復合函數(shù)零點問題專題

1、 復合函數(shù)零點問題,x 1例1：設定義域為R的函數(shù)fx |x 1，若關于x的方程1,x 1_2222f x bf x c 0 由 3個不同的解 x1，x2,x3,則 x x2 x3 思路：先作出f x的圖像如圖：觀察可發(fā)現(xiàn)對于任意的y0 ,滿足y0f x的x的個數(shù)分別為2個(yo 0, yo 1)和3個(y0 1),已知有3個解，從而可得 f x 1必為 2f x bf xc 0的根，而另一根為 1或者是負數(shù)。所以 f x 1 ,可解得： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark62 o Current Document x1 0,x2 1,x3 2 ,所以 x2

2、x2 x2 5 答案：5 c2c例2：關于x的方程 x 1 3x 12 0的不相同實根的個數(shù)是()A. 3B. 4C. 5D. 8 思路：可將x2 1視為一個整體，即t x x2 1 ,則方程變?yōu)閠2 3t 2 0可解得： t 1或t 2,則只需作出txx2 1的圖像，然后統(tǒng)計與 t 1與t 2的交點總數(shù)即可，共有5個 答案：C一 一一皿1例3:已知函數(shù)f(x) |x -|x11 1J、T 2|x |,關于x的方程f 2(x) xa| f(x) b 0(a,b R)恰有6個不同實數(shù)解，則 a的取值范圍是思路：所解方程f2(x) a f(x) b20可視為f x a f x b 0,故考慮作出f

3、 x的圖像：f x個不同實數(shù)解，則必有4 a 2答案：4 a 22,x 1 x2x,0 x2x, 12 ,xx0f1 x 2,0f2 x則f x的圖像如圖，由圖像可知，若有2,所以af xf2 x 2,4 ,解得例4：已知定義在 R上的奇函數(shù)，當x 0時，f x2x 1 1,0 x 21,則關于x的方f x 2 ,x 222程 6fx f x10的實數(shù)根個數(shù)為(A. 6 B.72思路：已知方程6 f x f xC.81 0可解，得D.f1 x2，f2x1只需統(tǒng)計y312,y與y f x的交點個數(shù)即可。由奇函數(shù)可先做出r 1 rx 0的圖像，x 2時，f x f x 2 ,則 2x 2,4的圖像

4、只需將x 0,2的圖像縱坐標縮為一半即可。正半軸圖像完成后可再利用奇函數(shù)的性質作出負半軸圖像。通過數(shù)形結合可得共有7個交點答案：B小煉有話說：在作圖的過程中，注意確定分段函數(shù)的邊界點屬于哪一段區(qū)間。例5：若函數(shù)f xx3ax2bxc有極值點xl,且fx1x1,則關于x的方程23 f x 2af x b 0的不同實根的個數(shù)是()A. 3 B . 4 C.5 D . 6思路：f x 3x2 2ax b由極值點可得：不？2為3*2 2ax b 0的兩根，觀察2到方程與3 f x 2af x b 0結構完全相同，2所以可得3fx 2af x b 0的兩根為fl xxi, f2 xx2 ,其中flxix

5、i,若 xix2 ,可判斷出xi是極大值點，x2是極小值點。且f2 xx2 xi f xi ,所以 y f x 與 f x 有兩個交點，而f2 x與f x有一個交點，共計 3個；若為 x2 ,可判斷出x1是極小值點，x2是極大值點。且f2 xx2 xi f xi ,所以y fi x與f x有兩個交點，而 f2 x與f x有一個交點，共計3個。綜上所述，共有 3個交點答案：A例6：已知函數(shù)f xx2 4x實根，則實數(shù)b的取值范圍是（2,若方程f x bf xC0恰有七個不相同的A. 2,0 B.2, i C.0,i D.0,2例7:已知函數(shù)f xm i 0恰有4個不相等思路：考慮通過圖像變換作出

6、f x的圖像（如圖），因為2f x bf x C 0最多只能解出 2個f x ,右要出七個根， 則fi x i, f2 x 0,i, 所以b fi xf2 x i,2 ,解得：b 2, i答案：Bx一 2一,右關于x的方程f x mf x e的實數(shù)根，則實數(shù) m的取值范圍是（）A. ；2 U 2,e B. ；i C. eeii,i - D.i一,e e思路：fx,x ex的圖像以便于作圖,x 0時,0,1在1,單調遞減，f1且當e,y0,所以x單調遞增,x在 ,0單調遞減。正半軸為水平漸近線；當0時,e x,所以由此作圖圖像可得，若個不等實根則關于f x的方程f2 x mfm 1 0 中，f1

7、-1.0,- , f2 x e,從而將問題轉化為根分布問題mt m10的兩根t110, e,t2g tt2mt答案：C小煉有話說:1,1本題是作圖與根分布綜合的題目,其中作圖是通過分析函數(shù)的單調性和關鍵點來進行作圖，在作圖的過程中還要注意漸近線的細節(jié)，從而保證圖像的準確。例8:已知函數(shù)ax 1,x xlog2x,x0,則下列關于函數(shù)0y f f x 1的零點個數(shù)判斷正確的是（A.當a 0時,4個零點；當a0時,1個零點B.當a 0時,3個零點；當a0時,2個零點C.無論a為何值，均有2個零點D.無論a為何值，均有4個零點思路：所求函數(shù)的零點，即方程 f1的解的個數(shù)，先作出 f x的圖像，直線y

8、 ax 1為過定點 0,1的一條直線，但需要對 a的符號進行分類討論。當 a 0時，圖2 一一 1像如圖所不，先拆外層可得f1x 0,f2x ,而f1x有兩個對應的x,f2xa21也有兩個對應的x,共計4個；當a 0時，f x的圖像如圖所不，先拆外層可得f x 2且f x J只有一個滿足的x ,所以共一個零點。結合選項，可判斷出A正確答案：A1例9 ：已知函數(shù)f xx3 3x2 1,cg f x a 0 （a為正實數(shù)）的實數(shù)根最多后,3* r21,-x 1,x 0j x2，則方程2x 31,x 0個思路：先通過分析f x ,g x的性質以便于作圖， -一 2一一一一一,f x3x6x3xx 2

9、,從而fx在,0 , 2,單增，在 0,2 單減，且f 01,f 23, g x為分段函數(shù)，作出每段圖像即可，如圖所示，若要實數(shù)根最多，則要優(yōu)先選取f x能對應x較多的情況，由f x圖像可得，當f x3,1時，每個f x可對應3個x。只需判斷g f x a中，f x能在 3,1取得的值的個數(shù)即可，觀察 g x圖像5可得，當a 1,5時，可以有2個f x3,1 ,從4y一而能夠找到6個根，即最多的根的個數(shù)答案：6個例10:已知函數(shù)yf x和y g x在 2,2的圖像如下，給出下列四個命題:(1)方程f g x(2)方程g f x(3)方程f f x(4)方程g g x0有且只有6個根0有且只有3個根0有且只有5個根0有且只有4個根思路：每個方程都可通過圖像先拆掉第一層，找到內層函數(shù)能取得的值，從而統(tǒng)計出 總數(shù)。(1)中可得g1 x 2, 1 ,g2 x 0,g3 x 1,2 ,進而g1 x有2個對應的x :g2 x有3個，g3 x有2個，總計7個，(1)錯誤；中可得f1 x 2, 1 , f2 x 0,1 ,進而f1 x有1個對應的x , f2 x有3個,總計4個，(2)錯誤；(3)中可得 f1 x