復(fù)數(shù)典型例題原

1、2m23m2z+(m2+3m10)i例1當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)m225；(1)是實(shí)數(shù)；(2)是虛數(shù)；(3)是純虛數(shù)。Jm2+3m-10=0解：(1)z為實(shí)數(shù)，則虛部m2+3m-10二0，即m225豐0解得m=2/.m=2時(shí)，z為實(shí)數(shù)m2+3m一10豐0(2)z為虛數(shù)，則虛部m2+3m-10豐0，即m225豐0解得m豐2且mH52m23m2二0m2+3m10豐0(3)z為純虛數(shù)2一25豐011mm解得2:當(dāng)2時(shí)，Z為純虛數(shù)10z+o(2)z例3求同時(shí)滿足下列條件的所有復(fù)數(shù)z：(1)z是實(shí)數(shù)的實(shí)部和虛部都是整數(shù)。解.設(shè)za+bi(a,beR且a2+b2豐0)101010(abi)z+a+bi+a+b

2、i+則za+bia2+b2_Z110、“10、TOC o 1-5 h za(1+)+b(1)ia2+b2a2+b210110一z+1z+6由(1)知z是實(shí)數(shù)，且z10b(1-2)0a2+b2即b0或a2+b21a(1+)6又a2+b2a+巴6當(dāng)b=0時(shí)，*化為a無(wú)解。當(dāng)a2+b2二10時(shí)，*化為12a6由(2)知a二人2,3相應(yīng)的b=3，土晶(舍)，土1因此，復(fù)數(shù)z為：1土3i或3土i例4設(shè)復(fù)數(shù)1z一i|】，且z豐0，z豐2io又復(fù)數(shù)w使w-2iz為實(shí)數(shù)，問(wèn)復(fù)數(shù)w在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形，并說(shuō)明理由。分析與解答：設(shè)z=a+bi，w二x+yi（a,b,x,yeR）由題z豐.a豐0,

3、wz豐2i且1z一i|=1b豐0且a2+b22b=0z一2i=x+yia+bi2iw2izx+yi2ia+biwu=記(x2+y22y)+2xi(a2+b22b)2aix2+(y一2)2(x2+y22y)+2xix2+(y2)2已知u為實(shí)數(shù)x2+y2一2y一2a2aia2+b2二0 x2+(y2)2a2+b2丁a豐0.x2+y22y=0即x2+（y1）2=1w在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是以（0,1）為圓心，1為半徑的圓又w一2i豐0.除去（0,2）點(diǎn)。例5設(shè)虛數(shù)z1,z2，滿足zj=z2（1）若z1，z2又是一個(gè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根，求1（2）若片=1+mi（i為虛數(shù)單位，meR），1勺

4、、邁,取值范圍。復(fù)數(shù)w=z2+3，求1w1的解（1）Tz1，z2是一個(gè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根,可設(shè)=a+bi（a,beR且b豐0），則z?=abi由z=z?得（a+bi）2=a一bi即：a2一b2+2abi=a一bi因此必共軛，根據(jù)復(fù)數(shù)相等，l2ab=b1a=27=J3b=/b豐0解得I2f1朽z=+I1221a=2b=一或I2v3.i21J3.或I(2)由于z2=z,z=1+miw二z+31212.w=(1+mi)2+3=4m2+2miI/.Iw1=(4-m2)2+4m2-A；(m2-2)2+12由于1幷邁且m豐0，可解得0m21,令m2u,IwI-J(u-2)2+12在uG(0,1上

5、,(u-2)2+12是減函數(shù)IwIg43,4)例6已知復(fù)數(shù)z滿足zzi(3z)=1-3，求z。方法一:設(shè)z-x+yi(x,ygR)，則x2+y2-i3(x+yi)-1-(3i)即x2+y2-3y-3xi-1+3i由復(fù)數(shù)相等得I-3x=3Jx-1Jx-1解得iy=0或Iy=3/.z-1或z=-1+3i方法二：zz-i(長(zhǎng))=1-(3i)zz1-3i+3iz即IzI2-1=3i(z+1)gRz+1是純虛數(shù)或0可令z-1+ai(agR)則1+a2i(-3+3ai)=1+3i即a2+3a-0a-0或a-3故z-1或z=-1+3iz2+2z0已知復(fù)數(shù)z滿足IzI-1且z，求z的值。解：設(shè)z=x+yi(兀

