理數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題：極值點(diǎn)偏移問題的不等式解法

1、極值點(diǎn)偏移問題的不等式解法我們熟知平均值不等式：a,b Rab a2ba22b2等號(hào)成立的條件是a b我們還可以引入另一個(gè)平均值：對(duì)數(shù)平均值：abln a lnb 那么上述平均值不等式可變?yōu)椋簩?duì)數(shù)平均值不等式a b, a b ，ababln a ln bab2不妨設(shè) a b，設(shè) a bx，則原不等式變?yōu)椋簒12(x 1)x1ln xx1x題目1： ( 2015長春四模題)已知函數(shù)f (x) ex ax有兩個(gè)零點(diǎn)x1 x2，則下列說法錯(cuò)誤的是C. x1x2 1 D.有極小值點(diǎn)x0，且x1 x2 2x0A. a eB. x1 x2 2Cf (x)導(dǎo)函數(shù)：f (x) ex a有極值點(diǎn)x ln a，而

2、極值f (lna) a alna 0， a e， A 正確 .f (x) 有兩個(gè)零點(diǎn)：ex1 ax1 0，ex2 ax2 0，即：x1ln a ln x1 -得：x2lna ln x2x1x2l n x1l nx2根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式： TOC o 1-5 h z x1x2x1x212121 x1x22 ln x1ln x21 2x1 x22 ，而 1x1x2 ，x1x2 1 B 正確， C 錯(cuò)誤而 +得：x1x22ln a ln x1x2 2ln a ，即 D 成立 .題目2： ( 2011 遼寧理)已知函數(shù)f x ln x ax2 (2 a)x.若函數(shù) y f x 的圖像與x軸交于 A,B

3、 兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f x003 問，其中第二問為第三問的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接去證明第三問：設(shè)A(x1, f (x1) ，B(x2,f (x2)，x1x2，則x0 x12x2，ln x1 ax12 (2 a)x1 0 ln x2 ax22 (2 a)x2 0 x1x20-得：lnx1ln x2a(x1x2)(x1x2)(2a)( x1x2)0，化簡得：a(x1 x2 ) (2 a) ln x1 ln x2而根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式：x1x2x1x2ln x1ln x22等式代換到上述不等式x1x2a(x1 x2 ) (2 a) 22ax0 (2 a)x0 根據(jù)

4、：2ax0 (2 a)x0 0(由得出)式變?yōu)椋?2ax0 (2 a)x0 1 0(2x0 1)(ax0 1) 01(2x0 1) 0，x0，x0在函數(shù)單減區(qū)間中，即：af (x0) 0題目3：(2010 天津理)已知函數(shù)f x xe x x R .如果x1x2，且fx1f x2 .證明：x1 x2 2.【解析】原題目有3 問，其中第二問為第三問的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接去證明第三問：設(shè) f(x1 )f(x2)c，則x1c ，x2c，(x1x2) 兩邊取對(duì)數(shù)e1 e2ln x1 x1ln c ln x2 x2 ln c -得：x1 x2ln x1 ln x2根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式 T

5、OC o 1-5 h z x1 x2x1 x21ln x1 ln x2x1 x22題目4： ( 2014 江蘇南通市二模)設(shè)函數(shù)f xex ax a a R ，其圖象與x 軸交于A x1,0 B x2,0 兩點(diǎn)，且x1 x2 .證明： fx1x20(f x 為函數(shù) f x 的導(dǎo)函數(shù)).【解析】根據(jù)題意：ex1 ax1 a 0， ex2 ax2 a 0移項(xiàng)取對(duì)數(shù)得：x1ln( x1 1) ln a x2 ln( x2 1) ln a -得：x1 x2 ln( x1 1) ln( x2 1)，即：(x1 1) (x2 1)1ln(x1 1) ln(x2 1)根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式：(x1 1) (x

