2022屆安徽省合肥市第八中學(xué)高三下學(xué)期高考最后一卷數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 20 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 20 頁2022屆安徽省合肥市第八中學(xué)高三下學(xué)期高考最后一卷數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍是（）ABCD【答案】A【分析】復(fù)數(shù)z滿足，表示橢圓，求出它的長半軸長，短半軸長，可以利用的幾何意義求出它的范圍.【詳解】復(fù)數(shù)表示復(fù)平面上的點(diǎn)z到和的距離之和是4的軌跡是橢圓，則，的幾何意義是復(fù)平面上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，所以.故選：A.2已知集合，則（）ABCD【答案】C【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合

2、.【詳解】因?yàn)椋瑒t，由可得，解得，則，因此，.故選：C.3函數(shù)的部分圖象大致為（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、結(jié)合余弦函數(shù)的正負(fù)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以該函?shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，顯然排除AD；當(dāng)時(shí)，所以，排除C，故選：B4直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則斜率k的取值范圍是（）ABCD【答案】A【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元，分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)只需，解得即可；【詳解】解：聯(lián)立直線和雙曲線：，消去得，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)方程為，解得，此時(shí)直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，此時(shí)，解得或，所以時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)；故選：A5如圖是相關(guān)變量，的散點(diǎn)圖，現(xiàn)對這兩個(gè)變量進(jìn)

3、行線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)為；方案二：剔除點(diǎn)，根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸直線方程，相關(guān)系數(shù)為則（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)正負(fù)相關(guān)性的性質(zhì)，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)相關(guān)變量，的的散點(diǎn)圖知，變量，的具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，且點(diǎn)是離群值；方案一中，沒剔除離群值，線性相關(guān)性弱些，成負(fù)相關(guān)；方案二中，剔除離群值，線性相關(guān)性強(qiáng)些，也是負(fù)相關(guān)；所以相關(guān)系數(shù)故選：D6下列四個(gè)命題，真命題的個(gè)數(shù)為（）（1）如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于該平面；（2）過空間一定點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直；（3）平行于同一個(gè)平面的兩條

4、直線平行；（4）a與b為空間中的兩條異面直線，點(diǎn)A不在直線a，b上，則過點(diǎn)A有且僅有一個(gè)平面與直線a，b都平行A0B1C2D3【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直的定義即可判斷命題(1)；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷命題(2)；根據(jù)空間中線面的位置關(guān)系即可判斷命題(3)；結(jié)合圖形即可判斷命題(4).【詳解】命題(1)：由直線垂直平面的定義可知，若直線垂直于一個(gè)平面的任意直線，則該直線垂直于該平面，故命題(1)錯誤；命題(2)：由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可知，過空間一定點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，故命題(2)正確；命題(3)：平行于同一個(gè)平面的兩條直線，可能平行，可能相交，也可能異面，故命題(

5、3)錯誤；命題(4)：如圖，當(dāng)點(diǎn)A在如圖上底面時(shí)，不存在平面同時(shí)平行于直線a、b；點(diǎn)A不在異面直線a、b上，若點(diǎn)A在直線a、b之間，則可以確定一個(gè)平面同時(shí)平行于直線a、b；若點(diǎn)A在直線a、b的外側(cè)，也可以確定一個(gè)平面同時(shí)平行于直線a、b，故命題(4)錯誤.故選：B.7已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）ABCD【答案】B【分析】由的范圍，求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，若，即，必有，令，則，設(shè)，則函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)，又由于，必有，即的取值范圍是，故選：B.8已知曲線，等邊三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B在E上，頂點(diǎn)C在E外，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段長的

6、最大值為（）A3BCD2【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式以及垂徑定理可以得到OC的長度公式，再根據(jù)公式即可求得最大值【詳解】設(shè)圓心到直線AB的距離為d則令， 由可得，所以在上為增函數(shù)由可得，所以在上為減函數(shù)所以故選：D9在的二項(xiàng)展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A20B21C18D16【答案】B【分析】把看作一項(xiàng)，寫出的展開式的通項(xiàng)，再寫出的展開式的通項(xiàng)，由的指數(shù)為4求得、的值，即可得出結(jié)果.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為的展開式的通項(xiàng)為由，得，或，在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為故選：B10已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A1BCD【答案】B【分析】由可得，將都用表示出來，即可得出答案.【詳解】因?yàn)闉?/p>

