2023高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案-數(shù)學(xué)(名校內(nèi)參版) 第八章 8.2空間幾何體的表面積與體積（Word學(xué)案）

1、82空間幾何體的表面積與體積(教師獨(dú)具內(nèi)容)1棱柱、棱錐、棱臺的表面積是圍成多面體各個面的面積之和；圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時需要將這個曲面展開為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和；掌握球的表面積公式；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理2在掌握正方體V正方體a3(a是正方體的棱長)、長方體V長方體abc(a，b，c分別是長方體的長、寬、高)體積公式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)柱體、錐體、臺體的體積公式以及柱體、錐體、臺體它們的體積公式之間的關(guān)系熟練掌握球的體積公式3重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)(教師獨(dú)具內(nèi)容)1本考點(diǎn)屬于高考必考內(nèi)容，命題的關(guān)注點(diǎn)在于幾何體的表面

2、積與體積的求解，以數(shù)學(xué)文化與生活、生產(chǎn)實(shí)際中的幾何體加工為情境的題會成為命題的熱點(diǎn)2從近幾年的高考試題來看，空間幾何體的表面積、體積等問題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度為中低檔主觀題考查較全面，考查線、面位置關(guān)系及表面積、體積公式，無論是何種題型都考查學(xué)生的空間想象能力預(yù)測2023年高考仍將以空間幾何體的表面積、體積為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算能力及邏輯推理能力(教師獨(dú)具內(nèi)容)(教師獨(dú)具內(nèi)容)1圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè) eq o(,sup3(01)2rlS圓錐側(cè) eq o(,sup3(02)rlS

3、圓臺側(cè) eq o(,sup3(03)(rr)l2空間幾何體的表面積與體積公式表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底V eq o(,sup3(01)S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底V eq o(,sup3(02) eq f(1,3)S底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側(cè)S上S下V eq f(1,3)(S上S下 eq r(S上S下)h球S eq o(,sup3(03)4R2V eq o(,sup3(04) eq f(4,3)R3注：柱體、錐體、臺體的側(cè)面積，就是各個側(cè)面面積之和；表面積是各個面的面積之和，即側(cè)面積與底面積之和把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形，稱為它的展開圖，圓

4、柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形，其表面積就是展開圖的面積1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2S.()(2)球的體積公式是V4R2.()(3)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一個球面上，則該球的表面積為12.()(4)圓錐的表面積公式為S表rl.()答案(1)(2)(3)(4)2將一個相鄰邊長分別為4，8的矩形卷成一個圓柱，則這個圓柱的表面積是()A402B.642C322或642D3228或32232答案D解析圓柱側(cè)面積為48322.當(dāng)?shù)酌嬷荛L為4時，底面半徑為2，表面積為322243228；當(dāng)?shù)酌?/p>

5、周長為8時，底面半徑為4，表面積為32221632232.故選D.3.在直角梯形ABCD中，ADCD，ADBC，BC2AD2CD2，若將直角梯形繞AD邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為()A eq blc(rc)(avs4alco1(3r(2) B. eq blc(rc)(avs4alco1(5r(2)C eq blc(rc)(avs4alco1(3r(2) D. eq blc(rc)(avs4alco1(5r(2)答案B解析將直角梯形繞AD邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體為底面半徑為1，高為2的圓柱中挖去一個同底的，高為1的圓錐，圓錐的母線長為 eq r(2)，故幾何體的表面積為122121 eq

6、r(2) eq blc(rc)(avs4alco1(5r(2).4母線長為5的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于 eq f(8,5)，則該圓錐的體積是_答案16解析由題意知，側(cè)面展開圖的弧長為5 eq f(8,5)8，設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則82r，r4，圓錐的高h(yuǎn) eq r(5242)3，體積為 eq f(1,3)42316.5如圖，長方體ABCDA1B1C1D1的體積是60，E為CC1的中點(diǎn)，則三棱錐CEBD的體積是_答案5解析因?yàn)殚L方體ABCDA1B1C1D1的體積為VBCDCCC160，所以VCEBDVEBCD eq f(1,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)BC

7、DC) eq f(1,2)CC1 eq f(1,12)BCDCCC1 eq f(1,12)605.1(2021新高考卷)已知圓錐的底面半徑為 eq r(2)，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為()A2 B2 eq r(2)C4 D4 eq r(2)答案B解析設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖為一個半圓，所以2rl.所以l2r2 eq r(2).故選B.2(2021新高考卷)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為()A2012 eq r(3) B28 eq r(2)C eq f(56,3) D eq f(28r(2),3)答案D解析作出圖形，連