6、2 1)(x1 1)(x2 1)12112ln( x1 1) ln( x2 1)(x1 1)(x2 1) 1ln(x1 1)(x2 1) 0，+得：x1 x2 2ln a ln( x1 1)(x2 1) 2ln a根據(jù)均值不等式：x1x2x1x2ln a2f (x)在 ( ,ln a)單調(diào)遞減f (x1x2 ) 0題目5： 已知函數(shù)f (x) xln x與直線y m交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn).x1ln x1ln x2ln x1x1 x2m()ln x1 ln x2x1x2mln x1ln x2ln x1 ln x21求證： 0 x1 x22ex1 ln x1m ，x2 ln x

7、2m，可得：mx2ln x2 + 得：根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式x1 x2m(ln x2 ln x1) ln x1 ln x2x1x22ln x1ln x2(x1 x2 )利用式可得：m(ln x1 ln x2 ) m2ln x1 ln x2ln x1ln x2y m 與 y xlnx 交于不同兩點(diǎn)，易得出則m 02 ln(x1 x2 )2 lne0 x1x212e21.已知后數(shù)f （x） =xlnx-x2-x+a （a。）在其定義城內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).（I）求a的取值范圍,C ）記兩個(gè)極值點(diǎn)分別為xn石，且. 0.若不等式/6XX2恒【解答】解：（I1由熟意知，的蚊f （力的定義域?yàn)椋?, +8

8、）,方程f （N）二0在（0. +8）有兩個(gè)不同根，即方程lnz-H=0在（0. +8）有兩個(gè)不同根，（坪法一）轉(zhuǎn)化力由數(shù)y=ln工與的數(shù)y=ax的圖象在（0, +8）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如右圖.可見,若令過原點(diǎn)且切干的故y=】nx因零的直線斜率為k,只須0nk.令切點(diǎn) A （xo Inxo）.故叱1寸又1 lnxf 故-二一- X。 X。解得.Me,故k,，（解法二）轉(zhuǎn)化為函數(shù)g （x）二處與函數(shù)尸a的圖象在（0, +8）上有兩個(gè)不同交點(diǎn). / /、 1 - Inx 又 g (x)=即 0Kx0, xe 時(shí)，g? (x) 0,故g （x）在（0, e）上單調(diào)增，在3, +8）上單調(diào)減.-8,在

9、在 X f +8 時(shí),g (x) f 0 ,故 g(x)農(nóng)產(chǎn)g (e) =j又g （x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1,且在x-O時(shí)，g （x）故g（X）的草圖如右圖,可見，要想函數(shù)g（X）=處與函數(shù)y=a的圖象在（0, +8）上有兩個(gè)不同交點(diǎn).RMiOW.（售法三）令 （s） =lnx-ax,從而轉(zhuǎn)化為函豺S 0）,若人0,可見（ （x） 0在（0,）上但成立，所以6 （x）在（0,仲）單調(diào)堵,此時(shí)g （x）不可能有兩個(gè)不冏本點(diǎn).S a0.在0X0,在 X時(shí) s （X）V。,吸大r，：7）所以g（x在（0.-）上單調(diào)藝.在（工，XQ）上單超堿.從而g（X）= lnr - La又因?yàn)樵?r-0 時(shí), 8

10、 (x) f-8,在在KO時(shí)， (x) -8于是只須2 g(X)g:0,即lrA-l0，所以0a1. ae綜上所述.0a1. e(II )因?yàn)?八 x *2八等價(jià)于1 ln&+入Inx：.由(1 )可知x；, x；分別是方程In然- ax=0的兩個(gè)根，即 Inx產(chǎn)a號(hào), Inx盧ax：所以原式等價(jià)于 1+人 0, 0 x：x：.所以原式等價(jià)于a，1：.X十八x2X又由 lnx：=ax： Inx；二ax；作差得，In=( X- X-，即 2所以原式等價(jià)于X (+ 入)(X 一 X ) 因?yàn)? x：x；,原式恒成立,即13J恒成立.X2X 1+ 人 X2令 t=一- t (0, 1),x2則不等式lnt1時(shí),可見t(0. 1)時(shí)，hz (t) 0.所以h (t)在t (o,1)上單調(diào)增，又