電磁場與電磁波課后習(xí)題及答案六章習(xí)題解答

1、第六章時變電磁場有一導(dǎo)體滑片在兩根平行的軌道上滑動，B ez 5cos t mT整個裝置位于正弦時變磁場0.35(1 cos t)m確定，軌道終端接有電阻R 0.2之中，如題圖所示?；奈恢糜蓌，試求電流i.解穿過導(dǎo)體回路abcda的磁通為BgdS ezBgezad ab 5cos t 0.2(0.7 x)cos t0.7 0.35(1 cos t) 0.35cos t(1 cos t)故感應(yīng)電流為. Ein1 dI RR dt1 C CC、/.一 c、 A-0.35 sin t(1 2cos t) 1.75 sin t(1 2cos t)mA一根半徑為a的長圓柱形介質(zhì)棒放入均勻磁場B ez

2、B0中與z軸平行。設(shè)棒以角速度 繞軸作等速旋轉(zhuǎn)，求介質(zhì)內(nèi)的極化強度、體積內(nèi)和表面上單位長度的極化電荷。解 介質(zhì)棒內(nèi)距軸線距離為 r處的感應(yīng)電場為 TOC o 1-5 h z EvBer ezB。erBo故介質(zhì)棒內(nèi)的極化強度為PXeoEer(r 1) 0rB。er(0)rBo極化電荷體密度為112p P1 (rP)1(o)r2Bor rr r2(0) Bo極化電荷面密度為p P n e( o)r Bo er r a ( 則介質(zhì)體積內(nèi)和表面上同單位長度的極化電荷分別為22 ,Qpa 1 p 2 a (o)B。2 .Qps 2 a 1 p 2 a (o)B。平行雙線傳輸線與一矩形回路共面，如題圖所示

3、。設(shè)a 0.2m、b c d 0.1m、I 1.0cos(2107t)A ,求回路中的感應(yīng)電動勢。解 由題給定的電流方向可知，雙線中的電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的方向，在回路中都 是垂直于紙面向內(nèi)的。故回路中的感應(yīng)電動勢為Ein-B dtdS - dtB左dS B右dS式中d，B右rB左dSsc 0i2 radrEin電壓oi(b c d r)0al / cln(2 bB右dSs2色 dtoiadr2 (b c d r)史ln(410 7b c. b 0.2)1.0cos(2107t),a2b2dtIn 2sin(2107t) 2107V3.484sin(2107t)V有一個環(huán)形線圈，導(dǎo)線的長度為l

4、,分別通過以直流電源供應(yīng)電壓U0和時變電源供應(yīng)U (t)。討論這兩種情況下導(dǎo)線內(nèi)的電場強度解設(shè)導(dǎo)線材料的電導(dǎo)率為,橫截面積為|S巳S,則導(dǎo)線的電阻為而環(huán)形線圈的電感為L,故電壓方程為RiLdidt當(dāng)U=U0時，電流i也為直流,didt此時導(dǎo)線內(nèi)的切向電場為UoRiIEUoldi當(dāng) U=U (t)時，dtU(t)Ri(t) LdiR E(t)SdtLjE(t)S)E(t)SdtdEdt求解此微分方程就可得到lE(t) U(t) L S L S E(t)。圓柱形電容器,內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b,長為l。設(shè)外加電壓為U0sin t,試計算電容器極板間的總位移電流，證明它等于電容器的傳導(dǎo)電流。

5、解 當(dāng)外加電壓的頻率不是很高時，圓柱形電容器兩極板間的電場分布與外加直流電 壓時的電場分布可視為相同（準(zhǔn)靜態(tài)電場），即EerU0sin tr ln (b a)故電容器兩極板間的位移電流密度為erU 0 cos tr ln (b a)C式中，id J ds2dSln (b a)2 lU 0 cos t0 r ln (b a)er errd dzU 0 cos t C U 0 cos tln（b/a）是長為l的圓柱形電容器的電容。流過電容器的傳導(dǎo)電流為可見icC U 0 cos tidic由麥克斯韋方程組出發(fā),導(dǎo)出點電荷的電場強度公式和泊松方程O解 點電荷q產(chǎn)生的電場滿足麥克斯韋方程Dd據(jù)散度定理

6、，上式即為?DsdS利用球?qū)ΨQ性，得qer 24 r故得點電荷的電場表示式er由于 E 0 ,可取E即得泊松方程(1)在直角坐標(biāo)中；(2)在圓柱坐試將麥克斯方程的微分形式寫成八個標(biāo)量方程: 標(biāo)中；(3)在球坐標(biāo)中。(1)在直角坐標(biāo)中HzyHyJx(2)DxtHxzxHzxHxyJzDztEzEyHxyztExEzHyzxtEyExHzxytBxBy上0 xyzDxDyDzyzx在圓柱坐標(biāo)中1 HzJr(3)在球坐標(biāo)系中Hr _ z1(rH r r1 EzHzr1g)r r1 (rDr) r rHrttErDztHzt1 (sin H ) r sinJr1二r sinHr)Dr t D1(rHr

