冀教版（新）九上-28.3 圓心角與圓周角【優(yōu)質(zhì)教案】

1、班海數(shù)學精批一本可精細批改的教輔28.3 圓心角與圓周角圓心角、弦、弧的關(guān)系教學目標：1讓學生在實際操作中發(fā)現(xiàn)圓的旋轉(zhuǎn)不變性。2結(jié)合圖形讓學生了解圓心角的概念，學會辨別圓心角。3.引導學生發(fā)現(xiàn)圓心角、弦、弧之間的相等關(guān)系，并初步學會運用這些關(guān)系解決有關(guān)問題。4.培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納的能力，滲透旋轉(zhuǎn)變換的思想及由特殊到一般的認識規(guī)律。教學重點：圓心角、弦、弧、弦心距之間的相等關(guān)系。教學難點：從圓的旋轉(zhuǎn)不變性出發(fā)，得到圓心角、弦、弧、弦心距之間的相等關(guān)系。教學程序：一、創(chuàng)設(shè)情境動手操作（1）平行四邊形繞對角線交點O旋轉(zhuǎn)180后，你發(fā)現(xiàn)了什么？（2）O繞圓心O旋轉(zhuǎn)180后，你發(fā)現(xiàn)了什么？（3）思

2、考：平行四邊形繞對角線交點O任意旋轉(zhuǎn)任意一個角度后，你發(fā)現(xiàn)了什么？把O繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意一個角度后，你發(fā)現(xiàn)了什么？設(shè)計意圖：學生在操作中發(fā)現(xiàn)平行四邊形和圓旋轉(zhuǎn)180后都能與自身重合，所以是中心對稱圖形。但是平行四邊形旋轉(zhuǎn)任意角度后并不總能與自身重合，而圓旋轉(zhuǎn)任意角度后總能與自身重合，從中引導學生發(fā)現(xiàn)圓的旋轉(zhuǎn)不變性二、探究新知（1）探究：我們把頂點在圓心的角叫做圓心角。將圓心角AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到AOB的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？得出：當AOB =AOB時，有：弦AB=弦AB，弧AB=弧AB。（2）在等圓中，是否也能得出類似的結(jié)論呢？做一做：在紙上畫兩個等圓，畫AOB=AOB，連結(jié)AB和

3、AB，則弦AB與弦AB，弧AB與弧AB還相等嗎？為什么？請學生動手操作，在實踐中發(fā)現(xiàn)結(jié)論依舊成立。設(shè)計意圖：學生在操作中，由圓的旋轉(zhuǎn)不變性可得到圓心角，弧，弦弦心距之間的關(guān)系定理。（3）說一說嘗試將上述結(jié)論用數(shù)學語言表達出來。在學生回答的基礎(chǔ)上，師生共同得出：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦，所對的弦心距也相等。（4）思考：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，你能得到什么結(jié)論？在同圓或等圓中，如果兩條弦相等呢？在同圓或等圓中，如果兩條弦心距相等呢？學生小組討論，歸納得出：在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等。（5）想一

4、想：假設(shè)把剛才兩者之間的關(guān)系的前提“在同圓或等圓中”條件去掉，他們之間的關(guān)系還成立嗎？舉出反例。設(shè)計意圖：通過學生思考，歸納進一步理解圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系。體會到定理的嚴密性。三、例題教學：例1如圖，在O中，AB、CD是兩條弦，OEAB，OFCD，垂足分別為EF （1）如果AOB=COD，那么OE與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？（2）如果OE=OF，那么弧AB與弧CD的大小有什么關(guān)系？AB與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？AOB與COD呢？ 分析：（1）要說明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中說明AE=CF，即說明AB=CD，因此，只要運用前面所講的定理即可（2）

