高階譜講義第3章

1、第3章高斯有色噪聲中的諧波恢復(fù)3.1模型假設(shè)我們關(guān)心這樣一類有噪觀測(cè)值y(n) = x(n) + w(n) = a (n)S (w ) + w(n)(3.1)i=1其中，S ()為信號(hào)波形(通常已知)，w為未知常數(shù)，a (n)為非高斯隨機(jī)過程 或隨機(jī)變量。附加噪聲w(n)假設(shè)為能譜密度未知的高斯有色噪聲，且w(n)與x(n) 相互獨(dú)立。在噪聲中諧波恢復(fù)RHN (Retrieve Harmonic in Noise)問題中，如果信號(hào)x(n) 包含p個(gè)復(fù)數(shù)諧波分量，且各個(gè)諧波頻率各不相同。這時(shí)S. (wi) = a i exp( jwn)， a = exp( jw )，其中a和w為未知常數(shù)，平為獨(dú)

2、立地服從同一分布的(i.i.d.)隨機(jī) iii ii變量，且平.在-兀,兀)上服從均勻分布，則x(n) = 2a expj(w n + 甲)(3.2)i=1稱作復(fù)數(shù)諧波信號(hào)。如果x(n)包含p個(gè)實(shí)數(shù)諧波分量，則x(n) = Xa cos(w n + 甲)(3.3)i=1稱作實(shí)數(shù)諧波信號(hào)。我們感興趣的問題是怎樣由有噪觀測(cè)值y(n)估計(jì)諧波數(shù)目p，諧波頻率w i及諧波幅度a J。3.2諧波信號(hào)的高階累積量特性1.諧波信號(hào)的高階累積量特性由第1章可知，零均值實(shí)數(shù)高斯隨機(jī)過程y/勺二階、三階和四階累積量分 別為cum( y , y ) = E y y i ji jcum( y , y , y ) =

3、E y y y i j ki j kcum(y , y , y , y ) = Ey y y y Ey y Ey y i j k li j k li j k l-Eyy Ey y - Eyy Ey y (3.4)i k j li l j k由于式(3.1)中過程y(n)可能為復(fù)數(shù)，因此需要定義復(fù)數(shù)過程的高階累積量。復(fù)數(shù)過程的k階累積量可以有2k種不同的定義方式(k項(xiàng)中的任何一項(xiàng)都可以取共軛或不取共軛)。對(duì)于不同的隨機(jī)過程，需要根據(jù)其特征選取不同的定義方式。 這可以從下面的引理加以說明。引理3.1設(shè)隨機(jī)變量中在-兀,兀)上服從均勻分布，且s = ejP，則s的各階 累積量分別為E s = 0cu

4、m(s,s) = 0，cum(s*,s) = E|s|2 = 1cum( s, s, s) = cum( s *, s, s) = 0cum( s, s, s, s) = cum( s *, s, s, s) = 0cum(s*,s*,s,s) = E|s|4 -E(s2)2 一 2E|s|2E|s|2 = -1該引理的證明由累積量的定義式(3.4)容易得到。由此可知，單個(gè)諧波s = ejcp的三階累積量恒等于零，對(duì)于一般的諧波信號(hào)， 我們有如下定理定理3.1諧波信號(hào)式(3.2)和式(3.3)的三階累積量恒等于零，即cum(x(n),x(n + m ),x(n + m ) = cum(x*(n

5、),x(n + m ),x(n + m ) = 0(3.5)對(duì)于觀測(cè)過程y(n)，我們有下列推論：推論3.1設(shè)w(n)為高斯(白色或有色)噪聲，x(n)為諧波信號(hào)式(3.2)或式(3.3)，且w(n)與x(n)相互獨(dú)立，則y(n) = x(n) + w(n)的三階累積量恒等于零，即(3.6)cum(y(n), y(n + m ), y(n + m ) = cum(y* (n), y(n + m ), y(n + m ) = 0該推論說明高斯噪聲中的諧波恢復(fù)問題不能利用三階累積量信息來處理。下面討論復(fù)數(shù)諧波信號(hào)的四階累積量。由于式(3.2)中信號(hào)x(n)是平穩(wěn)的， 所以(x(n),x(n + m

