2022年人教A版數(shù)學(xué)必修四23《平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示》Word教案

1、名師精編 優(yōu)秀教案2.3 平面對(duì)量的基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】1明白平面對(duì)量基本定理；2懂得平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示,初步把握應(yīng)用向量解決 實(shí)際問題的重要思想方法；3能夠在詳細(xì)問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來表達(dá) . 【導(dǎo)入新課】復(fù)習(xí)引入：1 實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù) 與向量 a 的積是一個(gè)向量,記作： a .（1）| a |=| | a | ；（2） 0 時(shí), a 與a方向相同； 0 時(shí), a 與 a 方向相反； =0 時(shí), a =0. 2運(yùn)算定律結(jié)合律： a = a；安排律： + a = a + a , a +b = a + b . 3. 向量

2、共線定理向量 b 與非零向量 a 共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù) 新授課階段 ,使 b = a . 一、平面對(duì)量基本定理：假如 1e,e 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 a ,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1, 2 使 a = 1 1e + 2 e . 探究：1 我們把不共線向量 、叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底；2 基底不惟一,關(guān)鍵是不共線；3 由定理可將任一向量 a 在給出基底 、的條件下進(jìn)行分解；4 基底給定時(shí),分解形式惟一 . 1, 2 是被 a,1e,e 唯獨(dú)確定的數(shù)量 . 二、平面對(duì)量的坐標(biāo)表示如圖,在直角坐標(biāo)系內(nèi),我們分別取與 x 軸、 y 軸方向相

3、同的兩個(gè)單位向量、j 作為基底 .任作一個(gè)向量 a ,由平面對(duì)量基本定理知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) x 、 y ,使得axiyj 11名師精編優(yōu)秀教案我們把x,y 叫做向量 a 的（直角）坐標(biāo),記作ax,y 22其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo), y 叫做a在 y 軸上的坐標(biāo), 22式叫做向量的坐標(biāo)表示. 與a 相等的向量的坐標(biāo)也為x,y. y也特殊地,i 0,1,j0 1, ,00 ,0. 如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OAa,就點(diǎn) A的位置由 a 唯獨(dú)確定 . 設(shè)OAxiyj,就向量 OA 的坐標(biāo)x,y就是點(diǎn) A 的坐標(biāo)；反過來,點(diǎn)A的坐標(biāo)x,就是向量 OA 的坐標(biāo) . 因此,在平面直角坐標(biāo)

4、系內(nèi),每一個(gè)平面對(duì)量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示 . 三、平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）如 a x 1y 1 ,b x 2y 2 ,就 a b x 1 x 2 , y 1 y 2 ,a b x 1 x 2 , y 1 y 2 . 兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差 . 設(shè)基底為、j ,就 a b x 1 i y 1 j x 2 i y 2 j x 1 x 2 i y 1 y 2 j,即a b x 1 x 2 , y 1 y 2 ,同理可得 a b x 1 x 2 , y 1 y 2 .（2）如 A x 1y 1 ,B x 2y 2 ,就 AB x 2 x 1 , y 2 y 1 .

5、 一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo) . AB =OB OA = x 2,y 2 -x 1,y 1= x 2 x 1, y2 y 1. （3）如 a x , y 和實(shí)數(shù),就 a x , y . 實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原先向量的相應(yīng)坐標(biāo) . 設(shè)基底為、j ,就 a xi yj xi yj,即 a x , y . 例 1 已知 Ax 1, y1 ,Bx 2,y 2 ,求 AB 的坐標(biāo) . 例 2 已知 a =2 ,1 , b =-3 ,4 ,求 a +b , a - b ,3a+4 b 的坐標(biāo) . 名師精編 優(yōu)秀教案例 3 已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 點(diǎn)構(gòu)

6、成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn) . A 2, 1 ,B 1,3 , C3 ,4 ,求點(diǎn) D的坐標(biāo)使這四解：當(dāng)平行四邊形為 ABCD時(shí),由 AB DC,得 D1=2 ,2. 當(dāng)平行四邊形為 ACDB時(shí),得 D2=4 ,6 ,當(dāng)平行四邊形為 DACB時(shí),得 D3= 6,0. 例 4 已知三個(gè)力 F 3 ,4 ,F 2 , 5 ,F x ,y 的合力 F + F + F =0,求 F 的坐標(biāo) . 解：由題設(shè) F + F + F =0 ,得： 3 , 4+ 2 , 5+x ,y=0 ,0 ,3 2 x 0, x 5,即：F 5,1. 4 5 y 0, y 1.例 5 已知 a=2,1, b = 3,4, 求 a