5、OE=OF，在RtAOE和RtCOF中，又有AO=CO是半徑，RtAOERtCOF，AE=CF，AB=CD，又可運用上面的定理得到弧AB=弧CD設(shè)計意圖：本活動的設(shè)計是今天所學的定理的應用。通過引導學生對定理的理解和應用，進一步歸納出相等的量中還包括弦心距這一組量。四、練習1一條弦長恰好為半徑長，則此弦所對的弧是半圓的_2如圖，AB和DE是O的直徑，弦ACDE，若弦BE=3，則弦CE=_3如圖，以 ABCD的頂點A為圓心，AB為半徑作圓，分別交BC、AD于E、F，若D=50，求BE的度數(shù)和BF的度數(shù)五、小結(jié)在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距之間存在什么關(guān)系？六、作業(yè)。圓周角和圓心角，弧的關(guān)

6、系教學目標(一)知識與技能1、理解圓周角的概念,掌握圓周角的兩個特征、定理的內(nèi)容及簡單應用；2、準確地運用圓周角定理及其推論進行簡單的證明計算。 (二)過程與方法1、通過觀察、比較、分析圓周角與圓心角的關(guān)系發(fā)展學生合情推理和演繹推理的能力。2、通過觀察圖形，提高學生的識圖的能力3、通過引導學生添加合理的輔助線，培養(yǎng)學生探究問題的興趣。 (三)情感與價值觀1、經(jīng)過探索圓周角定理的過程，發(fā)展學生的數(shù)學思考能力。2、通過積極引導，幫助學生有意識主動探究，并能在探究中獲得成功的體驗。教學重點圓周角定理、圓周角定理的推導及運用它們解題教學難點認識圓周角定理需要分三種情況逐一證明的必要性。推論的靈活應用以

7、及輔助線的添加教學突破讓學生學會分類討論、轉(zhuǎn)換化歸是教學突破的關(guān)鍵教學準備教師準備：制作課件，精選習題學生準備：復習有關(guān)知識，預習本節(jié)課內(nèi)容，制作圓形紙片教學過程活動1： 創(chuàng)設(shè)情景，引入概念師：課件（出示圓柱形海洋館圖片）右圖是圓柱形海洋館的俯視圖海洋館的前側(cè)延伸到海洋里，并用玻璃隔開，人們站在海洋館內(nèi)部，透過其中的圓弧形玻璃窗可以觀看到窗外的海洋動物如圖是圓柱形的海洋館橫截面的示意圖， eq o(AB,sup5()表示圓弧形玻璃窗同學甲站在圓心O的位置，同學乙站在正對著玻璃窗的靠墻的位置C，丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E，師：同學甲的視角AOB的頂點在圓心處，我們稱這樣的角為圓心角同學乙

8、的視角ACB、同學丙的視角ADB和同學丁的視角AEB不同于圓心角，是與圓有關(guān)的另一類角，我們稱這類角為圓周角師：提出問題問題1：觀察ACB、ADB和AEB的邊和頂點與圓的位置有什么共同特點？問題2：ACB、ADB和AEB與AOB有什么區(qū)別？問題3：ACB、ADB和AEB有哪些共同點？（教師引導學生進行探究，并關(guān)注以下問題）問題的出示是否引起學生的興趣學生是否理解示意圖學生是否理解圓周角的定義學生是否清楚了要探究的數(shù)學問題生：這三個角的共同點有兩個：頂點都在圓周上；兩邊都與圓相交師：評價并鼓勵學生的總結(jié)給出肯定，我們把頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角（教師板書圓周角定義，并強調(diào)定義的

9、兩個要點，學生在學案上寫出圓周角的定義）設(shè)計意圖：從生活中的實例入手，讓學生經(jīng)歷觀察、分析，抽象出圖形的共同屬性，得出圓周角定義，理解圓周角概念的本質(zhì) 跟蹤練習：請同學們根據(jù)定義回答下面問題：在下列與圓有關(guān)的角中，哪些是圓周角？哪些不是，為什么？ （學生思考片刻之后，教師就每個圖形分別請一位學生作答）設(shè)計意圖：為了使學生更加容易地掌握概念，此處教師并排地呈現(xiàn)正例和反例，可以有利于學生對本質(zhì)屬性與非本質(zhì)進行比較活動2：問題探究探究同弧所對圓周角及圓周角與圓心角的關(guān)系師：下面我們繼續(xù)研究海洋館的問題，設(shè)想你是一名游客，甲、乙、丙、丁四位同學的位置供你選擇，你認為在哪個位置看到的海洋景象范圍更廣一些

