2022年人教A版數(shù)學(xué)必修四23《平面向量的正交分解及坐標表示》Word教案

1、名師精編 優(yōu)秀教案2.3 平面對量的基本定理及坐標表示教學(xué)設(shè)計【教學(xué)目標】1明白平面對量基本定理；2懂得平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示,初步把握應(yīng)用向量解決 實際問題的重要思想方法；3能夠在詳細問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來表達 . 【導(dǎo)入新課】復(fù)習(xí)引入：1 實數(shù)與向量的積實數(shù) 與向量 a 的積是一個向量,記作： a .（1）| a |=| | a | ；（2） 0 時, a 與a方向相同； 0 時, a 與 a 方向相反； =0 時, a =0. 2運算定律結(jié)合律： a = a；安排律： + a = a + a , a +b = a + b . 3. 向量

2、共線定理向量 b 與非零向量 a 共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù) 新授課階段 ,使 b = a . 一、平面對量基本定理：假如 1e,e 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 a ,有且只有一對實數(shù) 1, 2 使 a = 1 1e + 2 e . 探究：1 我們把不共線向量 、叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底；2 基底不惟一,關(guān)鍵是不共線；3 由定理可將任一向量 a 在給出基底 、的條件下進行分解；4 基底給定時,分解形式惟一 . 1, 2 是被 a,1e,e 唯獨確定的數(shù)量 . 二、平面對量的坐標表示如圖,在直角坐標系內(nèi),我們分別取與 x 軸、 y 軸方向相

3、同的兩個單位向量、j 作為基底 .任作一個向量 a ,由平面對量基本定理知,有且只有一對實數(shù) x 、 y ,使得axiyj 11名師精編優(yōu)秀教案我們把x,y 叫做向量 a 的（直角）坐標,記作ax,y 22其中x叫做a在x軸上的坐標, y 叫做a在 y 軸上的坐標, 22式叫做向量的坐標表示. 與a 相等的向量的坐標也為x,y. y也特殊地,i 0,1,j0 1, ,00 ,0. 如圖,在直角坐標平面內(nèi),以原點O為起點作OAa,就點 A的位置由 a 唯獨確定 . 設(shè)OAxiyj,就向量 OA 的坐標x,y就是點 A 的坐標；反過來,點A的坐標x,就是向量 OA 的坐標 . 因此,在平面直角坐標

4、系內(nèi),每一個平面對量都是可以用一對實數(shù)唯一表示 . 三、平面對量的坐標運算（1）如 a x 1y 1 ,b x 2y 2 ,就 a b x 1 x 2 , y 1 y 2 ,a b x 1 x 2 , y 1 y 2 . 兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差 . 設(shè)基底為、j ,就 a b x 1 i y 1 j x 2 i y 2 j x 1 x 2 i y 1 y 2 j,即a b x 1 x 2 , y 1 y 2 ,同理可得 a b x 1 x 2 , y 1 y 2 .（2）如 A x 1y 1 ,B x 2y 2 ,就 AB x 2 x 1 , y 2 y 1 .

5、 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標 . AB =OB OA = x 2,y 2 -x 1,y 1= x 2 x 1, y2 y 1. （3）如 a x , y 和實數(shù),就 a x , y . 實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原先向量的相應(yīng)坐標 . 設(shè)基底為、j ,就 a xi yj xi yj,即 a x , y . 例 1 已知 Ax 1, y1 ,Bx 2,y 2 ,求 AB 的坐標 . 例 2 已知 a =2 ,1 , b =-3 ,4 ,求 a +b , a - b ,3a+4 b 的坐標 . 名師精編 優(yōu)秀教案例 3 已知平面上三點的坐標分別為 點構(gòu)

6、成平行四邊形四個頂點 . A 2, 1 ,B 1,3 , C3 ,4 ,求點 D的坐標使這四解：當(dāng)平行四邊形為 ABCD時,由 AB DC,得 D1=2 ,2. 當(dāng)平行四邊形為 ACDB時,得 D2=4 ,6 ,當(dāng)平行四邊形為 DACB時,得 D3= 6,0. 例 4 已知三個力 F 3 ,4 ,F 2 , 5 ,F x ,y 的合力 F + F + F =0,求 F 的坐標 . 解：由題設(shè) F + F + F =0 ,得： 3 , 4+ 2 , 5+x ,y=0 ,0 ,3 2 x 0, x 5,即：F 5,1. 4 5 y 0, y 1.例 5 已知 a=2,1, b = 3,4, 求 a