6、)x(n + m2)x(n + m3)的四階累積量必須與變量n無關(guān)。由于RHN問題的復(fù)數(shù)諧波信號(hào)x(n)可以表示成復(fù)數(shù)指數(shù)和的形式，故四項(xiàng)中的兩項(xiàng) 必須取共軛。這樣，我們給出四階累積量的定義如下：(m , m , m ) = cum(y* (n), y*(n + m ), y(n + m ), y(n + m )123123(3.7) TOC o 1-5 h z 其中cum(x ,x ,x ,x )的表達(dá)式見式(3.4)。 0123與傳統(tǒng)的定義方式一樣，我們定義零均值復(fù)數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程y(n)的自相關(guān)函 數(shù)為r (m) = cum(y*(n), y(n + m)(3.8)現(xiàn)在討論諧波信號(hào)的四階累

7、積量特性。定理3.2對(duì)于模型(3.1)，設(shè)氣(n)為零均值獨(dú)立非高斯隨機(jī)過程，其四階累積量為c4 .(mm2,m3),w(n)為高斯噪聲，則y(n)的四階累積量為c(m,m ,m ) = s*()S*()S ()S()c(m,m ,m )(3.9)4, y123n .n+min+min+mi4,a.123.=11231若氣(n)為零均值獨(dú)立的非高斯隨機(jī)變量氣，且氣的二階和四階累積量分別為Y(i)和Y(i)，則2,a4,ac (m ,m ,m ) = 2S*( )S*( )S( )S ( )Y (i)(3.10)4, y 123n i n+mi n+min+mi 4,ai=1123且r (m)

8、= 2LS*(3 )S()Y(i) + r (m)(3.11)yn i n+mi 2,awi =1定理3.3對(duì)于式(3.2)中的復(fù)數(shù)諧波信號(hào)x(n)，其四階累積量為|a |4 exp j(-m + m + m )其自相關(guān)函數(shù)為4 e x j!D (m) k定理3.4對(duì)于式(3.3)中的實(shí)數(shù)諧波信號(hào)x(n)，其四階累積量為c (m , m , m ) = -8a 4 cos (m - m - m ) + cos (m - m - m )4, x1238 kk 123k 231= 1+ cos w (m - m - m )其自相關(guān)函數(shù)為r (m)=8 a 4 cos (m)= 1由定理3.3和定理

9、3.4可以得到下列推論：推論3.2式(3.2)中復(fù)數(shù)諧波信號(hào)的四階累積量的一維對(duì)角切片為c (m) = c (m, m, m) = -8 |a,= 1推論3.3式(3.3)中實(shí)數(shù)諧波信號(hào)的四階累積量的一維對(duì)角切片為c (m) = c (m,m,m) = -28a4 c o c( m)，k=1卜面給出廣義復(fù)數(shù)諧波信號(hào)和廣義實(shí)數(shù)諧波信號(hào)的定義。定義3.2如果(3.12)(n) = 8 a 2 exp j(% n + 甲)k=1其中，ak,氣和%如式(3.2)定義3.3如果則稱(n)為廣義復(fù)數(shù)諧波信號(hào)。(3.13) (n) = 8 a 2 c o(gb n + 甲)k=1其中，ak, %和%k如式(

10、3.3)，則稱(n)為廣義實(shí)數(shù)諧波信號(hào)。容易證明，諧波信號(hào)的四階累積量的一維對(duì)角切片與廣義諧波信號(hào)的自相 關(guān)函數(shù)之間有如下關(guān)系。定理3.5復(fù)數(shù)諧波信號(hào)(式(3.2)的四階累積量的一維對(duì)角切片(m)與廣 義復(fù)數(shù)諧波信號(hào)(式(3.12)的自相關(guān)函數(shù)七(m)的關(guān)系為 TOC o 1-5 h z c (m) = -r (m) 4,尤定理3.6實(shí)數(shù)諧波信號(hào)(式(3.3)的四階累積量的一維對(duì)角切片(m)與廣義實(shí)數(shù)諧波信號(hào)(式(3.13)的自相關(guān)函數(shù)r (m)的關(guān)系為/、3/、c (m) = - r (m) 4/4定理3.5和定理3.6表明，諧波信號(hào)的四階累積量的一維對(duì)角切片正好與具 有相同頻率及相應(yīng)幅度的

