最全的天體做橢圓運動的解題方法和技巧

1、第 頁共3頁天體做橢圓運動的解題方法和技巧張阿兵必備的理論知識1GMm（1）機械能守恒定律：運動天體的動能E=牙m(xù)v2，引力勢能E=-（選無窮遠處為勢能零點，M為中心天體的質量）。k2pr不管運動天體繞中心天體做勻速圓周運動還是橢圓運動，運動過程中這兩項能量的總和保持不變。（2）動量守恒定律：常在運動天體變軌問題中用到，如沿運動方向噴出一定質量的氣體。噴氣前后系統(tǒng)動量守恒。（3）角動量守恒定律：角動量也可稱動量矩，質量為m的物體繞某點0轉動時，在離該點距離r處的角動量大小是L二rnvrsin申，其中申是速度與矢徑r的夾角。在天體的運動軌道上（一般用于橢圓軌道，因為圓周運動不必要這樣處理）任選兩

2、個位置角動量相等。注意：考慮到高中不涉及角動量守恒定律，所以該條用開普勒第二定律代替。（4）開普勒三定律：第一定律：所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運動，太陽在這些橢圓的一個焦點上。第二定律：太陽和行星的連線在相等的時間內掃過的面積相等。（等同于角動量守恒）第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的平方的比值都相等。（5）認識橢圓如圖：橢圓面積s=兀ab天體做橢圓運動時最常用的機械能守恒和開普勒第二定律（角動量守恒）的方程組（最好能熟練求解）應用：例1:關于近地點和遠地點速度的求解：GMm1GMm解法1（能量法）：機械能守恒有：廳加叩=廳mv221a-c22a+c開普勒

3、第二定律：在近日點、遠日點附近取極短時間At，太陽和行星的連線在相等的時間內掃過的面積相等，如圖中陰影部分。根據(jù)開普勒第二定律，這兩部分面積相等：2*At.V（a-c）=*At-v2（a+c）（V為近日點速度，v2為遠日點速度）（由于AtT0所以，這兩部分可視為扇形）聯(lián)立得:(a+c)GMv=1(a-c)a(a-c)GM(a+c)a解法2（軌跡方程法）：該解法的指導思想是對橢圓的軌跡方程求導,并結合一般曲線的曲率半徑通式求出近日點和遠日點的曲率半徑表達式，然后利用萬有引力提供向心力列方程求解.如圖1所示，橢圓的軌跡方程為蘭+丈_=1Mfl;r式孌檢為“寸=屮仇根據(jù)隱函建的求導法對止求導有即.白

4、*再次對里求辱礙2aK4-2isy0.根據(jù)曲率半袂公式1=O1產掙1J在AM熾點H星運行逵境方向與萬冇引山方向垂直.萬有引力貝政變速度方向，并不改變建度大小，戰(zhàn)分別根抵萬有引力提供向心力得tn碼佃一沖Re*聯(lián)立可得n拓展:GMm2r開普勒第二定律：嘰sin忙fsin出例：2:地球繞太陽做橢圓運動，已知軌道半長軸為a,半短軸為b,GMm1GMm解：對于頂點,2有：Am=2=-mv221ac22a+cv(a一c)=v(a+c)12試求地球在橢圓軌道各頂點處的速度大小。設太陽的質量為M對于頂點1,3有：V1(a一c)二叩橢圓軌道周期的兩種常用計算方法(1)找一個勻速圓周運動(繞同一中心天體)與之比較

5、，應用開普勒第三定律求解。(2)應用開普勒第二定律，利用面積速度和橢圓面積公式根據(jù)能量判斷軌道特點的辦法總機械能已0,應該是橢圓軌道：總機械能E0,應該是雙曲線軌道；總機械能E=0，應該是拋物線軌道。例3：飛船沿半徑為R的圓周繞地球運動，其周期為T。若飛船要返回地面,可在軌道上的某一點A處將速率降低到適當數(shù)值,從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運動，橢圓與地球表面在B點相切，如圖1所示。若地球半徑為R,求飛船由A點到B點所需要的0時間。解析:圓軌道是離心率為零的特殊的橢圓軌道。飛船繞地球做圓周運動時，有:R=k設飛船橢圓軌道的半長軸為a,運行周期a3為T，則有=k，0T20從圖中有:)3所以

6、:解得：T0巴(汽)3R32T(R+R)T則飛船從A到B用時:t=024R0例4：空間站和宇宙飛船對接在一起以半徑R繞地球做圓周運動,某時刻飛船在A處脫離空間站，并沿原來的速度方向加速，加速后飛船進入一橢圓軌道，空間站仍在圓軌道運動。若飛船在橢圓軌道上運行一周后恰好又能在A處與運行了N圈的空間站對接。試求:飛船在橢圓軌道的遠地點的速度大小。已知地球質量為M。解析：設空間站做圓周運動的周期為T,飛船做橢圓運動的周期為T,遠地點距離地心為r。對空間站有：0TOC o 1-5 h z小Mm2兀G=m2Rco= HYPERLINK l bookmark32 o Current Document R2T由開普勒第三定律有：R3a3R+R HYPERLINK l bookmark46 o Current Document =a=0- HYPERLINK l bookmark50 o Current Document T2T220空間站的圓周運動與飛船的橢圓運動的周期關系為：NT=T0設飛船在