圓中常用的輔助線作法

1、 專題訓(xùn)練圓中常用的輔助線作法?作法一作半徑或直徑作半徑（或直徑）：構(gòu)造等腰三角形或直角三角形如圖9-ZT3,ABC是OO的內(nèi)接三角形，/C=30,OO的半徑為5,若點(diǎn)P是OO上的一點(diǎn)，在厶ABP中，PB=AB,貝yPA的長為（）圖9ZT1A.52.如圖9ZT2,ABC內(nèi)接于OO,/A=60,BC=6.3,則BC的長為（）A.3.如圖2nB.4nC.8nD.9ZT3,ABC內(nèi)接于O12n23,則OO的面積為（）A.4.如圖2nB.4nC.8nD.9ZT4,ABC內(nèi)接于O12nO,5.如圖的長是A圖9ZT49ZT5,OO的半徑為6,點(diǎn)A,B,C在OO上，且/ACB=45,則弦AB連接過切點(diǎn)的半徑

2、或直徑：見切線，連切點(diǎn)，得垂直6.如圖9-ZT6,兩個(gè)同心圓的半徑分別為4cm和5cm,大圓的一條弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，則弦AB的長為（）C.6cmD.8cm7.如圖9ZT7,AB為OO的直徑，PD切OO于點(diǎn)C,交AB的延長線于點(diǎn)D,且/D=2/A.求/D的度數(shù)；若CD=2,求BD的長.圖9ZT7?作法二作弦心距：解決弦長的計(jì)算與證明問題&一條排水管的截面如圖9ZT8所示，已知排水管的半徑0A=1m,水面寬AB=1.2m,某天下雨后，水管水面上升了0.2m,則此時(shí)排水管水面寬為（）圖9ZT8A.1.4mB.1.6mC.1.8mD.2m如圖9ZT9所示，AB是OO的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P,A

3、P=2,BP=6,/APC=30,則CD的長為（）圖9ZT9A.15B.2.5C.215D.8?作法三構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角：見直徑想直角如圖9-ZT10,四邊形ABCD內(nèi)接于OO,AB為OO的直徑，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn).若/DAB=40,則/ABC=.圖9ZT10B如圖9ZT11,OO的直徑AB=12cm,C為AB延長線上一點(diǎn)，CP與OO相切于點(diǎn)P,過點(diǎn)B作弦BD/CP,連接PD.(1)求證：點(diǎn)P為BD的中點(diǎn);若/C=ZD,求四邊形BCPD的面積.圖9ZT11?作法四判定直線與圓相切(作半徑或作垂直)有交點(diǎn)？作半徑，證垂直如圖9ZT12,在RtAABC中，/ABC=90,以AB為直徑作半圓O交A

4、C于點(diǎn)D,E為BC的中點(diǎn)，連接DE.求證：DE是半圓O的切線；若/BAC=30,DE=2,求AD的長.圖9ZT12如圖9ZT13,點(diǎn)E是厶ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點(diǎn)F,交厶ABC的外接圓OO于點(diǎn)D,連接BD,過點(diǎn)D作直線DM,使/BDM=ZDAC.求證：直線DM是OO的切線.圖9ZT13,PC=4,求弦CE的長.圖9ZT14無交點(diǎn)？作垂直，證半徑如圖9ZT14,點(diǎn)O在/APB的平分線上，OO與PA相切于點(diǎn)C.求證：直線PB與OO相切；(2)PO的延長線與OO相交于點(diǎn)詳解詳析1.解析D連接OB,OA,OP,OB與AP交于點(diǎn)D.由垂徑定理的推論可知OB丄AP.運(yùn)用“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)

5、弧上的圓心角度數(shù)的一半”可知OAB為等邊三角形，再運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)可求出AP的長為53.故選D.解析B方法一：過點(diǎn)B作直徑BD，連接CD,OC,則/BCD=90v/A=60./D=/A=60/BOC=120a/DBC=30/BD=2CD.vBC=63，由勾股定理可求得CD=6,.R=6，貝U1BC=nn8nR=12080=4n故選B.方法二：連接OB,OC,過點(diǎn)O作BC的垂線OD，垂足為D，則BC=2BD.v/A=60./BOC=120/OBC=30vBC=63,.BD=33,由勾股定理，得OB=6,.R=一亠ndR120nX6丄匸、丄6，則lBC=面=他=4冗故選B解析B方法一：過點(diǎn)B

