楊輝三角與布萊尼茲三角

1、楊輝三角與布萊尼茲三角授課教師：符日仕 授課班級：08電子技術(shù)與應(yīng)用1楊輝： 杭州錢塘人，南宋末年數(shù)學家、數(shù)學教育家。他著作甚多，由他編著的數(shù)學書共五種二十一卷，分別是詳解九章算法十二卷（1261年）、日用算法二卷、乘除通變本末三卷、田畝比類乘除算法二卷、續(xù)古摘奇算法二卷。其中后三種合稱為楊輝算法，朝鮮、日本等國均有譯本出版，后流傳世界。 “楊輝三角”出現(xiàn)在楊輝編著的詳解九章算法一書中，此書還說明表內(nèi)除“1”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和。楊輝指出這個方法出于釋鎖算書，且我國北宋數(shù)學家賈憲（約公元11世紀）已經(jīng)用過它，這表明國發(fā)現(xiàn)在 這個表不晚于11世紀。2 二項式（a+b）n展開式的二

2、項式系數(shù)，當n依次取1，2，3時，列出的一張表，叫做二項式系數(shù)表，因它形如三角形，南宋的楊輝對其有過深入研究，所以我們又稱它為楊輝三角（表1）例如 ： ，它的兩項的系數(shù)是1和1； ，它的三項系數(shù)依次是1、2、1； ，它的四項系數(shù)依次1、3、3、1。什么是楊輝三角？ 3規(guī)律：（1）楊輝三角的第2K-1行（K是正整數(shù)）的各數(shù)字之除了兩端為1，其余都是偶數(shù)。（2）行數(shù)為素數(shù)（質(zhì)數(shù)）時，如第2，3，7，11等行，除了兩端的1外，行數(shù)可以整除其余各數(shù)。（3）計算一下楊輝三角中各行數(shù)數(shù)學之和第2行 1+1=21第3行 1+2+1=4=22第4行 1+3+3+1=8=23第5行 1+4+6+4+1=16=2

3、4第6行 1+5+10+10+5+1=32=25。 。第n+1行 Cn0+Cn1+Cn2+Cnr+ Cnn-1+ Cnn=2n 第n+1行 數(shù)字的和為2n，前n行所有數(shù)的和為2n-1,它恰好比第n+1的和小2 n小1。4（4）從楊輝三角中一個確定的數(shù)的“左（右）肩出發(fā)，向右（左）上方作一條和左（右）斜邊平行的射線，在這條射線上的各數(shù)的和等于這個數(shù)。 例如：101234， 2013610，（第4條斜線）根據(jù)這一性質(zhì)，猜想下列數(shù)列的前n項和：111 1（第1條斜線）123 （第2條斜線）136 （第3條斜線）1410 （第r+1條斜線）于是有一般性結(jié)論： 一般地，在第m條斜線上（從右上到左下）前n

4、個數(shù)字的和，等于第 條斜線上的第 個數(shù)51，1，2，3，5，8，13，21，34，此數(shù)列an滿足, a1=1, a2=1, 且 an = an-1 + an-2 (n3) （5）如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？ 這就是著名的斐波那契數(shù)列（斐波那契，中世紀意大利數(shù)學家，傳世之作算術(shù)之法）6？問題： 楊輝三角與“堆垛術(shù)”（三角垛，正方垛， ）我國古代數(shù)學的偉大成就堆垛術(shù) 2、將圓彈堆成三角垛：底層是每邊n的三角形，向上逐層每邊少一個圓彈，頂層是一個圓彈，求總數(shù)：1、計算11的1、2、3、次冪，看一看與楊輝三角有 什么有趣的聯(lián)系？7觀察楊輝三角所蘊含的數(shù)量關(guān)系（表2）8（1）表中每個數(shù)都是

5、組合數(shù)，第n行的第r+1個數(shù)是（2）三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字1，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字相加，也就是（3）楊輝三角具有對稱性（對稱美），即（4）楊輝三角的第n行是二項式（a+b）n展開式的二項式系數(shù)，即楊輝三角基本性質(zhì)：介紹楊輝三角蘊含的基本規(guī)律 ：9 德國數(shù)學家萊布尼茲在研究中發(fā)現(xiàn)了下面的單位分數(shù)三角形，其特點是單位分數(shù)是分子為1，分母為正整數(shù)的分數(shù)。由于這個三角形最早是由萊布尼茲作出，所以叫做萊布尼茲單位分數(shù)三角形，或簡稱為萊布尼茲三角形。根據(jù)前五行的規(guī)律，可以知道第六行的第三個數(shù)是（ 1/60 ） 在觀察中進行角度的轉(zhuǎn)換，打破常規(guī)，從下到上。楊輝三角中，一肩扛兩數(shù)，是從上到下習慣觀察順序，上行兩數(shù)的和與下行中間正對數(shù)相等；萊布三角形中，一腳踏兩數(shù)，是自下而上的觀察順序，下行兩數(shù)的和與上行中間正對數(shù)相等. 10布萊尼茲三角與楊輝三角有著相似的性質(zhì)：（1）第n+1條線上所有數(shù)之和等于1/n。即，某些由單位分數(shù)組成的無窮級數(shù)可以由布萊尼茲三角求得。如：1/2 = 1/3 + 1/12 + 1/30 + 1/4 = 1/5 + 1/30 + 1/105 + （2）布萊尼茲三角中每一個數(shù)等于其腳下兩個數(shù)之和。如：1/2 = 1/3 + 1/6 X 1/6 = 1/12 + 1/12 X 1/12 = 1/20 + 1/3011 科學的發(fā)現(xiàn)離不開仔細的觀察，數(shù)學領(lǐng)