11、廣義諧波信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)相等(若不考慮因子-1或 -3/4)。2.線性預(yù)測(cè)方程我們知道，復(fù)數(shù)諧波信號(hào)滿足以下具有零輸入的AR (p)模型X a (m)x(n - m) = 0m=0其中a(0) = 1，且多項(xiàng)式A(z) = a(m)z-m的根為z = e (i = 1,2, ,p)。而實(shí)數(shù)m=0諧波信號(hào)則滿足以下AR(2p)模型藝 a (m)x(n - m) = 0m=0其中多項(xiàng)式A(z) = a(m)z-m的根為z = e+汽(i = 1,2, , p)。于是有下列定理。m=0定理3.7對(duì)于有噪觀測(cè)值y(n) = x(n) + w(n)，其中w(n)為白噪聲，且rw(m) = b26(m)，

12、如果x(n)為復(fù)數(shù)諧波信號(hào)，則基于自相關(guān)的線性預(yù)測(cè)方程La(m)r (k - m) =b 2a(k) ywm=0成立；如果x(n)為實(shí)數(shù)諧波信號(hào)，則基于自相關(guān)的線性預(yù)測(cè)方程La(m)r (k - m) =b 2a(k) ywm=0成立。定理3.8對(duì)于有噪觀測(cè)值y(n) = x(n) + w(n)，其中w(n)為i.i.d.非高斯白噪聲，且c (m ,m ,m ) = y 6(m ,m ,m )。如果x(n)為復(fù)數(shù)諧波信號(hào)，則基于四4, w 1 234, w1 2 3階累積量的線性預(yù)測(cè)方程 a(m)c (m , m , k 一 m) = y a(k)m=0成立；如果x(n)為實(shí)數(shù)諧波信號(hào)，則方程

13、La(m)c (m , m , k 一 m) = y a(k)m=0成立。定理3.9對(duì)于有噪觀測(cè)值y(n) = x(n) + w(n)，其中w(n)為高斯噪聲(白色或有色)，如果x(n)為復(fù)數(shù)諧波信號(hào)，則基于四階累積量的線性預(yù)測(cè)方程a(m)c (m , m , k - m) =0m=0(3.14)成立；如果x(n)為實(shí)數(shù)諧波信號(hào)，則方程a(m)c (m , m , k - m) =0m=0(3.15)成立。定理3.73.9表明，基于自相關(guān)的線性預(yù)測(cè)方程僅適用于白噪聲情形，而基 于四階累積量的線性預(yù)測(cè)方程不僅適用于白噪聲情形，而且還適用于高斯有色噪 聲的情形。正是基于線性預(yù)測(cè)(3.14)和(3.

14、15)估計(jì)高斯有色噪聲中的諧波信號(hào)模型 參數(shù)a(m)，進(jìn)而估計(jì)諧波頻率氣。我們知道，在所有的自相關(guān)譜估計(jì)法中，SVD-TLS方法和ESPRIT方法分 別是線性預(yù)測(cè)法和特征結(jié)構(gòu)法中性能最為優(yōu)越的方法，而自相關(guān)SVD-TLS方法 已經(jīng)推廣到四階累積量情形。因此，下面將ESPRIT方法推廣到四階累積量情形， 給出了四階累積量ESPRIT方法(FOC-ESPRIT)。3.3高斯白噪聲中的諧波恢復(fù) 設(shè)有噪觀測(cè)值為y (n) = x(n) + w( n)其中，x(n)為諧波信號(hào)，w(n)高斯白噪聲1 .自相關(guān)函數(shù)Pisarenko法自相關(guān)線性預(yù)測(cè)方程實(shí)數(shù)情況:a(m)r (k - m) =b 2a(k)