7、 b , a b ,3a 4b 的坐標 . 解： a b （ 2,1 ）+（-3,4 ）= 1,5 ,a b （ 2,1 ）- （-3,4 ）=5 , 3 ,3a4b 3（2,1 ）+4（-3,4 ）=（6,3 ）+（ -12,16 ）=6,19. 點評：利用平面對量的坐標運算法就直接求解 . 例 6 已知平行四邊形 ABCD的三個頂點 A、B、C的坐標分別為（-2 ,1）、（-1 ,3）（3,4）,求頂點 D的坐標 . 解：設(shè)點 D的坐標為（ x,y ）, AB 1,3 2,11,2,y,DC3,4 , 3x ,4且ABDC,1,23x,4y.即 3- x=1,4-y=2. 解得 x=2,y

8、=2. 所以頂點 D的坐標為（ 2, 2）. 另解：由平行四邊形法就可得BDBABC33 1,43 2 1,13, 1,ODOBBD名師精編優(yōu)秀教案 1,3 3, 12, 2.例 7 經(jīng)過點M 2,3的直線分別交x 軸、 y 軸于點A B ,且 |AB| 3|AM|,求點A B 的坐標. 解：由題設(shè)知,A B M 三點共線,且 | AB | 3| AM |,設(shè) A x ,0, B 0, y ,點 M 在 A B 之間,就有 AB 3 AM , x y 3 2 x ,3 . 解之得：x 3, y 3,點 A B 的坐標分別為 3,0,0,3 . 點 M 不在 A B 之間,就有 AB 3 AM

9、,同理,可求得點 A B 的坐標分別為 3,0,20, 9 . 綜上,點 A B 的坐標分別為 3,0,0,3 或 3,0, 0, 9 . 2例 8. 已知三點 A 2,3, B 5,4, C 7,10,如 AM AB AC,試求實數(shù) 的取值范疇, 使 M落在第四象限 . 解：設(shè)點 M x y , ,由題設(shè)得 x 2, y 3 3 , 5,7 3 5, 7,x 3 3, y 4,要使 M 落在第四象限,就 x 3 3 0, y 4 0,解之得 1 4. 例 8 已知向量 a 8, 2, b 3,3, c 6,12, p 6,4,問是否存在實數(shù) x y z 同時滿意兩個條件： 1 p xa yb

10、 zc ;2 x y z 1？假如存在, 求出 x y z 的值； 假如不存在, 請說明理由 . 解：假設(shè)滿意條件的實數(shù)x y z存在,就有8x3 y6z6,解之得：x1 , 21 , 32x3y12 z4,yxyz1.z1 . 6滿意條件的實數(shù)x1,y1,名師精編優(yōu)秀教案z1. 236課堂小結(jié)（1）懂得平面對量的坐標的概念；（2）把握平面對量的坐標運算；（3）會依據(jù)向量的坐標,判定向量是否共線 . 作業(yè)見同步練習(xí)拓展提升1. 設(shè) 1e , e是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,不能以下各組向量中作為基底的是（）A. 1e ,e B. 1e + e,e C. e, 2 e D. 1e ,1e + e

11、 22. 設(shè) 1e , e 是同一平面內(nèi)全部向量的一組基底,就以下各組向量中,不能作為基底的是（）A. 1e + e 和 e -e B. 3 1e -2 e 和 4 1e -6 e 2C. 1e +2 e 和 2 e + e D. 1e + e 和 e 23. 已知 1e , 2e 不共線, a = 1 e+ e,b=4 1e +2 e,并且a,b共線,就以下各式正確的是（）A. 1=1, B. 1=2, C. 1=3, D. 1=4 4. 設(shè) AB = a+5 b , BC =-2 a +8b , CD =3 a -3 b ,那么以下各組的點中三點肯定共線的是（）A,C, D C. A,B,

12、D D. ,A. A ,B,C B. 以下說法中,正確選項（）一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)全部向量的基底；一個平面內(nèi)有很多多對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)全部向量的基底；零向量不行作為基底中的向量 . 已知 1e , 2e 是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,那么以下兩個結(jié)論中正確選項（）1e+2e（1,名師精編優(yōu)秀教案2為實數(shù)）可以表示該平面內(nèi)全部向量；如有實數(shù) 1,2使 1 1e + 2 e0,就 12 . 以上都不對已知 的邊上的中線,如 AB a , AC b ,就 AM （）1 （ a b ）1 （ a b ）2 21 （ a b ）1 （ a b ）2 2已知是正六邊形,AB a , AE b ,就 BC （）1 （ a b ）1 （ a b ）2 2 a 1 b 1 （ a b ）2 2假如 1e + ea, e+ eb,其中a,b為