10、？預設(shè)生：（會很肯定的說）當然是同學甲的位置可以看到更廣的海洋范圍了師提出：你是如何知道的？預設(shè)生1：因為我發(fā)現(xiàn)AOB比ACB、ADB和AEB都大預設(shè)生2：因為發(fā)現(xiàn)在圓內(nèi)當角的頂點距離弧越近角就越大師提出：如果在乙、丙、丁三位同學的位置中選擇，哪個位置看到的海洋范圍更廣一些？預設(shè)生：（看了圖形想了想）三個位置看到海洋范圍的大小應該是一樣的師提出問題：1、弧AB所對的圓周角的個數(shù)有多少個？2、弧AB所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？預設(shè)生：有無數(shù)個，度數(shù)相等師：你是怎么知道的？預設(shè)生：觀察猜到的。師：學習數(shù)學需要有觀察、猜想但更重要的還要驗證。請同學們驗證你們的說法，并與同伴交流師提出問題：弧AB

11、所對的圓周角與其所對的圓心角有什么關(guān)系？（學生分組開始動手操作驗證：有的借助量角器，用度量的方法進行驗證；有的采用折疊重合的方法進行驗證）預設(shè)生：(興奮地驚叫著)老師，我發(fā)現(xiàn)了：同學乙、丙、丁的視角ACB、ADB和AEB相等，同學甲的視角AOB比其他同學的視角都大，是它們的2倍!（其他同學也都興奮得不得了，教室里頓時一片歡騰）設(shè)計意圖：引導學生經(jīng)歷觀察、猜想、操作、分析、驗證、交流等基本數(shù)學活動，探索圓周角的性質(zhì)，感知基本幾何事實，初步體會兩種數(shù)量關(guān)系：同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系；同弧所對的圓周角的關(guān)系 師：下面，老師用計算機進一步驗證我們剛才所得到的結(jié)論：（教師開始在計算機上進行驗證）首

12、先采用幾何畫板的度量功能，量出AOB、ACB、ADB和AEB，發(fā)現(xiàn)：AOB最大，ACB=ADB=AEB，接著，采用計算功能，計算ACB和AOB的比值，發(fā)現(xiàn)：ACB：AOB=1：2然后教師分別從以下幾個方面演示，讓學生觀察圓周角的度數(shù)是否發(fā)生改變，同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系有無變化：拖動圓周角的頂點使其在圓周上運動；改變圓心角的度數(shù)；改變圓的半徑大小設(shè)計意圖：通過幾何畫板做進一步演示與驗證，用幾何動態(tài)的語言來研究圓周角與圓心角的關(guān)系，在某些量變化的過程中讓學生觀察不變的數(shù)量關(guān)系，幫助學生更好地理解圓周角與圓心角的關(guān)系師：既然這樣，我們請一位同學把所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論用文字語言表述一下預設(shè)生1：同弧所

13、對的圓周角相等，并且都等于圓心角的一半預設(shè)生2：他的說法不準確，應該是：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，并且都等于這條弧所對的圓心角的一半丟掉了“在同圓或等圓中”和“這條弧所對的”這兩點師：前一位同學總結(jié)得很好，但后一位同學總結(jié)得更準確，我們要學習他們這種嚴謹治學的態(tài)度和精神設(shè)計意圖：把直觀操作與邏輯推理有機結(jié)合，使將要進行的推理論證成為學生觀察、實驗、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)活動3：用分類討論的方法證明定理師: 為了更好地說明結(jié)論的正確性,下面我們探究其論證方法先請同學們在右圖的O中盡可能多地畫 eq o(AB,sup5()所對的圓周角,并思考圓心與圓周角有哪幾種位置關(guān)系?（學生分組畫圖