6、作直徑BD,連接CD,則/BCD=90v/A=60a/D=60，./DBC=30,.BD=2CD.vBC=23,由勾股定理可求得CD=2,.r=2,則SGO=n2=4n故選B.方法二：連接OB,OC,過O作BC的垂線OD,垂足為D,貝UBC=2BD.v/A=60./BOC=120./OBC=30,.BO=2OD.vBC=2_3,.r=OB=2,則So=n2=4n故選B.答案58解析方法一：連接OB.在厶OAB中，OA=OB,./OAB=/OBA.又v/OAB=32,1a/OBA=32./AOB=1802X32=116又v/C=寸/AOB（同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半），./C=58方法二

7、：過點(diǎn)A作直徑AD，連接BD，則/ABD=90a/C=ZD=9032=58同弧所對(duì)的圓周角相等）答案62解析C如圖，連接OC,OA.大圓的一條弦AB與小圓相切，1aOCXAB,aAC=BC=AB.在RtAOC中，OA=5cm,OC=4cm,aAC=、/OA2OC2=3cm,aAB=2AC=6cm.解：(1)連接OC.tOA=OC,a/A=/OCA,a/COD=/A+ZOCA=2/A./D=2/A,a/COD=ZD.PD與OO相切于點(diǎn)C,1aOCXPD，即/OCD=90a/D=-x90=452(2)由(1)可知/COD=ZD,aOC=CD=2.由勾股定理，得OD=,22+2=22,aBD=ODO

8、B=222.&解析B如圖，作OE丄AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，連接OC./AB=1.2m,OE丄AB,OA=1m,aAE=0.6m,aOE=0.8m.水管水面上升了0.2m,aOF=0.80.2=0.6(m),aCF=OC2OF2=0.8m,aCD=1.6m.故選B.9.解析C作OH丄CD于點(diǎn)H，連接OC,如圖,/OH丄CD,HC=HD.tAP=2,BP=6,.AB=8,.OA=4,.OP=OAAP=2.在RtOPH中，/OPH=30OH=OP=1.在RtOHC中，/OC=4,OH=1,CH=OC2OH2=15,CD=2CH=215.故選C.答案70解析連接AC，/AB為OO的直徑，/ACB=9

9、0點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，/CAB1=-ZDAB=20/ABC=70解：(1)證明：連接OP,TCP與OO相切于點(diǎn)P,OP丄CP.TBD/CP,OP丄bd,點(diǎn)p為bd的中點(diǎn).(2)連接AD,AB是直徑，/ADB=90=ZOPC.vBD/CP,/C=ZDBA.又C=ZD，/DBA=ZD,DP/BC,.四邊形BCPD是平行四邊形，DB=PC,COP=BAD(ASA),CO=AB=12cm,CB=OA=6cm.OP=6cm,CP=CO2OP2=6,3cm./BD/CP,CB=OB,PE=OE=3cm,四邊形BCPD的面積是6-,3X3=18.3(cm2).解：(1)證明：如圖，連接BD,OD,OE.AB

10、為半圓O的直徑，/ADB=ZBDC=90在RtBDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn),DE=BE.在厶OBE和厶ODE中，55 OB=OD,OE=OE,BE=DE,OBEAODE(SSS),/ODE=ZABC=90即OD丄DE.又OD是半圓O的半徑，DE是半圓O的切線.在RtABC中，/BAC=301-BC=2AC./BC=2DE=4,AC=8.又/C=90/BAC=60DE=BE=EC,DEC為等邊三角形，即DC=DE=2,AD=ACDC=6.證明：如圖，作直徑DG,連接BG.MD點(diǎn)E是厶ABC的內(nèi)心，AD平分/BAC,/BAD=/DAC./G=/BAD,/BDM=/DAC,/BDM=/G./DG為OO的直徑，/GBD=90/G+ZBDG=90,/BDM+/BDG=90即ZMDG=90直線DM是OO的切線.解：證明：過點(diǎn)O作OD丄PB于點(diǎn)D,連接OC./