高考一輪復習：第1講-變化率與導數(shù)、導數(shù)的運算

1、第1講變化率與導數(shù)、導數(shù)的運算【2015年高考會這樣考】1利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程2考查導數(shù)的有關計算，尤其是簡單的函數(shù)求導【復習指導】本講復習時，應充分利用具體實際情景，理解導數(shù)的意義及幾何意義，應能靈活運用導數(shù)公式及導數(shù)運算法則進行某些函數(shù)求導. 基礎梳理1函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率為eq f(fx2fx1,x2x1).若xx2x1，yf(x2)f(x1)，則平均變化率可表示為eq f(y,x).2函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)(1)定義稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率lieq o(m,sup6(,x0) eq f(

2、y,x)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(fx0 xfx0,x)為函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(y,x).(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(x0，f(x0)處切線的斜率相應地，切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)3函數(shù)f(x)的導函數(shù)稱函數(shù)f(x)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(fxxfx,x)為f(x)的導函數(shù)，導函數(shù)有時也記作y.4基本初等函數(shù)的導數(shù)公式若f(x)c，則f(x)0；若f(x)x(R)，則f(x)x1

3、；若f(x)sin x，則f(x)cos x；若f(x)cos x，則f(x)sin x；若f(x)ax(a0，且a1)，則f(x)axln_a；若f(x)ex，則f(x)ex；若f(x)logax(a0，且a1)，則f(x)eq f(1,xln a)；若f(x)ln x，則f(x)eq f(1,x).5導數(shù)四則運算法則(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)eq blcrc(avs4alco1(f(fx,gx)eq f(fxgxfxgx,gx2)(g(x)0)6復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)yf(g(x)的導數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(

4、x)的導數(shù)間的關系為yxyuux. 一個區(qū)別曲線yf(x)“在”點P(x0，y0)處的切線與“過”點P(x0，y0)的切線的區(qū)別：曲線yf(x)在點P(x0，y0)處的切線是指P為切點，若切線斜率存在時，切線斜率為kf(x0)，是唯一的一條切線；曲線yf(x)過點P(x0，y0)的切線，是指切線經(jīng)過P點，點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條兩種法則(1)導數(shù)的四則運算法則(2)復合函數(shù)的求導法則三個防范1利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆2要正確理解直線與曲線相切和直線與曲線只有一個交點的區(qū)別3正確分解復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導，做到不重

5、不漏雙基自測1下列求導過程中eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq f(1,x2)；(eq r(x)eq f(1,2r(x)；(logax)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ln x,ln a)eq f(1,xln a)；(ax)(eln ax)(exln a)exln aln aaxln a其中正確的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案D2(人教A版教材習題改編)函數(shù)f(x)(x2a)(xa)2的導數(shù)為()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)答案C3(2013湖南)曲線ye

6、q f(sin x,sin xcos x)eq f(1,2)在點Meq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0)處的切線的斜率為()Aeq f(1,2) B.eq f(1,2) Ceq f(r(2),2) D.eq f(r(2),2)解析本小題考查導數(shù)的運算、導數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力yeq f(cos xsin xcos xsin xcos xsin x,sin xcos x2)eq f(1,1sin 2x)，把xeq f(,4)代入得導數(shù)值為eq f(1,2).答案B4(2013江西)若f(x)x22x4ln x，則f(x)0的解集為()A(0，) B(1,0)(2，)C

7、(2，) D(1,0)解析令f(x)2x2eq f(4,x)eq f(2x2x1,x)0，利用數(shù)軸標根法可解得1x0或x2，又x0，所以x2.故選C.答案C5如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0)_；lieq o(m,sup6(,x0) eq f(f1xf1,x)_(用數(shù)字作答)答案22考向一導數(shù)的定義【例1】利用導數(shù)的定義求函數(shù)f(x)x3在xx0處的導數(shù)，并求曲線f(x)x3在xx0處切線與曲線f(x)x3的交點審題視點 正確理解導數(shù)的定義是求解的關鍵解f(x0)eq o(lim,sdo4(xx0) eq f(f

8、xfx0,xx0)eq o(lim,sdo4(xx0) eq f(x3xoal(3,0),xx0)eq o(lim,sdo4(xx0) (x2xx0 xeq oal(2,0)3xeq oal(2,0).曲線f(x)x3在xx0處的切線方程為yxeq oal(3,0)3xeq oal(2,0)(xx0)，即y3xeq oal(2,0)x2xeq oal(3,0)，由eq blcrc (avs4alco1(yx3，,y3xoal(2,0)x2xoal(3,0)，)得(xx0)2(x2x0)0，解得xx0，x2x0.若x00，則交點坐標為(x0，xeq oal(3,0)，(2x0，8xeq oal(

9、3,0)；若x00，則交點坐標為(0,0) 利用定義求導數(shù)的一般過程是：(1)求函數(shù)的增量y；(2)求平均變化率eq f(y,x)；(3)求極限lieq o(m,sup6(,x0) eq f(y,x).【訓練1】 利用導數(shù)的定義證明奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)證明法一設yf(x)是奇函數(shù)，即對定義域內(nèi)的任意x都有f(x)f(x)f(x)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(fxxfx,x)則f(x)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(fxxfx,x)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(fxxfx,x)f(x)因此f(x)為偶函數(shù)，同理可證偶函數(shù)的