14、,每個小組總結(jié)所畫的圖形的情況，教師巡視,在同學們所畫的圖形中發(fā)現(xiàn)圓心與圓周角的三種位置關(guān)系的例子,并在展示臺上演示）預設(shè)生1:圓心在圓周角的一邊上預設(shè)生2,圓心在圓周角的內(nèi)部,預設(shè)生3在圓周角的外部師:圓心與圓周角存在三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部（如下圖）第一種情況第二種情況第三種情況師:在上述三種情況中我們先選擇其中的一種情況進行證明,選哪種情況,如何證明?（學生先獨立思考, 然后在同伴間悄悄交流自己的思路）預設(shè)生：選擇第一種情況進行證明，因為圓心在圓周角的一邊上，是最簡單的一種情況因為圓心在圓周角的一邊上，所以AC是圓的直徑,由同圓半徑相等可

15、知，OC=OB，所以C=B，根據(jù)定理“三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”可得，AOB=C+B=2C，即同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半師：證明得非常好，掌聲給予鼓勵！師：當圓心在圓周角的一邊上的時候，圓周角ACB的邊AC部分就是O的直徑，因此給證明思路的尋找?guī)砹瞬簧俜奖?，當圓心不在圓周角的邊上時，比如在角的內(nèi)部，沿CO對折O，展開后你有什么發(fā)現(xiàn)？對該情況下命題的證明有哪些啟示？（學生開始對折圓形紙片，觀察，分析，交流）預設(shè)生：由對折發(fā)現(xiàn)，可以轉(zhuǎn)化為第一種情況的證明，即，如果做過點C的直徑CD，那么，由(1)中的結(jié)論可知：ACD=AOD，BCD=BOD，兩式相加即可得到AC

16、B=AOB師：很好！請同學們在學案上寫出這種情況下的證明過程，之后完成最后一種情況的證明，同伴之間交流自己的證明思路（各小組學生思考交流后一種情況的證明思路，完成證明過程一名學生黑板上展示證明過程，教師做思路和規(guī)范性點評）設(shè)計意圖：在本段的教學中，注意突出圖形性質(zhì)的探究過程，重視學生主體地位的落實，通過觀察度量、實驗操作、圖形變換、合情推理來探索圖形的性質(zhì)，從而讓學生學會分析問題和解決問題的方法另外，教學時盡可能地從數(shù)學語言的三種形態(tài)“文字語言、圖形語言、符號語言”進行描述，以強化對數(shù)學知識的學習與理解，加強數(shù)學語言的運用與表達師：通過上面的證明，我們得到：同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心

17、角的一半其實，等弧的情況下該命題也是成立的，命題“同弧或等弧所對的圓周角相等”也是正確的，想一想為什么？（教師板書）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半活動4：鞏固練習，拓展性質(zhì)1、如圖，點A、B、C、D在同一個圓上，四邊形ABCD的對角線把4各內(nèi)角分成8個角，這些角中哪些是相等的角？2、如圖，點A、B、C、D在O上，若C=60，則D=_，O=_3、如圖，等邊ABC的頂點都在O上，點D是O上一點，則BDC=_（學生獨立思考，交流，回答問題，教師通過學生練習，及時發(fā)現(xiàn)問題，評價教學效果）設(shè)計意圖：習題的作用是將基本知識技能化，通過技能的訓練幫助學

18、生理解基本知識比如在第3題中，學生要求BDC，首先要根據(jù)定義判斷這個角是圓中的什么角？要求它的值應該建立與哪個量的關(guān)系？（?。┙柚谶@個量又可以與誰相聯(lián)系？（A）通過這樣的轉(zhuǎn)化考察了學生對定理的理解和應用，并使學生在從復雜的圖形中分解出基本圖形的訓練中，培養(yǎng)空間識圖能力 圓周角和直徑的關(guān)系學習目標1經(jīng)歷探索圓周角的有關(guān)性質(zhì)的過程2知道圓周角定義，掌握圓周角定理，會用定理進行推證和計算。3體會分類、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.學習重點：圓周角的性質(zhì)及應用.學習難點：圓周角的性質(zhì)及應用.教學過程一、 情境創(chuàng)設(shè)問題情境：我們學過哪些與圓有關(guān)的角？它們之間有什么關(guān)系？二、 探究學習1. 嘗試、交流（1）BC是O的