8、接該正四棱臺上、下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_上、下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，所以該棱臺高h(yuǎn) eq r(22（2r(2)r(2)）2) eq r(2)，下底面面積S116，上底面面積S24，所以該棱臺的體積V eq f(1,3)h(S1S2 eq r(S1S2) eq f(1,3) eq r(2)(164 eq r(64) eq f(28r(2),3).故選D.3(2021全國甲卷)已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點(diǎn)，且ACBC，ACBC1，則三棱錐OABC的體積為()A eq f(r(2),12) B eq f(r(3),12)C eq f(r(2),4) D eq f

9、(r(3),4)答案A解析記ABC外接圓的圓心為O1，連接OO1，則OO1平面ABC，由ACBC，ACBC1，知O1為AB的中點(diǎn)，且AB eq r(2)，O1B eq f(r(2),2)，又球O的半徑為1，所以O(shè)B1，所以O(shè)O1 eq f(r(2),2)，所以VOABC eq f(1,3)SABCOO1 eq f(1,3) eq f(1,2)11 eq f(r(2),2) eq f(r(2),12).故選A.4(2019全國卷)已知三棱錐PABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，PAPBPC，ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，CEF90，則球O的體積為()A8 eq r(6)

10、B4 eq r(6)C2 eq r(6) D eq r(6)答案D解析設(shè)PAPBPC2a，則EFa，F(xiàn)C eq r(3)，EC23a2.在PEC中，cos PEC eq f(a23a2（2a）2,2ar(3a2) eq f(34a2,2ar(3a2).在AEC中，cos AEC eq f(a23a24,2ar(3a2) eq f(1,2ar(3a2).PEC與AEC互補(bǔ)，cos PECcos AEC，即34a21，解得a eq f(r(2),2)，故PAPBPC eq r(2).又ABBCAC2，PA，PB，PC兩兩垂直，外接球的直徑2R eq r(（r(2)）2（r(2)）2（r(2)）2)

11、 eq r(6)，R eq f(r(6),2)，V eq f(4,3)R3 eq f(4,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),2) eq sup12(3) eq r(6).故選D.5(2021全國甲卷)已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為30，則該圓錐的側(cè)面積為_答案39解析設(shè)該圓錐的高為h，則由已知條件可得 eq f(1,3)62h30，解得h eq f(5,2)，則圓錐的母線長為 eq r(h262) eq r(f(25,4)36) eq f(13,2)，故該圓錐的側(cè)面積為6 eq f(13,2)39.一、基礎(chǔ)知識鞏固考點(diǎn)空間幾何體的表面積例1如圖，四面體各個面都

12、是邊長為1的正三角形，其三個頂點(diǎn)在一個圓柱的下底面圓周上，另一個頂點(diǎn)是上底面圓心，則圓柱的側(cè)面積為()A eq f(r(2),3) B eq f(3r(2),4)C eq f(2r(2),3) D. eq f(r(2),2)答案C解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長為l，由四面體各個面都是邊長為1的正三角形，可得2r eq f(1,sin 60) eq f(2r(3),3)，解得r eq f(r(3),3)，則棱錐的高為h eq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)sup12(2) eq f(r(6),3)，即圓柱的母線長為l eq f(r(6),3)，所以圓柱的側(cè)面積為

13、S2rl2 eq f(r(3),3) eq f(r(6),3) eq f(2r(2),3).故選C.例2(2021廈門模擬)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBC，AA1AC2，直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為30，則該三棱柱的側(cè)面積為()A44 eq r(2) B.44 eq r(3)C12D84 eq r(2)答案A解析連接A1B.因?yàn)锳A1底面ABC，則AA1BC，又ABBC，AA1ABA，所以BC平面AA1B1B，所以直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為CA1B30.又AA1AC2，所以A1C2 eq r(2)，BC eq r(2).又ABBC，則AB

14、eq r(2)，則該三棱柱的側(cè)面積為2 eq r(2)22244 eq r(2).1.(2021安徽皖江名校聯(lián)盟)已知圓錐的頂點(diǎn)為A，過母線AB，AC的截面面積為2 eq r(3).若AB，AC的夾角為60，且AC與圓錐底面所成的角為30，則該圓錐的表面積為()A2 eq r(2) B. eq blc(rc)(avs4alco1(2r(3)6)C eq blc(rc)(avs4alco1(4r(2)6) D. eq blc(rc)(avs4alco1(4r(3)6)答案D解析設(shè)圓錐的母線長為l，則 eq f(1,2)l2sin 602 eq r(3)，l2 eq r(2)，圓錐底面半徑是rOC