15、ywm=0復(fù)數(shù)情況:a(m)r (k - m) =b 2a(k) ywm=0其中：r (m) =02 d (m)， r ()是y (n)的自相關(guān)函數(shù)。證明:,/ y(n) = x(n) + w(n),x(n) = y (n) - w(n)(實(shí)數(shù)情況)又 a(m)x(n - m) =0m=0Epa(m) y (n - m) =J a(m)w(n - m)兩邊同乘以j*(n-k)再取期望，得a(m) E y *(n k) y(n m)a(m)E y *(n k) w(n m)m=0m=0其中Ey*(n k)y(n m) = r (n m)yE y *(n k) w(n m) = E x * (n

16、k) + w* (n m)w(n m)=Ew* (n k)w(n m) = r (n m) = b 26 (k m)wwa(m)b 2 6 (k m) = b 2 a(k) w預(yù)測(cè)方程變?yōu)椋篴(m)r (k m) =Zym=0m=0討論：若上式中 k = 2p +1,2p + 2,4p +1其矩陣形式為:.暑a(m)r (k m) =0m=0p + 1) ry (2p + 2):ry (2 p) r (2p +1):U) ry (2)a(0) 1:匕(4 p +1)r (4p)ry (2 p +1)_a (2 p)y=0(文)若相關(guān)函數(shù)已知，則可計(jì)算出a(m),m = 0,2p,/ y(n)

17、= x(n) + w(n) = a. c o c n(+ 甲.)+ w(n)m=0相關(guān)函數(shù)為：ry (0) =b w+ Orq.=1吐2對(duì)上式按k = 1,2,.,p展開，得矩陣其中：FS = rc ocsc oosc oos12pc o2cc o2oc o2c1:2:pc o psoc o psoc o pc12pF =r =,(1),r (2)，r (p)Ty yyS = SS 2，.,Sp TS =a 2/2, i = 1,2,p恢復(fù)方法：根據(jù)觀測(cè)值y ()計(jì)算自相關(guān)函數(shù)r (m)(2p +1 m 4p +1)根據(jù)大矩陣，求 a (1),a (2 p)。 A(z)=藝a(m)z-m 求.

18、(i = 1,2,.,p)。m=0(4)根據(jù)(FS = r)S = F-1r 求 a . p。2.階統(tǒng)計(jì)量方法(1)三階累積量,/ y(n) = x(n) + w(n):.c(m , m ) = c(m , m ) + c (m , m ) = 03, y123,x 123,w12(2)四階累計(jì)量c(m , m , m ) = c(m , m , m )豐 04, y1234, x1233.4高斯有色噪聲中的諧波恢復(fù) 設(shè)有噪觀測(cè)值為r (m)=b 26 (m)r (m) = f (m)wa(m)x(n - m) = 0y (n) = x(n) + w( n)其中，x(n)是諧波信號(hào)，w(n)為

19、高斯有色W?:高有:四階累積量線性預(yù)測(cè)方程：復(fù)數(shù)情況：Xa(m)c (m , m , k 一 m) = 0m=0實(shí)數(shù)情況：藝 a(m)c (m , m , k 一 m) = 0m=0證明：.x(n -m) = y(n -m) - w(n -m),（實(shí)情況）:a(m)y(n - m)=La(m)w(n - m) TOC o 1-5 h z m=0m=0定義四階累積量：c4,v=c u m*(n - k ), y *(n - k ), y *(n - k ), a(m)y (n - m) 123Lm=0=La(m)cumy*(n - k ), y*(n - k ), y*(n - k ), y(n

