判定函數(shù)單調(diào)性的幾種方法(圖文)

1、判定函數(shù)單調(diào)性的幾種方法(圖文)論文導(dǎo)讀：函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)知識(shí)應(yīng)用最廣泛也是最重要的性質(zhì)。從高中接觸函數(shù)單調(diào)性開始。我們先后學(xué)習(xí)并掌握了判定函數(shù)單調(diào)性的幾種方法。關(guān)鍵詞：函數(shù)，單調(diào)性，判定函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)知識(shí)應(yīng)用最廣泛也是最重要的性質(zhì)，從高中接觸函數(shù)單調(diào)性開始，我們先后學(xué)習(xí)并掌握了判定函數(shù)單調(diào)性的幾種方法，本文將判定函數(shù)單調(diào)性的多種方法給出，由于通過抽象函數(shù)來考察函數(shù)單調(diào)性的題目常常出現(xiàn)在各級(jí)數(shù)學(xué)試題中，這種題型比擬抽象，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，學(xué)生往往難解其意，不能溝通數(shù)學(xué)符號(hào)及數(shù)學(xué)語言之間的內(nèi)在聯(lián)系，本文也將給出幾種判定抽象函數(shù)單調(diào)性的方法。判定函數(shù)單調(diào)性的幾種方法1.1利用函數(shù)

2、單調(diào)性的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋喝绻麑?duì)于屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有或，那么就說在這個(gè)區(qū)間上是增或減函數(shù)。給出定義后，我們就可利用定義判定函數(shù)的單調(diào)性。例1 討論函數(shù)的單調(diào)性。解：函數(shù)的定義域?yàn)椋稳蓚€(gè)實(shí)數(shù)故在上是增函數(shù)。論文參考。例2 討論函數(shù)的單調(diào)性。解：指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，=當(dāng)時(shí)， 此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)。當(dāng)時(shí)， 此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)。1.2利用反函數(shù)的單調(diào)性我們知道，一個(gè)函數(shù)假設(shè)為嚴(yán)格增或減函數(shù)，那么其反函數(shù)也為嚴(yán)格增或減函數(shù)。那么我們就可利用這一性質(zhì)判定函數(shù)的單調(diào)性。例3 討論反余弦函數(shù)的單調(diào)性解：因?yàn)槭怯嘞液瘮?shù)在的反函數(shù)，在上為嚴(yán)格減函數(shù)，故在

3、定義域上為嚴(yán)格減函數(shù)1.3利用根本初等函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)是五種根本初等函數(shù)，它們各有增減區(qū)間。那么我們就借助根本初等函數(shù)的性質(zhì)來判定函數(shù)的單調(diào)性。例4 判斷函數(shù)的增減性解：依據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知：在上是增函數(shù)例5 判斷函數(shù)在上的單調(diào)性解：依據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性知：在上是減函數(shù)1.4利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性定理1 設(shè)有復(fù)合函數(shù)，當(dāng)與同時(shí)為增或減函數(shù)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，否那么為減函數(shù)。論文參考。例6 討論函數(shù)的單調(diào)性。論文參考。解：先求出函數(shù)定義域： 解得：或函數(shù)的定義域?yàn)?，令為減函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，故在上為增函數(shù)，而在區(qū)間上為增函數(shù)，故在上為減函數(shù)1.5利用的單調(diào)性定理2

4、 假設(shè)函數(shù)為增或減函數(shù),那么函數(shù)，當(dāng)時(shí)為增或減函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減或增函數(shù)。例7 討論函數(shù)的單調(diào)性解： 而為減函數(shù)，由定理2可知，為增函數(shù)1.6利用倒函數(shù)的單調(diào)性定理3 正或負(fù)值函數(shù)假設(shè)為增或減函數(shù)，那么其倒函數(shù)在其公共定義域內(nèi)為減或增函數(shù)。例8 討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性解：在區(qū)間上是減函數(shù)，由定理3知，在區(qū)間上為增函數(shù)1.7利用函數(shù)的單調(diào)性判定函數(shù)和的單調(diào)性定理4 兩個(gè)具有公共定義域的增或減函數(shù)之和仍為增或減函數(shù)例9 討論函數(shù)的單調(diào)性解：函數(shù)定義域?yàn)?在此區(qū)間內(nèi)，為增函數(shù)，由定理3知，為減函數(shù)，由定理2知，為增函數(shù)，由定理4知為增函數(shù)1.8利用函數(shù)的單調(diào)性判定函數(shù)積的單調(diào)性定理5 兩個(gè)正值增或減函

5、數(shù)之積為增或減函數(shù)；兩個(gè)負(fù)值增或減函數(shù)之積為減或增函數(shù)例10 討論函數(shù)的單調(diào)性解：函數(shù)在區(qū)間均為正值增函數(shù)，由定理5知在區(qū)間上均為增函數(shù)1.9利用導(dǎo)數(shù)定理6 設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo)，那么在上遞增或遞減的充要條件是。例11 討論函數(shù)的單調(diào)性解：函數(shù)的定義域?yàn)?，由?fù)合函數(shù)可導(dǎo)性可知在定義域上可導(dǎo)。令得，它將定義域分為兩個(gè)區(qū)間： ，在區(qū)間內(nèi) 函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi) 函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)判定抽象函數(shù)單調(diào)性的幾種方法對(duì)于未給出具體函數(shù)式的抽象函數(shù)，需充分挖掘題目條件所提供的信息，具體方法如下：2.1定義法通過作差或作商，結(jié)合條件進(jìn)行變形分解因式，配方等，再與0或1的比擬來判斷其單調(diào)性。例1 設(shè)函數(shù)對(duì)

6、任意都有，且時(shí)，試討論函數(shù)的單調(diào)性解：當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)有，由知是奇函數(shù)，又因時(shí)，任取有，所以在上是減函數(shù)這類題通常用賦值法取特征值探路;，以便得出一般結(jié)論，使問題獲得解決例2 在它的定義域內(nèi)是增函數(shù)，證明在其定義域內(nèi)也是增函數(shù)證明：在的定義域內(nèi)任取兩值且，令，那么假設(shè)根據(jù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，得，這與矛盾。故，即在其定義域內(nèi)也是增函數(shù)。2.2逐層判定法對(duì)復(fù)合函數(shù)先弄清它的復(fù)合過程，然后再按從內(nèi)到外的順序進(jìn)行分層判定，直到得出正確結(jié)論。例3 定義在上的偶函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是，那么函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是？解：視為的復(fù)合函數(shù)，令，是由內(nèi)層函數(shù)，中層函數(shù)和外層函數(shù)復(fù)合而成。因是偶函數(shù)，所以時(shí)，遞減，故時(shí)，遞減。由可得，。因在時(shí)遞減，在時(shí)遞減，所以在時(shí)遞增，又當(dāng)時(shí)遞減，因此在時(shí)是減函數(shù)2.3列表法比照擬復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)，除進(jìn)行分層討論外，還可通過列表，將參與復(fù)合的各個(gè)函數(shù)的單調(diào)性展示出來，然后按復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律同那么增，異那么減;，得出正確結(jié)論。例4 是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，求是增函數(shù)的區(qū)間解：令，那么原函數(shù)是由和復(fù)合而成，當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，時(shí)是減函數(shù)。因是偶函數(shù)，且時(shí)遞減，所以函數(shù)，當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，在時(shí)是減函數(shù)，又即，得或；得，由此，從下表討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù) 單調(diào)性 增 增