15、2 eq r(2)cos 30 eq r(6)，于是該圓錐的表面積為 eq r(6)2 eq r(2)( eq r(6)2(4 eq r(3)6).故選D.2(2021湖北B4聯(lián)考)現(xiàn)有一個三棱錐形狀的工藝品PABC，點(diǎn)P在底面ABC的投影為Q，滿足 eq f(SQAB,SPAB) eq f(SQAC,SPAC) eq f(SQBC,SPBC) eq f(1,2)， eq f(QA2QB2QC2,AB2BC2CA2) eq f(1,3)，SABC9 eq r(3)，若要將此工藝品放入一個球形容器(不計(jì)此球形容器的厚度)中，則該球形容器的表面積的最小值為()A42 B44 C48 D49答案D解

16、析如圖所示，作QMAB于M，連接PM，因?yàn)镻Q平面ABC，所以PQAB，又QMPQQ，所以AB平面PQM，所以ABPM，所以 eq f(SQAB,SPAB) eq f(f(1,2)ABQM,f(1,2)ABPM) eq f(1,2)，即PM2QM，因?yàn)?eq f(SQAB,SPAB) eq f(SQAC,SPAC) eq f(SQBC,SPBC) eq f(1,2)，由對稱性得ABBCAC，又因?yàn)?eq f(QA2QB2QC2,AB2BC2CA2) eq f(1,3)，SABC9 eq r(3)，所以SABC eq f(1,2)AB2sin 609 eq r(3)，解得AB6，AQ2 eq r

17、(3)，所以QM eq r(3)，PM2 eq r(3)，PQ3，設(shè)外接球的半徑為r，球心為O，在AOQ中，AO2OQ2AQ2，即r2(3r)2 eq blc(rc)(avs4alco1(2r(3) eq sup12(2)，解得r eq f(7,2)，所以外接球的表面積為S4r249，即該球形容器的表面積的最小值為49.故選D.幾類空間幾何體表面積的求法(1)多面體：其表面積是各個面的面積之和(2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和(3)簡單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補(bǔ)考點(diǎn)空間幾何體的體積例3如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的已知螺帽的底面正六邊

18、形邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是()A12 eq r(3) cm3 B eq f(,2) cm3C eq blc(rc)(avs4alco1(12r(3)f(,2) cm3 D eq blc(rc)(avs4alco1(12r(3)f(,2) cm3答案D解析正六棱柱的體積為6 eq f(r(3),4)22212 eq r(3)(cm3)，圓柱的體積為0.522 eq f(,2)(cm3)，則該六角螺帽毛坯的體積是 eq blc(rc)(avs4alco1(12r(3)f(,2) cm3.故選D.例4(2022江西重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體聯(lián)考)如圖，ABC

19、DEF為五面體，其中四邊形ABCD為矩形，EFAB，AB3EF eq f(3,2)AD3，ADE和BCF都是正三角形，則該五面體的體積為()A eq f(7r(2),3) B. eq f(4r(2),3)C eq r(2) D. eq f(3r(2),2)答案A解析過點(diǎn)F作FO平面ABCD，垂足為O，取BC的中點(diǎn)P，連接PF，OP，過點(diǎn)F作FQAB，垂足為Q，連接QO，并延長交CD于G，連接FG，得到四棱錐FBCGQ，同理得到四棱錐EADMN，可得VFBCGQVEADMN，如圖所示，因?yàn)锳DE和BCF都是邊長為2的等邊三角形，AB3EF3，所以O(shè)P eq f(1,2)(ABEF)1，PF eq

20、 r(3)，可得OF eq r(PF2OP2) eq r(2)，所以VEADMNVFBCGQ eq f(1,3)S四邊形BCGQOF eq f(1,3)12 eq r(2) eq f(2r(2),3)，中間部分三棱柱FGQEMN為直三棱柱，其體積為VFGQEMNSFGQEF eq f(1,2)2 eq r(2)1 eq r(2)，所以該五面體的體積為VVFGQEMNVEADMNVFBCGQ eq r(2)2 eq f(2r(2),3) eq f(7r(2),3).故選A.例5棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1D1MN的體積為_答案1解析如

