對稱，即cos(x)=cosx（5）單調(diào)性：在區(qū)間0，上是減函數(shù)，在區(qū)間，2上是增函數(shù)。 1將比較cos 與cos 值的大小。 2用五點法畫出y2cosx在區(qū)間 上的簡圖。 正切函數(shù)ytanx的圖像和性質(zhì)正切函數(shù)ytanx的圖像 把正切函數(shù)ytan x在x 上的圖像向左或向右分別