19、直徑，它所對的圓周角是銳角、還是鈍角、還是直角？為么？（2）圓周角BAC=900，弦BC過圓心嗎？為什么？2. 總結(jié)直徑所對的圓周角是直角，90度的圓周角所對的弦是直徑 。3. 典型例題例1.AB是O直徑，弦CD與AB相交于點E，ACD=60度，ADC=50度，求CEB的度數(shù).例2如圖AB是O的直徑，弦CD與AB相交于點E，ACD=60，ADC=50,求CEB的度數(shù).例3.在ABC的3個頂點都在O上，AD是ABC的高，AE是O的直徑，求證：ABEACD。三、 歸納總結(jié)1. 探索了圓周角的有關(guān)性質(zhì)2圓周角定義、圓周角定理，會用定理進行推證和計算。3體會分類、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.圓內(nèi)接四邊形1. 知識

20、結(jié)構(gòu) 2. 重點、難點分析 重點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理它是圓中探求角相等或互補關(guān)系的常用定理，同時也是轉(zhuǎn)移角的常用方法 難點：定理的靈活運用使用性質(zhì)定理時應注意觀察圖形、分析圖形，不要弄錯四邊形的外角和它的內(nèi)對角的相互對應位置 3. 教法建議 本節(jié)內(nèi)容需要一個課時 （1）教師的重點是為學生創(chuàng)設(shè)一個探究問題的情境（參看教學設(shè)計示例），組織學生自主觀察、分析和探究； （2）在教學中以“發(fā)現(xiàn)證明應用”為主線，以“特殊一般”的探究方法，引導學生發(fā)現(xiàn)與證明的思想方法 一、教學目標： （一）知識目標 （1）了解圓內(nèi)接多邊形和多邊形外接圓的概念； （2）掌握圓內(nèi)接四邊形的概念及其性質(zhì)定理； （3）熟練運用

21、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進行計算和證明 （二）能力目標 （1）通過圓的特殊內(nèi)接四邊形到圓的一般內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的探究，培養(yǎng)學生觀察、分析、概括的能力； （2）通過定理的證明探討過程，促進學生的發(fā)散思維； （3）通過定理的應用，進一步提高學生的應用能力和思維能力 （三）情感目標 （1）充分發(fā)揮學生的主體作用，激發(fā)學生的探究的熱情； （2）滲透教學內(nèi)容中普遍存在的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點 二、教學重點和難點: 重點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理 難點：定理的靈活運用 三、教學過程設(shè)計 （一）基本概念 如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓如圖中的四邊形

22、ABCD叫做O的內(nèi)接四邊形，而O叫做四邊形ABCD的外接圓 （二）創(chuàng)設(shè)研究情境 問題：一般的圓內(nèi)接四邊形具有什么性質(zhì)？ 研究：圓的特殊內(nèi)接四邊形（矩形、正方形、等腰梯形） 教師組織、引導學生研究 1、邊的性質(zhì)： （1）矩形：對邊相等，對邊平行 （2）正方形：對邊相等，對邊平行，鄰邊相等 （3）等腰梯形：兩腰相等，有一組對邊平行 歸納：圓內(nèi)接四邊形的邊之間看不出存在什么公同的性質(zhì) 2、角的關(guān)系 猜想：圓內(nèi)接四邊形的對角互補 （三）證明猜想 教師引導學生證明（參看思路） 思路1：在矩形中，外接圓心即為它的對角線的中點，A與B均為平角BOD的一半，在一般的圓內(nèi)接四邊形中，只要把圓心O與一組對頂點B、

23、D分別相連，能得到什么結(jié)果呢? A=，C= A+C= 思路2：在正方形中，外接圓心即為它的對角線的交點把圓心與各頂點相連，與各邊所成的角均方45的角在一般的圓內(nèi)接四邊形中，把圓心與各頂點相連，能得到什么結(jié)果呢? 這時有2(+)=360 所以 +=180 而 +=A，+=C， A+C=180，可得，圓內(nèi)接四邊形的對角互補 （四）性質(zhì)及應用 定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任意一個外角等于它的內(nèi)對角 （對A層學生應知，逆定理成立， 4點共圓） 例 已知：如圖，O1與O2相交于A、B兩點，經(jīng)過A的直線與O1交于點C，與O2交于點D過B的直線與O1交于點E，與O2交于點F 求證：CEDF （分析與證明學生