21、圖，由正方體的棱長為2，得SA1MN222 eq f(1,2)21 eq f(1,2)11 eq f(3,2)，又易知D1A1為三棱錐D1A1MN的高，且D1A12，VA1D1MNVD1A1MN eq f(1,3)SA1MND1A1 eq f(1,3) eq f(3,2)21.3.(2022重慶八中期末)唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如圖2所示，已知半球的半徑為R，酒杯內(nèi)壁表面積為 eq f(14,3)R2，設(shè)酒杯上部分(圓柱)的體積為V1，下部分(半球

22、)的體積為V2，則 eq f(V2,V1)()A2 B eq f(3,2) C eq f(1,2) D1答案C解析設(shè)酒杯上部分高為h，則酒杯內(nèi)壁表面積S eq f(1,2)4R22Rh eq f(14,3)R2，解得h eq f(4,3)R，V1R2h eq f(4,3)R3，V2 eq f(1,2) eq f(4,3)R3 eq f(2,3)R3， eq f(V2,V1) eq f(1,2).4已知一正四棱柱內(nèi)切于底面半徑為1，高為2的圓錐，當(dāng)正四棱柱的體積最大時，該正四棱柱的底面邊長為()A eq f(2r(2),3) B. eq f(r(2),3) C eq r(2) D.2 eq r(

23、2)答案A解析如圖，圓錐的高PN分別交正四棱柱上下底面于M，N兩點(diǎn)，NE1，PN2.令正四棱柱的底面邊長為a，則MB eq f(r(2),2)a.易知 eq f(PM,MB) eq f(PN,NE)，PM eq f(PN,NE)MB eq r(2)a，MN2 eq r(2)a，V正四棱柱a2 eq blc(rc)(avs4alco1(2r(2)a)，其中a eq blc(rc)(avs4alco1(0，r(2).令V(a)a2(2 eq r(2)a)，a(0， eq r(2)，則V(a)4a3 eq r(2)a2，當(dāng)0a0，當(dāng) eq f(2r(2),3)a eq r(2)時，V(a)0，V(a

24、)在 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(2r(2),3)上單調(diào)遞增，在 eq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(2),3)，r(2)上單調(diào)遞減，故當(dāng)正四棱柱體積最大時，該正四棱柱的底面邊長為 eq f(2r(2),3).5(2019全國卷)學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型如圖，該模型為長方體ABCDA1B1C1D1挖去四棱錐OEFGH后所得的幾何體其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_g.答案118.8解析由題知挖去的

25、四棱錐的底面是一個菱形，對角線長分別為6 cm和4 cm，故V挖去的四棱錐 eq f(1,3) eq f(1,2)46312(cm3).又V長方體664144(cm3)，所以模型的體積為V長方體V挖去的四棱錐14412132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為1320.9118.8(g).與空間幾何體的體積有關(guān)的常見題型與求解策略常見題型求解策略錐體、柱體、臺體的體積問題根據(jù)題設(shè)條件求出所給幾何體的底面積和高，直接套用公式求解其中，等體積轉(zhuǎn)化法多用來求三棱錐的體積球的體積問題直接利用球的體積公式求解，實(shí)際問題中要根據(jù)題意作出圖形，構(gòu)造直角三角形確定球的半徑不規(guī)則幾何體的體積問題常用分割或

26、補(bǔ)形的思想，若幾何體的底不規(guī)則，也需采用同樣的方法，將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體或平面圖形，使之易于求解考點(diǎn)球與空間幾何體的接、切問題例6九章算術(shù)中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，將底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”，在如圖所示的塹堵ABCA1B1C1中，AA1AC5，AB3，BC4，則在塹堵ABCA1B1C1中截掉陽馬C1ABB1A1后的幾何體的外接球的體積是()A50 B eq f(125r(2),3)C eq f(125r(2),6) D200答案B解析由題知剩余的幾何體為三棱錐C1ABC，CC1平面ABC，ABBC.將三棱錐C1ABC放入長

27、方體，長方體的外接球?yàn)槿忮F的外接球，如圖所示，外接球半徑R eq f(r(423252),2) eq f(5r(2),2)，所以外接球體積V eq f(4,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(5r(2),2) eq sup12(3) eq f(125r(2),3).故選B.例7(2020全國卷)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_答案 eq f(r(2),3)解析易知半徑最大的球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，其中BC2，ABAC3，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切球的球心為O，由于AM eq r(3212)2 eq r(2)，故