6、yGR)，由已知得x2+y2-1z2+-+2zz-(x+yi)2+2(x+yi)x+yi-(x2-y2+3x)+(2xy+y)iJx2-y2+3x2x(D)同alxl+1y|解析：可對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)檢查，A項(xiàng)，z-z2y,故A錯(cuò)，B項(xiàng)，z2=x2y2+2xyi，故b錯(cuò)，C項(xiàng)，|z-z|2y,故C錯(cuò)，D項(xiàng)正確。本題主要考察了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及其幾何意義，屬中檔題(3一i2(2010全國(guó)卷2理數(shù))(1)復(fù)數(shù)11+i丿A)-3-4i(B)-3+4i(C)3-4i(D)3+4i【答案】A命題意圖】本試題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.解析】(3-i21+i丿(3-i)(l-i)22=(1-2i)2=-3-4i.

7、iTOC o 1-5 h z(2010陜西文數(shù))2.復(fù)數(shù)z=在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A1+i(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義ii(1-i)1111=+1，所以點(diǎn)(，)位于第一象限1+i222221+2i(2010遼寧理數(shù))設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)召=1+A)(C)(B)a=3,b=1(D)a=1,b=3【答案】A【命題立意】本題考查了復(fù)數(shù)相等的概念及有關(guān)運(yùn)算，考查了同學(xué)們的計(jì)算能力1+2ifab=1【解析】由二1+i可得1+2i二(a-b)+(a+b)i，所以，解得a+bia+b二231a=2,b=，故選A。(2010江西理數(shù))1.已知(x

8、+i)(1-i)=y,則實(shí)數(shù)x,y分別為()A.x=-1，y=1B.x=-1，y=2C.x=1，y=1D.x=1，y=2【答案】D【解析】考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算?？刹捎谜归_(kāi)計(jì)算的方法，得(x-i)+(1-x)i=y，沒(méi)有虛部，x=1,y=2.(2010安徽文數(shù))已知i2=-1，則i(1-冋)=(A)帯3i(B)卞3+i(C)丫3i(D)U3+i2.B【解析】i(13i)=i+鶯3選B.【方法總結(jié)】直接乘開(kāi)，用i=1代換即可.(2010浙江文數(shù))3.設(shè)i為虛數(shù)單位，則=1+i(A)-2-3i(B)-2+3i(C)2-3i(D)2+3i解析：選C,本題主要考察了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，屬容易題a+2i

9、(2010山東文數(shù))(2)已知=b+i(a,bgR)，其中i為虛數(shù)單位，則a+b=iA.1B.1C.2D.3答案：B(2010北京文數(shù))在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6+5i,-2+3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(A)4+8i(B)8+2i(C)2+4i(D)4+i答案：C(2010四川理數(shù))(1)i是虛數(shù)單位，計(jì)算i+i2+i3=(A)1(B)1(C)i(D)i解析：由復(fù)數(shù)性質(zhì)知：i2=1故i+i2+i3=i+(1)+(i)=一1答案：A+i(2010天津文數(shù))(1)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=1i(A)1+2i(B)2+4i(C)-1-2i(D)2-i【答案】A【解析】本題主

10、要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本運(yùn)算，屬于容易題。進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算需要份子、分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，同時(shí)將i2改為-1.3+i(3+i)(1+i)2+4i,1-i(1-i)(1+i)2【溫馨提示】近幾年天津卷每年都有一道關(guān)于復(fù)數(shù)基本運(yùn)算的小題，運(yùn)算時(shí)要細(xì)心，不要失分哦。1+3i(2010天津理數(shù))(1)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)二1+2i(A)1+i(B)5+5i(C)-5-5i(D)-1i【答案】A【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本運(yùn)算，屬于容易題。進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算需要份子、分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，同時(shí)將i2改為-1.1+3i(-l+3i)(l2i)5+5i1.1+2i(1+2i)(1-