7、等差數(shù)列，所以，則，所以，所以故選：B.11平行六面體中，則與底面所成的線面角的正弦值是（）ABCD【答案】A【分析】連接，相交于點(diǎn)，依題意可得平面，從而得到平面平面，則是與底面所成角，利用銳角三角函數(shù)求出，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量法求出線面角的正弦值【詳解】解：如圖所示，連接，相交于點(diǎn)，連接平行六面體中，且，不妨令，都是等邊三角形是等邊三角形，平面平面，平面，平面平面，是與底面所成角因?yàn)?，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，其中的坐標(biāo)計(jì)算如下，過 作交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樗裕?，顯然平面的法向量為，設(shè)與底面所成的角為，則故選：A12已知

8、在中，若與的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，的外接圓半徑為，則面積的最大值為（）ABCD【答案】C【分析】由正弦定理結(jié)合已知條件可求得，可得出，再利用等面積法可得出內(nèi)切圓半徑的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式可求得面積的最大值.【詳解】由及正弦定理可得，所以，則，所以，所以，的外接圓直徑為，設(shè)內(nèi)角、的對邊分別記為、，則，所以，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，因此，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，面積的最大值為.故選：C.二、填空題13已知向量滿足，則_【答案】3【分析】由，得，兩邊平方化簡可得答案【詳解】由，得，兩邊平方，得，因?yàn)椋?，?故答案為：.14已知曲線，過點(diǎn)作C的切線，切點(diǎn)為B，過點(diǎn)B作切線的垂線交

9、軸于點(diǎn)，則的面積為_【答案】4【分析】分別算出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用面積公式求解.【詳解】由對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，代入切線方程得所以，點(diǎn)處切線的垂線方程為，令，得，所以，所以.故答案為：4.15若曲線與曲線存在2條公共切線，則a的值是_【答案】【分析】設(shè)公切線在上的切點(diǎn)為，在上的切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出對應(yīng)的切線方程，有，整理得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合圖像即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)公切線在上的切點(diǎn)為，在上的切點(diǎn)為，則曲線在切點(diǎn)的切線方程的斜率分別為，對應(yīng)的切線方程分別為、，即、，所以，得，有，則，整理，得，設(shè)，則，令，令或，所以函數(shù)在上單

10、調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，因?yàn)閮蓷l曲線有2條公共切線，所以函數(shù)與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，又，且，如圖，所以，解得.故答案為：.16已知隨機(jī)變量X的分布列為：X1234Pp其中，隨機(jī)變量X的期望為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，_【答案】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的均值計(jì)算公式可得，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得，令，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值，即當(dāng)時(shí)取得最小值.故答案為：.三、解答題17已知函數(shù)，(1)求的解析式，并求其單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若在區(qū)間上的根按從小到大的順序依次記為求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)平面向量數(shù)

11、量積的坐標(biāo)表示、三角恒等變換和輔助角公式計(jì)算求出的解析式，結(jié)合整體代換法即可求出函數(shù)的增區(qū)間；(2)令求出x的值，進(jìn)而得出數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)求和法計(jì)算即可.【詳解】(1)由題意得，則，解得Z)，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為Z，(2)由，得，有或Z，解得或，Z，得方程的根從小到大排列依次為，所以則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，綜上，.18第13屆女排世界杯共有12支參賽隊(duì)伍本次比賽啟用了新的排球用球MIKSA-V200W，已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)（單位：g）服從正態(tài)分布比賽賽制采取

12、單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場比賽（每場比賽采取五局三勝制）最后靠積分選出最后冠軍，積分規(guī)則如下：比賽中以30或31取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；以32取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分已知中國隊(duì)的第7場比賽對陣美國隊(duì)，設(shè)每局中國隊(duì)取勝的概率為(1)如果比賽準(zhǔn)備了1000個(gè)排球，估計(jì)質(zhì)量指標(biāo)在內(nèi)的排球個(gè)數(shù)（計(jì)算結(jié)果四舍五入取整數(shù)）(2)第7場比賽中，記中國隊(duì)31取勝的概率為求出的最大值點(diǎn)；若以作為p的值，在第10場比賽中，中國隊(duì)所得積分為X，求X的分布列參考數(shù)據(jù)：，則【答案】(1)(2)；分布列見解析；【分析】（1）根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求出，從而估計(jì)出數(shù)量；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布先求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出取