28、SABC eq f(1,2)22 eq r(2)2 eq r(2).設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則SABCSAOBSBOCSAOC eq f(1,2)ABr eq f(1,2)BCr eq f(1,2)ACr eq f(1,2)(323)r2 eq r(2)，解得r eq f(r(2),2)，其體積V eq f(4,3)r3 eq f(r(2),3).6.如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切若O1O22，則圓柱O1O2的表面積為()A4 B5C6 D答案C解析因?yàn)樵撉蚺c圓柱的上、下底面，母線均相切，不妨設(shè)圓柱的底面半徑為r，故2rO1O22，解得r1.故該圓柱的表面積為

29、2r22rO1O2246.故選C.7(2021河南焦作二模)已知點(diǎn)A，B，C在半徑為5的球面上，且ABAC2 eq r(14)，BC2 eq r(7)，P為球面上的動點(diǎn)，則三棱錐PABC體積的最大值為()A eq f(56r(7),3) B. eq f(52r(7),3)C. eq f(49r(7),3) D. eq f(14r(7),3)答案A解析如圖，M是ABC的外心，O是球心，OM平面ABC，當(dāng)P是MO的延長線與球面交點(diǎn)時，P到平面ABC的距離最大，由ABAC2 eq r(14)，BC2 eq r(7)，得cos ACB eq f(r(2),4)，則sin ACB eq f(r(14),

30、4)，2AM eq f(AB,sin ACB) eq f(2r(14),f(r(14),4)8，AM4，OM eq r(OA2AM2) eq r(5242)3，PM358，又SABC eq f(1,2)ACBC sin ACB eq f(1,2)2 eq r(14)2 eq r(7) eq f(r(14),4)7 eq r(7)，此時VPABC eq f(1,3)7 eq r(7)8 eq f(56r(7),3).故選A.8(2022海南模擬)四面體ABCD的每個頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB，AC，AD兩兩垂直，且AB1，AC2，AD3，則四面體ABCD的體積為_，球O的表面積為_答案114解析

31、因?yàn)锳B，AC，AD兩兩垂直，且AB1，AC2，AD3，所以四面體ABCD的體積為 eq f(1,3) eq f(1,2)1231；把此四面體補(bǔ)形為長方體，球的直徑即為長方體的體對角線設(shè)球O的半徑為r，則(2r)212223214.其表面積為4r214.球與空間幾何體的接、切問題的處理關(guān)鍵是確定球心及半徑，常見的求解方法有如下幾種：(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，

32、根據(jù)4R2a2b2c2求解(3)利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解二、核心素養(yǎng)提升一、解方程確定球心的位置例1已知正三棱錐SABC的側(cè)棱長為4 eq r(3)，底面邊長為6，則該正三棱錐外接球的表面積是_答案64解析如圖，過點(diǎn)S作SE平面ABC于點(diǎn)E，記球心為O.在正三棱錐SABC中，底面邊長為6，側(cè)棱長為4 eq r(3)，BE eq f(2,3) eq f(r(3),2)62 eq r(3)，SE eq r(SB2BE2)6.球心O到四個頂點(diǎn)的距離相等，均等于該正三棱錐外接

33、球的半徑R，OBR，OE6R.在RtBOE中，OB2BE2OE2，即R212(6R)2，解得R4，外接球的表面積為S4R264.二、借助三角形的外心確定球心的位置例2(2021南昌市八一中學(xué)模擬)如圖所示，在三棱錐SABC中，ABC與SBC都是邊長為1的正三角形，二面角ABCS的大小為 eq f(2,3)，若S，A，B，C四點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為()A eq f(7,3) B eq f(13,3) C eq f(4,3) D3答案A解析如圖，取線段BC的中點(diǎn)D，連接AD，SD，由題意得ADBC，SDBC，ADS是二面角ABCS的平面角，ADS eq f(2,3)，由題意得BC平面

34、ADS，分別取AD，SD的三等分點(diǎn)E，F(xiàn)，在平面ADS內(nèi)，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作直線垂直于AD，SD，兩條直線的交點(diǎn)即球心O，連接OA，則球O的半徑ROA，由題意知BD eq f(1,2)，AD eq f(r(3),2)，DE eq f(1,3)AD eq f(r(3),6)，AE eq f(2,3)AD eq f(r(3),3)，連接OD，在RtODE中，ODE eq f(,3)，OE eq r(3)DE eq f(1,2)，OA2OE2AE2 eq f(7,12)，球O的表面積為S4R2 eq f(7,3).三、有公共斜邊的四面體的外接球問題例3在四面體ABCD中，AB eq r(2)，DADB