7、 b , a b ,3a 4b 的坐標(biāo) . 解： a b （ 2,1 ）+（-3,4 ）= 1,5 ,a b （ 2,1 ）- （-3,4 ）=5 , 3 ,3a4b 3（2,1 ）+4（-3,4 ）=（6,3 ）+（ -12,16 ）=6,19. 點(diǎn)評(píng)：利用平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算法就直接求解 . 例 6 已知平行四邊形 ABCD的三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2 ,1）、（-1 ,3）（3,4）,求頂點(diǎn) D的坐標(biāo) . 解：設(shè)點(diǎn) D的坐標(biāo)為（ x,y ）, AB 1,3 2,11,2,y,DC3,4 , 3x ,4且ABDC,1,23x,4y.即 3- x=1,4-y=2. 解得 x=2,y

8、=2. 所以頂點(diǎn) D的坐標(biāo)為（ 2, 2）. 另解：由平行四邊形法就可得BDBABC33 1,43 2 1,13, 1,ODOBBD名師精編優(yōu)秀教案 1,3 3, 12, 2.例 7 經(jīng)過點(diǎn)M 2,3的直線分別交x 軸、 y 軸于點(diǎn)A B ,且 |AB| 3|AM|,求點(diǎn)A B 的坐標(biāo). 解：由題設(shè)知,A B M 三點(diǎn)共線,且 | AB | 3| AM |,設(shè) A x ,0, B 0, y ,點(diǎn) M 在 A B 之間,就有 AB 3 AM , x y 3 2 x ,3 . 解之得：x 3, y 3,點(diǎn) A B 的坐標(biāo)分別為 3,0,0,3 . 點(diǎn) M 不在 A B 之間,就有 AB 3 AM

9、,同理,可求得點(diǎn) A B 的坐標(biāo)分別為 3,0,20, 9 . 綜上,點(diǎn) A B 的坐標(biāo)分別為 3,0,0,3 或 3,0, 0, 9 . 2例 8. 已知三點(diǎn) A 2,3, B 5,4, C 7,10,如 AM AB AC,試求實(shí)數(shù) 的取值范疇, 使 M落在第四象限 . 解：設(shè)點(diǎn) M x y , ,由題設(shè)得 x 2, y 3 3 , 5,7 3 5, 7,x 3 3, y 4,要使 M 落在第四象限,就 x 3 3 0, y 4 0,解之得 1 4. 例 8 已知向量 a 8, 2, b 3,3, c 6,12, p 6,4,問是否存在實(shí)數(shù) x y z 同時(shí)滿意兩個(gè)條件： 1 p xa yb

10、 zc ;2 x y z 1？假如存在, 求出 x y z 的值； 假如不存在, 請(qǐng)說明理由 . 解：假設(shè)滿意條件的實(shí)數(shù)x y z存在,就有8x3 y6z6,解之得：x1 , 21 , 32x3y12 z4,yxyz1.z1 . 6滿意條件的實(shí)數(shù)x1,y1,名師精編優(yōu)秀教案z1. 236課堂小結(jié)（1）懂得平面對(duì)量的坐標(biāo)的概念；（2）把握平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）會(huì)依據(jù)向量的坐標(biāo),判定向量是否共線 . 作業(yè)見同步練習(xí)拓展提升1. 設(shè) 1e , e是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,不能以下各組向量中作為基底的是（）A. 1e ,e B. 1e + e,e C. e, 2 e D. 1e ,1e + e

11、 22. 設(shè) 1e , e 是同一平面內(nèi)全部向量的一組基底,就以下各組向量中,不能作為基底的是（）A. 1e + e 和 e -e B. 3 1e -2 e 和 4 1e -6 e 2C. 1e +2 e 和 2 e + e D. 1e + e 和 e 23. 已知 1e , 2e 不共線, a = 1 e+ e,b=4 1e +2 e,并且a,b共線,就以下各式正確的是（）A. 1=1, B. 1=2, C. 1=3, D. 1=4 4. 設(shè) AB = a+5 b , BC =-2 a +8b , CD =3 a -3 b ,那么以下各組的點(diǎn)中三點(diǎn)肯定共線的是（）A,C, D C. A,B,

12、D D. ,A. A ,B,C B. 以下說法中,正確選項(xiàng)（）一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)全部向量的基底；一個(gè)平面內(nèi)有很多多對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)全部向量的基底；零向量不行作為基底中的向量 . 已知 1e , 2e 是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么以下兩個(gè)結(jié)論中正確選項(xiàng)（）1e+2e（1,名師精編優(yōu)秀教案2為實(shí)數(shù)）可以表示該平面內(nèi)全部向量；如有實(shí)數(shù) 1,2使 1 1e + 2 e0,就 12 . 以上都不對(duì)已知 的邊上的中線,如 AB a , AC b ,就 AM （）1 （ a b ）1 （ a b ）2 21 （ a b ）1 （ a b ）2 2已知是正六邊形,AB a , AE b ,就 BC （）1 （ a b ）1 （ a b ）2 2 a 1 b 1 （ a b ）2 2假如 1e + ea, e+ eb,其中a,b為