11、2i)5【溫馨提示】近幾年天津卷每年都有一道關(guān)于復(fù)數(shù)基本運(yùn)算的小題，運(yùn)算時(shí)要細(xì)心，不要失分哦。(2010廣東理數(shù))2.若復(fù)數(shù)Z=1+i,z=3-i，則ZZ=()A4+2iB.2+iC.2+2iD.32.A.z-z=(1+i)-(3i)=1x3+1x1+(31)i=4+2i121i(2010福建文數(shù))4.i是虛數(shù)單位，(二)4等于()1-iA.iB.-iC.1D.-1答案】C1+ir(1+i.【解析】(W=4=i4=l，故選C.1-i2【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，考查同學(xué)們的計(jì)算能力.3+2i(2010全國(guó)卷1理數(shù))復(fù)數(shù)二2-3i(A)i(B)-i(C)12-131(D)12+131(A

12、)i(B)-i(012-131(D)12+13i分析：本小題主要考査復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算解：3+2j=(3+2z)z=(3+2=(注：本題也可用分母實(shí)數(shù)化處理j故選應(yīng)2-3!(2-3z)z3+2za+2i=./八a+2iT.(2010山東理數(shù))(2)已知.=b+i(a,b).=b+i(a,bR),其中i為虛數(shù)單ii位，則a+b=(A)-1(B)1(C)2(D)3【答案】Ba+2i【解析】由=b+i得a+2i=bi-1,所以由復(fù)數(shù)相等的意義知a=-1,b=2，所以a+b=1,故選iB.【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)相等的意義、復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，屬保分題。1.(2010安徽理數(shù))1、i是虛數(shù)單位，3+3iA、1

13、73i12l1B、+i41213.c+1C、2+6D、1.B解析】i（總-3i）3i+30在(a,b)上恒成立，則fx)在(a,b)上是增函數(shù)，f(x)0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；若f(x)0在(a,b)上恒成立，則fx)在(a,b)上是減函數(shù)，f(x)0,則fx)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f(x)f(x0)就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值=f(x0),x0是極小值點(diǎn)函數(shù)的最大值和最小值:在閉區(qū)間la,訂上連續(xù)的函數(shù)f(x)在la,bl上必有最大值與最小值，分別對(duì)應(yīng)該區(qū)間上的函數(shù)值的最大值和最小值。極值的性質(zhì)：極值是一個(gè)局部概念由定義，極值只是

14、某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小+并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最/卜函數(shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止個(gè).極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系+即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值。函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn).而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)判別f(x0)是極大、極小值的方法：若x滿足廣(x)=0，且在x的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則X是f(x)的極值點(diǎn)，0000f(x)是極值，并且如果f(x)在x兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”則x是f(x)的極大值點(diǎn)，000f(x)是極大值;如果

15、廣(x)在x兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”則x是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x)0000是極小值求函數(shù)fx)的極值的步驟：確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x)求方程f(x)=0的根+用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格檢查f(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么fx)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，則fx)在這個(gè)根處無(wú)極值利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較得出函數(shù)f(x)在la,b上的最值利用導(dǎo)數(shù)求解證明不等式：主要方法為將不等

16、式t(x)g(x)左右兩邊的多項(xiàng)式移到一邊，構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)f(x)=t(x)-g(x)，通過(guò)對(duì)f(x)求導(dǎo)，根據(jù)f(x)的大小和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知條件進(jìn)行求解或證明。四定積分與微積分基本原理(理科考查，文科不考查)(一)曲邊梯形面積與定積分1、定積分定義：設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有界(通常指有最大值和最小值)，在a與b之間任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)，a=xxxx0時(shí)，和s總是趨向于一個(gè)定值，則該定值便稱為函i數(shù)f(x)在a,b上的定積分，記為Jbf(x)dx，即Jbf(x)dx=lim工f(g)Axaaii=1其中，工fG)Ax稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b的積分和.i=1ii2、定積分的幾何意義定積分Jbf(x)dx在幾何上,當(dāng)f(x)0時(shí)，表示由曲線y=f(x)、直線x=a、直線ax=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積；當(dāng)f(x)0時(shí)，表示由曲線y=f(x)、直線x=a、直線x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積的負(fù)值；一般情況下，表示介于曲線y=f(x)、兩條直線x=a、x=b與x軸之間的個(gè)部分面積的代數(shù)和(二)微積分