35、CACB1，則四面體ABCD的外接球的表面積為()A B2 C3 D4答案B解析取AB的中點(diǎn)O，因?yàn)锳B eq r(2)，DADBCACB1，所以CA2CB2AB2，DA2DB2AB2，可得ACBADB90，所以O(shè)AOBOCOD eq f(r(2),2)，即O為外接球的球心，球的半徑R eq f(r(2),2)，所以四面體ABCD的外接球的表面積為S4R24 eq f(1,2)2.四、對棱相等的四面體外接球問題例4在四面體ABCD中，若ABCD eq r(3)，ACBD2，ADBC eq r(5)，則四面體ABCD的外接球的表面積為()A2 B4 C6 D8答案C解析由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到

36、四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可將其補(bǔ)形為一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，如圖所示，并且x2y23，x2z25，y2z24，則有(2R)2x2y2z26(R為球的半徑)，得4R26，所以球的表面積為S4R26.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，過多面體的一條側(cè)棱和球心或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題1長方體的外接球球心：體對角線的交點(diǎn)；半徑：R eq f(r(a2b2c2),2)(a，b，c為長方體的長、寬、高).2正方體與球(1)正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，如圖

37、所示設(shè)正方體的棱長為a，則OJr eq f(a,2)(r為內(nèi)切球半徑).(2)與正方體各棱相切的球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，則GOR eq f(r(2),2)a.3正四面體與球如圖，設(shè)正四面體的棱長為a，內(nèi)切球的半徑為r，外接球的半徑為R，取AB的中點(diǎn)為D，連接CD，SE為正四面體的高因?yàn)檎拿骟w本身的對稱性，內(nèi)切球和外接球的球心同為O，且O在高SE上此時，COOSR，OEr，SE eq r(f(2,3)a，CE eq f(r(3),3)a，則有Rr eq r(f(2,3)a，R2r2CE2 eq f(a2,3)，解得R eq f(r(6),4)a，r eq f(r(6),12)a.4

38、三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球(1)如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，則可以補(bǔ)形為一個正方體，正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心即三棱錐A1AB1D1的外接球的球心和正方體ABCDA1B1C1D1的外接球的球心重合如圖，設(shè)AA1a，則R eq f(r(3),2)a.(2)如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等，則可以補(bǔ)形為一個長方體，長方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心R2 eq f(a2b2c2,4) eq f(l2,4)(l為長方體的體對角線長).常用結(jié)論：解答球的有關(guān)問題時，通常要用到截面圓如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，截面圓O的半徑為r，M為截面圓上任意一點(diǎn)，球心O

39、到截面圓O的距離為d，則在RtOOM中，OM2OO2OM2，即R2d2r2.課時作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1正四棱臺的上、下底面邊長分別為1 cm，3 cm，側(cè)棱長為2 cm，則棱臺的側(cè)面積為()A4 cm2 B8 cm2C4 eq r(3) cm2 D8 eq r(3) cm2答案D解析正四棱臺的上、下底面邊長分別為1 cm，3 cm，側(cè)棱長為2 cm，所以棱臺的斜高為 eq r(22blc(rc)(avs4alco1(f(31,2)sup12(2) eq r(3)(cm).所以棱臺的側(cè)面積是4 eq f(13,2) eq r(3)8 eq r(3)(cm2).故選D.2已知正四棱錐SABCD的底面

40、邊長為2，側(cè)棱長為 eq r(3)，則該正四棱錐的體積等于()A eq f(4,3) B eq f(4r(3),3)C4 eq r(3) D4答案A解析如圖，正四棱錐SABCD，SB eq r(3)，OB eq r(2)，則SO1，則該正四棱錐的體積V eq f(1,3)221 eq f(4,3).故選A.3已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則該圓柱的外接球的體積為()A eq f(5r(5),6) B eq f(8r(2),3)C eq f(20r(5),3) D eq f(64r(2),3)答案B解析如圖為圓柱的軸截面圖，O為外接球球心，母線BB1長度為2，底面半徑rO2B1，易得外接球

41、半徑ROB eq r(OO eq oal(sup1(2),sdo1(2)O2B2) eq r(2)，所以外接球的體積V eq f(4,3)( eq r(2)3 eq f(8r(2),3).故選B.4.如圖，圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為5，若一個平行于底面的平面沿著該圓臺母線的中點(diǎn)將此圓臺分為上、下兩個圓臺，設(shè)該平面上方的圓臺側(cè)面積為S1，下方的圓臺側(cè)面積為S2，則S1S2()A925 B916C79 D1625答案C解析如圖為圓臺的截面圖形，截面圓圓心為O，半徑為r，則r eq f(35,2)4，l為上下方圓臺的母線長，則S1(34)l7l，S2(45)l9l，S1S279.故選C.5(2

