2021-2022學(xué)年高二物理競賽課件：一維諧振子勢場

1、一維諧振子勢場2 有一個質(zhì)量為的粒子在一維諧振子勢場中運(yùn)動在動能的非相對論近似下，定態(tài)能量為，定態(tài)波函數(shù)為其中為歸一化常數(shù)考慮T與p的相對論修正，計算能級的移動至階提示：一維諧振子勢場3注意：相對論公式只是對動能的修正，總能量為而總能量是靜能與動能之和，所以解：由前面分析可知這是非簡并微擾問題。能量的一級修正為考慮利用題目所給出的條件遞推公式4則其精度符合題目要求。5 電子在類氫離子勢場 中的定態(tài) 能量為 ，定態(tài)波函數(shù)為 。 這是在動能 的非相對論近似下得到 的結(jié)果?，F(xiàn)在考慮 的相對論修正至 階， 即修正項(xiàng)為 計算能級 的移動至 階。提示：分析：這顯然是簡并的微擾論問題。其中6解：利用公式則可

2、知， 的所有非對角元均為0。利用 的本征值 是 簡并的,相應(yīng)的本征函數(shù)為 為求矩陣元方便尋找同H0的關(guān)系7也就是說，我們可以選 作為0級近似波函數(shù)使 從而 對角化。（已經(jīng)介紹：新選的0級波函數(shù)是使 對角化的）。即每一個分裂能級對應(yīng)一個 ，可用非簡并態(tài)微擾方法來處理簡并微擾問題。此時8代入上式將及得以上用到Bohr半徑9一原子在 向磁場 中除了能級的Zeeman分裂外,還受到 的微擾其中 為Bohr磁子, 為Bohr半徑, 為電子電荷（）已知?dú)湓踊鶓B(tài)波函數(shù)，求一級微擾能（）估計這項(xiàng)修正的能級（設(shè) 高斯）， 同Zeeman分裂( 量級)比較;（）分析這個修正的物理意義 。10分析：氫原子的基態(tài)能

3、級是非簡并的，應(yīng)該使用 非簡并微擾論解：（1）一級微擾能即能量的一級修正（2）Zeeman效應(yīng)中給出了分裂強(qiáng)度故其比值為11其中精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)為電子的靜能為玻爾磁子是個已知量且 B=104高斯可以得到 =2.1210-6。（3） 是原子的磁四極矩同磁場的作用能！12（）給出此體系的Hamiltonian量及其本征函數(shù) 與本征值 。 一根質(zhì)量均勻分布長度為的桿，以它的中 心為固定點(diǎn)，被約束在一平面上轉(zhuǎn)動。此桿具有 質(zhì)量 和固定于兩端的電荷 與 。（ 2 ）如有一個處于該轉(zhuǎn)動平面的恒定弱電場作用 于這個體系，用微擾方法求基態(tài)新的本征函 數(shù)（一級近似）與本征能量（二級近似）（ 3 ）如果外電場很強(qiáng)，求基態(tài)近似波函數(shù)與能量。提示: 1. 這是個剛性轉(zhuǎn)子問題，應(yīng)該會按照平動的形式寫 出相應(yīng)的哈密頓； 2. 外場強(qiáng)和弱時對轉(zhuǎn)子的影響肯定不一樣，應(yīng)該會 分別處理。13解：（1）設(shè)桿沿z軸轉(zhuǎn)動，xy為轉(zhuǎn)動平面。無外場的哈密頓可以比照平動方式寫出其本征值與本征函數(shù)分別為（2）可以考慮所加弱電場的方向沿x方向， 即當(dāng)所加外電場較弱時，轉(zhuǎn)子可以在xy平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，但受到外場的微擾，轉(zhuǎn)動不是很均勻。-Q+Qd/2z14基態(tài)零級近似能量 是非簡并的，零級近似波函