7、 r1 一(sin E ) r sin11 Er-r sin7(rE)1一一(rE )21r sin(sin1r sinr sin(sinr sin已知在空氣中E ey0.1sin10 xcos(6109tz)，求H和提示：將解電場E代入直角坐標(biāo)中的波方程，可求得E應(yīng)滿足波動方程2E 02E7將已知的EeyEy代入方程，得2Ey2Ey2z2Eyt2式中,Ey2 x,Ey2 z0.1(10 )2 sin10 xcos(6109t0.1sin10 x 2 cos(6109tz)故得2Ey 0 0t20.10 0sin10 x (6z)109)2 cos(6109tz)(10 )20 0(6109)

8、2-30054.41rad/m110r0110r0Ht將上式對時間t積分,Hz11 Ey Ey一 E exez TOC o 1-5 h z 0ozx19一ex0.1 sin10 xsin(6 10 t z)o9ez0.1 10 cos10 xcos(6 109tz)得19,9 ex0.1sin10 xcos(610 t0 61099 ,、e cos10 xsin(610 tz)ex2.3 10 4sin10 xcos(6109t 54.41z)4ez1.33 10 cos10 xsin(69109t 54.41z)A/m已知自由空間中球面波的電場為E e E0sin cos( t kr) r求

9、H和k。解可以和前題一樣將E代入波動方程來確定k也可以直接由麥克斯韋方程求與E相伴的磁場Ho較，即可確定由而此磁場又要產(chǎn)生與之相伴的電場，同樣據(jù)麥克斯韋方程求得。將兩個電場比k的值。兩種方法本質(zhì)上是一樣的。將上式對時間t積分,e(rE ) r re0rke E0sin0rEo sin rcos( tkr)0rsin(E0 sinkr)cos(kr)(1)將式（1）代入工er02_.r sin(r siner2kE02 cos( t kr) 0rr sin k2E0 sin一 (r sin H ) rsin( t kr)(2)將上式對時間t積分，得er2kE，sin( t kr) e rk2E0

10、-sin cos( t kr) r(2)將已知的Esin cos( t kr) r與式（2）比較，可得2k0 0,即1-2含r項的Er分量應(yīng)略去，且k將k V 0 0代入式（1）,得H試推導(dǎo)在線性、無損耗、各向同性的非均勻媒質(zhì)中用E和B表布麥克斯韋方程。解注意到非均勻媒質(zhì)的參數(shù),是空間坐標(biāo)的函數(shù)，因此(B)J)12E)DJt因此，麥克斯韋第一方程變?yōu)镋)故麥克斯韋第四方程變?yōu)?則在非均勻媒質(zhì)中，用E和B表示的麥克斯韋方程組為寫出在空氣和的理想磁介質(zhì)之間分界面上的邊界條件O解空氣和理想導(dǎo)體分界面的邊界條件 為n H Js根據(jù)電磁對偶原理，采用以下對偶形式E Js Jms即可得到空氣和理想磁介質(zhì)分

11、界面上的邊界條 件n E Jms式中，Jms為表面磁流密度。提出推導(dǎo)n hi J的詳細(xì)步驟。解如題圖所示，設(shè)第2區(qū)為理想導(dǎo)體（2）。在分界面上取閉合路徑abcda,ab cdl, bcda0o對該閉合路徑應(yīng)用麥克斯韋第一方程可得dldlddl HcdlaH dldH2lhm0( JSdSS*dS)(1)因為 t為有限值，故上式中一dS t而（1）式中的另一項lim J dSh 0S為閉合路徑所包圍的傳導(dǎo)電流。 的繞行方向成右手螺旋關(guān)系）取 N為閉合路徑所圍面積的單位矢量（其指向與閉合路徑 ,則有l(wèi)im J dS Js N l h 0sSl (Nn) l故式（1）可表示為(Hi H2)(N n)

12、 l Js N l應(yīng)用矢量運算公式A (B C) (C A) B，式(2)變?yōu)閚 Hi H2 N Js N故得n (Hi H2) Js由于理想導(dǎo)體的電導(dǎo)率2,故必有E2 0，H2 0,故式(3)變?yōu)閚 Hi Js(3)在由理想導(dǎo)電壁()限定的區(qū)域0 x a內(nèi)存在一個由以下各式表示的電磁場：a xEy H0( )sin()sin(kz t)aa xHx H0k()sin( 一)sin( kz t)axHz H 0 cos()cos(kzt)a這個電磁場滿足的邊界條件如何導(dǎo)電壁上的電流密度的 值如何 解 如題圖所示，應(yīng)用理想導(dǎo)體的邊界條件可以得出Ey0, Hx 0在x=0處，yHz H0cos(k