42、022江蘇省高三月考)阿基米德(公元前287年公元前212年)是偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形：在圓柱容器里放一個球，使該球四周碰壁，且與上、下底面相切，則在該幾何體中，圓柱的體積與球的體積之比為()A eq f(3,2) B eq f(4,3)C eq f(2,3)或 eq f(3,2) D eq f(2,3)答案A解析設(shè)球的半徑為r，由題意可知該球與圓柱側(cè)面和上、下底面相切，所以圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為h2r，所以圓柱的體積V1r22r2r3，球的體積V2 eq f(4,3)r3，所以圓柱的體積與球的體積之比為 eq f(V1,

43、V2) eq f(2r3,f(4,3)r3) eq f(3,2).故選A.6一平面截一球得到直徑為4 eq r(3) cm的圓面，球心到這個平面的距離為2 cm，則該球的體積為()A eq f(256,3) cm3 B64 cm3C eq f(64,3) cm3 D eq f(16,3) cm3答案A解析依題意得球半徑R eq r(22blc(rc)(avs4alco1(f(4r(3),2)sup12(2)4，所以該球的體積V eq f(4,3)R3 eq f(4,3)43 eq f(256,3)(cm3).故選A.7(2020全國卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個點(diǎn)，O1為ABC的外接圓

44、，若O1的面積為4，ABBCACOO1，則球O的表面積為()A64 B48C36 D32答案A解析設(shè)O1的半徑為r，球的半徑為R，依題意，得r24，r2.由正弦定理可得 eq f(AB,sin 60)2r，AB2r sin 602 eq r(3).OO1AB2 eq r(3).根據(jù)球的截面性質(zhì)，得OO1平面ABC，OO1O1A，ROA eq r(OO eq oal(sup1(2),sdo1(1)O1A2) eq r(OO eq oal(sup1(2),sdo1(1)r2)4，球O的表面積S4R264.故選A.8.蹴鞠，又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的含義，鞠(如圖所示)最早系外包

45、皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄已知某鞠(近似看作球體)的表面上有四個點(diǎn)S，A，B，C，滿足SABC為正三棱錐，M是SC的中點(diǎn)，且AMSB，側(cè)棱SA1，則該鞠的表面積為()A3 B6C12 D16答案A解析如圖，N為BC的中點(diǎn)，則MNSB，又AMSB，AMMN，又SABC為正三棱錐且側(cè)棱SA1，MN eq f(1,2)，AN eq f(r(3),2)AB，若ASB，則AM2 eq f(5,4)cos ，AB222cos ，在RtAMN中，AM2MN2AN2，即

46、 eq f(3,2)cos eq f(3,4)(22cos )，可得cos 0，又0， eq f(,2)，SA，SB，SC兩兩垂直，易得外接球半徑R eq f(r(3),2)，該鞠的表面積為4R23.故選A.二、多項(xiàng)選擇題9.如圖，一個正四面體和一個正四棱錐的所有棱長都相等，將正四面體的一個面和正四棱錐的一個側(cè)面緊貼重合在一起，得到一個新幾何體關(guān)于該幾何體，下列說法正確的是()AAFCDB2VFABCVABCDEC新幾何體有7個面D新幾何體的六個頂點(diǎn)在同一個球面上答案AB解析取BC的中點(diǎn)G，DE的中點(diǎn)H，連接FG，AH，GH，則FGBC，BCGH，AHDE，則BC平面FGH，DE平面AGH，B

47、CDE，平面FGH與平面AGH重合，即四邊形AHGF為平面四邊形，AFCDGH，F(xiàn)GAH，四邊形AHGF為平行四邊形，AFCD，故A正確；BECD，BE平面ADCF，VABCDE2VABCD2VBACD，VBACDVBACFVFABC，2VFABCVABCDE，故B正確；平面ACF與平面ACD重合，平面ABF與平面ABE重合，該幾何體有5個面，故C錯誤；由于該幾何體為斜三棱柱，故不存在外接球，故D錯誤故選AB.10將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角ABDC，點(diǎn)P為線段AD上的一動點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是()A異面直線AC與BD所成的角為90BACD是等邊三角形CBCP面積的最小值為