13、得最大值時(shí) 的值；根據(jù)比賽積分規(guī)則，得出中國隊(duì)得分可能的取值，然后求出分布列.【詳解】(1)解：因?yàn)?，則，所以質(zhì)量指標(biāo)在內(nèi)的排球個(gè)數(shù)約個(gè)；(2)解：前三場贏兩場，第四場必贏，則，令，得或（舍去），當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以的最大值點(diǎn)可能取的值為0、1、2、3，當(dāng)時(shí)，前三均全贏，或者前三場贏兩場，第四場必贏，故，當(dāng)時(shí)，前四場贏兩場，第五場必贏，故，當(dāng)時(shí)，前四場贏兩場，第五場必輸，故，當(dāng)時(shí)，前三場全輸，或者前三場贏一場，第四場必輸，故，所以的分布列為：321019四棱錐中，底面是邊長為的正方形，點(diǎn)P在底面的射影為點(diǎn)O，且，點(diǎn)M是的中點(diǎn)(1)求證：；(2)在線段上，是否存在點(diǎn)N，使

14、二面角的余弦值為？若存在，請確定點(diǎn)N的位置，若不存在，請說明理由【答案】(1)證明見解析;(2)在線段上存在點(diǎn)N，且N是線段靠近的一個(gè)三等分點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)線面垂直及勾股定理的逆定理，再利用直角三角形斜邊的中線定理及線面垂直的判定定即可求解； （2）根據(jù)（1）建立空間直角坐標(biāo)系，得出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面和平面的法向量，再利用向量的夾角公式，進(jìn)而可以求出二面角的余弦值，再結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】(1)連接，因?yàn)槠矫妫矫? 平面，所以.又，所以.又，所以為等腰直角三角形.設(shè)與交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，又點(diǎn)M是的中點(diǎn)，底面為正方形，所以,又平面，平面,所以,又，所以平面，平面,所以(

15、2)由（1）知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在方向?yàn)檩S，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在點(diǎn)N在線段上滿足條件，設(shè)，則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，設(shè)二面角所成角為，則.因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋?，化簡得，解得或（舍?所以在線段上存在點(diǎn)N，且N是線段靠近的一個(gè)三等分點(diǎn).20已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)，若，求證：為定值【答案】(1)；(2)證明過程見解析；【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，

16、根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合共線向量的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，所以有；(2)證明：設(shè)直線方程為，由，聯(lián)立消x得，所以，由題意知，均不為設(shè)，由，A三點(diǎn)共線知與共線，所以，化簡得；由，三點(diǎn)共線，同理可得；由，得，即；由，同理可得；所以，所以為定值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21設(shè)函數(shù)(1)討論的單調(diào)性;(2)若，求證：【答案】(1)單調(diào)性見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)可得，再和兩種大情況討論，在時(shí)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的兩根的大小關(guān)系討論分析即可；（2）整理所證不等式為，再根據(jù)（1）結(jié)論得出，再構(gòu)造證明即可【詳解】(1)由

17、題，當(dāng)時(shí)，令則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令則，：當(dāng)，即時(shí)，在當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減； 當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，在當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)由題，即證，即，得. 由（1）可得當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.設(shè)，則，故在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增.故，即，故，故即得證【點(diǎn)睛】本題主要考查了求導(dǎo)分類討論分析函數(shù)單調(diào)性的問題，同時(shí)也考查了構(gòu)造函數(shù)證明不等式的問題，需要聯(lián)系前問的結(jié)論化簡不等式再證明，屬于難

18、題22在平面直角坐標(biāo)系中,曲線過點(diǎn),其參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），以為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；已知曲線和曲線交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值【答案】（1）,；（2）或.【分析】(1)直接消參得到曲線C1的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化的公式求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）把曲線C1的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程代入曲線C2的直角坐標(biāo)方程利用直線參數(shù)方程t的幾何意義解答.【詳解】C1的參數(shù)方程為消參得普通方程為xya10，C2的極坐標(biāo)方程為cos24cos0，兩邊同乘得2cos24cos20，得y24x所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y24x(2)曲線C1的參數(shù)方程可轉(zhuǎn)化為(t為參數(shù)，aR)，代入曲線C2：y24x，得14a0，由，得a0，設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，由|PA|2|PB|得|t1|2|t2|，即t12t2或t12t2，當(dāng)t12t2時(shí)，解