13、z t)入 EEv0,HX 0在x=a處，y xHz H0cos(kz t)上述結(jié)果表明，在理想導(dǎo)體的表面，不存在電場的切向分量Ey和磁場的法向分量 Hx。另外，在x=0的表面上，電流密度為Js n H |x0 ex (exHx ezHz”0ex ez H z x 0在x=a的表面上，電流密度則為Jsn H |x a ex ez H zeyH 0 cos(kzt)(ex H x ez H z ) |x aeyH0cos(kzt)海水的電導(dǎo)率 4S/m ,在頻率f=1GHz時的相對介電常數(shù) r 81。如果把海水視為 一等效的電介質(zhì)，寫出 H的微分方程。對于良導(dǎo)體，例如銅， r 1,5.7 10

14、S/m,比較在f=1GHz時的位移電流和傳導(dǎo)電流的幅度?？梢钥闯?，即使在微波頻率下，良導(dǎo)體中的 位移電流也是可以忽略的。寫出H的微分方程。解對于海水，H的微分方程為H J j D E j E j ( j-)Ec即把海水視為等效介電常數(shù)為j 一的電介質(zhì)。代入給定的參數(shù)，得(2)(2)E j2j(4.5對于銅，傳導(dǎo)電流的幅度為 之比為910910 (81 -36j4)E (4)Ej4.5)E位移電流的幅度E。故位移電流與傳導(dǎo)電流的幅度2 f 1095.761079.75 1013 fH的微分方程可見，即使在微波頻率下，銅中的位移電流也是可以忽略不計的。故對于銅, 為H E 5.7 107E計算題中

15、的能流密度矢量和平均能流密度矢量。解瞬時能流密度矢量為S E HeyEy (exHx Hz) e*EyHz ezEyHxexHoa x xsin()cos()sin( kz t )cos( kz t) a aezH2a 22 X 2k() sin ()sin (kz t)a12ex- H02ez ； H；2a x xsin()cos()sin 2(kz t) a ak()2sin 2(x)1 cos2(kz t)a為求平均能流密度矢量，先將電磁場各個分量寫成復(fù)數(shù)形式Eya xH0(-)sm()eajkz j-2HxHzax jkz j_Hk(一)sin(一)e2aH0 cos(-x)e jkz

16、a故平均能流密度矢量為c 1Sav -ReE H *212ReexH021*-ReexEyH zsin()cos(ezHoaa 22 xk(-) sin (一)* - ez EyHx x j5一)e 2 a12 a 22 xezH0 k(-) sin ()2a寫出存在電荷 和電流密度J的無損耗媒質(zhì)中E和H的波動方程。解存在外加源 和J時，麥克斯韋方程組為E(1)H J 一tH 0(3)H 0(3)(4)對式（1）兩邊取旋度，得H J -( E)而 2H ( H ) H 故（H2HJ （ E）t將式（2）和式（3）代入式（5）,得2H上 JriJjt這就是H的波動方程，是二階非齊次方程。同樣，對

17、式（2）兩邊取旋度，得(5)（E2E-（ H將式（1）和式（4）代入式（6）,得2 匚2EJ 1下 7 一 此即E滿足的波動方程。對于正弦時變場，可采用復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程表示H J j EE j HH 0E 一對式（7）兩邊取旋度，得H J j E 利用矢量恒等式2H （ H H 得（H 2H J j E將式（8）和式（9）代入式（11）,得2H + 2 H J此即H滿足的微分方程，稱為非齊次亥姆霍茲方程。同樣，對式（8）兩邊取旋度，得EjH即（E 2HjH(6)(11)(12)將式（7）和式（10）代入式（12）,得將式（7）和式（10）代入式（12）,得2212e+ 2E j J -此

18、即E滿足的微分方程，亦稱非齊次亥姆霍茲方程。在應(yīng)用電磁位時，如果不采用洛倫茲條件，而采用所謂的庫侖規(guī)范，令 試導(dǎo)出A和 所滿足的微分方程。解將電磁矢量位A的關(guān)系式和電磁標(biāo)量位的關(guān)系式代入麥克斯韋第一方程A)利用矢量恒等式A)2a =又由A)(1)(2)按庫侖規(guī)范，令0 ,將其代入式（1）和式（2）得2A2A t2(3)(4)式（3）和式（4）就是采用庫侖規(guī)范時，電磁場A和所滿足的微分方程。設(shè)電場強度和磁場強度分別為EEo cos（ tH證明其坡印廷矢量的平均值為H 0 cos( te)m)0H 0 COS( e m)0H 0 COS( e m)Sav2E解坡印廷矢量的瞬時值為E0 cose)Hcos( tm)1e21e2故平均坡印廷矢量為Savt1H ocos(m) COS t et mH 0cos(2 tTSdt0m)cos( e m)T 10 2E0 H ocos(2e m) COS( em)dt2EoH 0 COS( em)證明在無源空間（JD0,0）,可以引入一個矢量位 Am和標(biāo)量位 m ,定義為Am試推導(dǎo)Am和m的微分方程。解 無源空間的麥克斯韋方程組為(1)據(jù)矢量恒等式A 0和式D（4）,知D可表示為一個矢量的旋度，故令A(yù)m(5)將式（5）代入式（1）,得：(Am)(6)根據(jù)矢量恒等式cH0和式(6),知AmAmt可表示