20、 - m)123m=0=Za(m)c(k - k ,k - k ,k - m)4, y 12131m=0, a(m)(n - m)3m=0另外c = cum y*(n - k ), y*(n - k ), y*(n - k ) 4,v=a(m)c u it*(n - k ) + w* (n - k )-j L*(n - k ) + w*(n - k ) 1122m=0m)*(n - k ) + w*(n - k=a(m)cumL*(n - k ), x*(n - k ), x(n - k ),0-1123m=0+ Pa(m)cumx*(n - k ), x*(n - k ), x(n - k

21、), w(n - 123m=0=0所以 a(m)c(k - k , k - k , k - m) = 04, y12131m=0令：k - k = m , k - k = m , k = k1211321a(m)c (m , m , k - m) = 0m=0令： m =m =0a(m)c(k - m) = 04, ym=0證畢上式按k = 0,1,2, ,2p展開:a 4, y (0)c (1)氣.1)c,y (0)4, y c4 (-p)c (1 - p)4, y:c 4 (-2 p). c 1-2p):4,y.a(0) :c (2 p)1- 4,yc(2p -1)4, yc(p)4, y

22、c (0)4, y_a(2 p)_=0頻率估計(jì)方法：(1)由觀測(cè)值y()計(jì)算四階累積量c(m)- 2p m 2p4, y(2)根據(jù)式估計(jì) a(0),a(1),a(2p)。(3)根據(jù) A( z) = a (m) z -m 求 w (i = 1,2,., p)。 m=0幅度估計(jì)方法：,/ y(n) = x(n) + w(n):.c(m) = c(m) + c(m) = c (m)= 一一乙a4 cos(m) TOC o 1-5 h z 4, y4, x4,w4, x8 iii=1將上式按m = 0,1,2,.,p -1展開，得FS = r-111一F =cos w妃 cos2w-1:cos w2c

23、os2w2cos wc pcos 2wp:cos(p 一 1)w 1cos(p 一 1)w 2cos(p 一 1)w pS = a4, a4,.,a 4t TOC o 1-5 h z 88(p -1)c(0),.,一 c4, y3 4, y3:.S = F-1r步驟：由y(n)計(jì)算四階累積量c4 y (m)0 m p ,構(gòu)造mxl維向量y ()= D(),( +1), ,川 + 質(zhì)-l)ry i (乃)=頃 +1),+ 2), ,)( + m)rw(n) = w(n), w(n +1)，w(n + m- l)ry()= *() +w()= Y a expj(co n +(p ) + w(n)*

24、 i大1 _e沁p們叫1=1用矩陣形式表達(dá)：y(n) = AS(n) + w(n)y.) = AC 知+ w( + l)其中-1 1 .e j!e j2 A =幻2氣e,2%e j(w-i)ro e j(-i)2A 的列為o(co )J = 1,2,ia(a) = 1,erg/(mT)co0 = d i ajgi,e俱，,e叫 旋轉(zhuǎn)因子矩陣S(n) L ej(叩+q),以 ej(2n+%),以 ej(%+?p)求y(n)自相關(guān)函數(shù)% Ey (n)y *(n)把大式代入上式，得R EAS(n)S * (n)A * + E&(n)&* (n) = AS A * + E&(n)&* (n)其中=ES

25、(n)S *(n) = EL ej(氣n+甲)1L * e - j (氣 n+中),.,l * e -j ( pn+中 p)diag 以 |2,L |2,L y(n)與y 1(n)互相關(guān)陣R Ey(n)y * (n) AS 0* A * + E0(n 知 * (n +1) TOC o 1-5 h z 馮ii設(shè)c與c分別為R 一 Em(n)&* (n) AS A *yic R一 E0(n知* (n +1) AS 0A*yy1 yy1i若 r (m) = Ex(n)x* (n + m)，則c AS A * c AS 0*Ar (0)r *(1)3)r (0)xx:r (m -1) r (m - 2) xx-r *(1)r *(2)xxr (0)r* =x.x:r (m - 2) r (m - 3) xxr*(m 一 1)r *(m 一 2)xr (0)xr *(m)r *(m -1)x:r*x求 人 i僅適用于白噪聲。c x 人c xESPRIT方法