48、 eq f(r(11),2)D四面體ABCD的外接球的表面積為4答案AB解析對于A，取BD的中點(diǎn)O，連接OA，OC，則BDOA，BDOC，又OAOCO，所以BD平面AOC，又AC平面AOC，所以BDAC，異面直線AC與BD所成的角為90，所以A正確；對于B，因?yàn)镺AOC eq r(2)，所以AC eq r(（r(2)）2（r(2)）2)2，又ADDC2，所以ACD是等邊三角形，所以B正確；對于C，過點(diǎn)P作PFBD于F，過F作EFBC于E，連接PE，因?yàn)槎娼茿BDC為直二面角，平面ABD平面CBDBD，所以PF平面CBD，因?yàn)锽C平面CBD，所以PFBC，因?yàn)镋FBC，且EFPFF，所以BC平

49、面PEF，又PE平面PEF，所以PEBC.設(shè)PFx，則DFx，BF2 eq r(2)x，所以EF2 eq f(x,r(2)，則PE eq r(x2blc(rc)(avs4alco1(2f(x,r(2)sup12(2) eq r(f(3,2)x22r(2)x4) eq r(f(3,2)blc(rc)(avs4alco1(xf(2r(2),3)sup12(2)f(8,3)，SBCP eq f(1,2)BCPE eq r(f(3,2)blc(rc)(avs4alco1(xf(2r(2),3)sup12(2)f(8,3)，當(dāng)x eq f(2r(2),3)時，SBCP取得最小值 eq f(2r(6),3

50、)，所以C錯誤；對于D，根據(jù)題意得，四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為R eq r(2)，所以表面積為4R28，所以D錯誤故選AB.三、填空題11(2021河北石家莊二中期末)若一個三棱臺的上、下底面的面積分別是 eq r(3)和4 eq r(3)，體積為 eq f(7r(5),3)，則該三棱臺的高為_答案 eq f(r(15),3)解析設(shè)三棱臺的高為h，則由臺體體積公式可得，V eq f(1,3)(SS eq r(avs4al(SS)h eq f(1,3)( eq r(3)4 eq r(3)2 eq r(3)h eq f(7r(5),3)，解得h eq f(r(15),3).12(20

51、21福建泉州高三月考)已知正三棱錐PABC的所有棱長均為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱PB，PC上，EFBC，若平面AEF恰好將該正三棱錐分成體積相等的兩部分，則EF的長度為_答案2 eq r(2)解析由題意VAPBC2VAPEF，設(shè)三棱錐APBC的高為h，由 eq f(1,3)SPBCh eq f(2,3)SPEFh，得 eq f(SPEF,SPBC) eq f(1,2).因?yàn)镋FBC，所以PEFPBC，所以 eq f(SPEF,SPBC) eq blc(rc)(avs4alco1(f(EF,BC) eq sup12(2) eq f(1,2)，解得EF eq f(r(2),2)BC2 eq r(2).

52、13如圖1，在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，將ACD沿AC折起到ACD的位置，得到圖2中的三棱錐DABC，其中平面ABC平面ACD，則三棱錐DABC的外接球的表面積為_答案4解析因?yàn)锳BAD，CDAD，AB2AD2CD2，所以AC eq r(2)，BC eq r(2)，因?yàn)锳C2BC2AB2，所以ACBC，又平面ABC平面ACD，平面ABC平面ACDAC，BC平面ABC，所以BC平面ACD，因?yàn)锳D平面ACD，所以BCAD，因?yàn)镃DAD，BCCDC，所以AD平面BCD，因?yàn)锽D平面BCD，所以ADBD，取AB的中點(diǎn)O，連接DO，OC，則DOOAOBOC，所以點(diǎn)O即

53、為三棱錐DABC的外接球的球心，所求外接球的半徑R eq f(1,2)AB1，所以三棱錐DABC的外接球的表面積為4R24124.14如圖，在三棱錐PABC中，點(diǎn)B在以AC為直徑的圓上運(yùn)動，PA平面ABC，ADPB，垂足為D，DEPC，垂足為E，若PA2 eq r(3)，AC2，則三棱錐PABE體積的最大值是_答案 eq f(r(3),2)解析由PA平面ABC，得PABC，又BCAB，PAABA，BC平面PAB，得BCAD，又ADPB，PBBCB，AD平面PBC，得ADPC，而DEPC，ADDED，PC平面ADE，可得AEPC.在RtPAC中，由PA2 eq r(3)，AC2，得PC4.由RtPEARtPAC，得 eq f(PE,PA) eq f(PA,PC)，則PE eq f(PA2,PC) eq f(12,4)3，在RtPAE中，由PE3，PA2 eq r(3)，得AE eq r(3)，SPAE eq f(1,2)AEPE eq