10、導數(shù)是奇函數(shù)法二設yf(x)是奇函數(shù)，即對定義域內(nèi)的任意x都有f(x)f(x)，即f(x)f(x)因此f(x)f(x) f(x)f(x)則f(x)為偶函數(shù)同理可證偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)考向二導數(shù)的運算【例2】求下列各函數(shù)的導數(shù)：(1)yeq f(r(x)x5sin x,x2)；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)ysineq f(x,2)eq blc(rc)(avs4alco1(12cos2f(x,4)；(4)yeq f(1,1r(x)eq f(1,1r(x)；審題視點 先把式子化為最簡式再進行求導解(1)yeq f(xf(1,2)x5sin x,x2)xeq f(3,2)x3eq f(si

11、n x,x2)，yeq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)(x3)(x2sin x)eq f(3,2)xeq f(5,2)3x22x3sin xx2cos x.(2)法一y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.法二y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.(3)ysineq f(x,2)eq blc(rc)(avs4alco1(cosf(x,2)eq f(1,2)sin x，yeq blc(rc)(avs

12、4alco1(f(1,2)sin x)eq f(1,2)(sin x)eq f(1,2)cos x.(4)yeq f(1,1r(x)eq f(1,1r(x)eq f(1r(x)1r(x),1r(x)1r(x)eq f(2,1x)，yeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,1x)eq f(21x,1x2)eq f(2,1x2). (1)熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及四則運算法則是正確求導的基礎(2)必要時對于某些求導問題可先化簡函數(shù)解析式再求導【訓練2】 求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yxnex；(2)yeq f(cos x,sin x)；(3)yexln x；(4)y(x1)2(x1)解(1

13、)ynxn1exxnexxn1ex(nx)(2)yeq f(sin2xcos2x,sin2x)eq f(1,sin2x).(3)yexln xexeq f(1,x)exeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)ln x).(4)y(x1)2(x1)(x1)(x21)x3x2x1，y3x22x1.考向三求復合函數(shù)的導數(shù)【例3】求下列復合函數(shù)的導數(shù)(1)y(2x3)5；(2)yeq r(3x)；(3)ysin2eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)；(4)yln(2x5)審題視點 正確分解函數(shù)的復合層次，逐層求導解(1)設u2x3，則y(2x3)5，由yu5與u2x3

14、復合而成，yf(u)u(x)(u5)(2x3)5u4210u410(2x3)4.(2)設u3x，則yeq r(3x).由yueq f(1,2)與u3x復合而成yf(u)u(x)(ueq f(1,2)(3x)eq f(1,2)ueq f(1,2)(1)eq f(1,2)ueq f(1,2)eq f(1,2r(3x)eq f(r(3x),2x6).(3)設yu2，usin v，v2xeq f(,3)，則yxyuuvvx2ucos v24sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)2sineq blc(rc)(avs4a

15、lco1(4xf(2,3).(4)設yln u，u2x5，則yxyuuxyeq f(1,2x5)(2x5)eq f(2,2x5). 由復合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類問題的關鍵是正確分析函數(shù)的復合層次，一般是從最外層開始，由外向內(nèi)，一層一層地分析，把復合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)，逐步確定復合過程【訓練3】 求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yeq r(x21)；(2)ysin22x；(3)yexsin 2x; (4)ylneq r(1x2).解(1)yeq f(1,2 r(x21)2xeq f(x,r(x21)，(2)y(2sin 2x)(cos 2x)22sin 4x

16、(3)y(ex)sin 2xex(cos 2x)2ex(2cos 2xsin 2x)(4)yeq f(1,r(1x2)eq f(1,2r(1x2)2xeq f(x,1x2).規(guī)范解答6如何求曲線上某一點的切線方程【問題研究】 利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)在某一點的坐標或某一點處的切線方程是高考常常涉及的問題.這類問題最容易出現(xiàn)的錯誤就是分不清楚所求切線所過的點是不是切點而導致錯誤.,【解決方案】 解這類問題的關鍵就是抓住切點.看準題目所求的是“在曲線上某點處的切線方程”還是“過某點的切線方程”，然后求某點處的斜率，用點斜式寫出切線方程.【示例】(本題滿分12分)(2013山東)已知函數(shù)f(x)ln

17、 xaxeq f(1a,x)1(aR)(1)當a1時，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)當aeq f(1,2)時，討論f(x)的單調(diào)性 (1)求出在點(2，f(2)處的斜率及f(2)，由點斜式寫出切線方程；(2)求f(x)，再對a分類討論解答示范 (1)當a1時，f(x)ln xxeq f(2,x)1，x(0，)所以f(x)eq f(x2x2,x2)，x(0，)，(1分)因此f(2)1，即曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線斜率為1.又f(2)ln 22，所以曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(ln 22)x2，即xyln 20.(3分)(2)因為f(x)

18、ln xaxeq f(1a,x)1，所以f(x)eq f(1,x)aeq f(a1,x2)eq f(ax2x1a,x2)，x(0，)(4分)令g(x)ax2x1a，x(0，)當a0時，g(x)x1，x(0，)，所以當x(0,1)時，g(x)0，此時f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x(1，)時，g(x)0，此時f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；(6分)當a0時，由f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x2eq f(1,a)1.a當aeq f(1,2)時，x1x2，g(x)0恒成立，此時f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；(7分)b當0aeq f(1,2)時，eq f(1,a)110.x(0,1)時，g(x)0，此時f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；xeq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,a)1)時，g(x)0，此時f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)1，)時，g(x)0，此時f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；(9分)c當a0時，由于eq f(1,a)10，x(0,1)時，g(x)0，此時f(x)0，函