2022年上海高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

1、數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法專題 經(jīng)典例題【例 1】已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為S ,且S nn5an85 ,nN*. 90 ,nN*；（ 1）證明：an1是等比數(shù)列；（ 2）求數(shù)列S n的通項(xiàng)公式,并求出訪得Sn1S n成立的最小正整數(shù)n . 解： 1 當(dāng)n1時(shí),a 114；當(dāng)n2時(shí),anS nS n15 an5 an11,所以an15an11. a n1是以 15 為首項(xiàng),5 為公比的等比數(shù)列 6. 6又a 11150,所以數(shù)列2 由1 知：a n1155n1,得an15n1從而S n755n1n666由S n1S n得5n12,nlog521149.,最小正整數(shù)n15. 62525b b 6【例 2

2、】 等差數(shù)列a n的前 n 項(xiàng)和為Sn,a 112,S 3932（ 1）求數(shù)列 an的通項(xiàng)a 與前 n 項(xiàng)和S ；（ 2）設(shè)b nS nnN,求證：數(shù)列 nb中任意不同的三項(xiàng)都不行能成為等比數(shù)列n解：（ 1）由已知得a 121,3 2,d2,3 a 13d9故a n2 n12,S nn n2（2）由（）得b nS nn2n假設(shè)數(shù)列 nb中存在三項(xiàng)b p,b q,br（ p, , 互不相等）成等比數(shù)列,就2 b q即q22p2r2q2p r 2qpr 20p, ,rN,q2prr0,p2r2pr,pr20,pr與 pr沖突2 qp0,所以數(shù)列 nb中任意不同的三項(xiàng)都不行能成等比數(shù)列a 為aaR,

3、 設(shè) 數(shù) 列 的 前n 項(xiàng) 和 為【 例3】 已 知 公 差 不 為0 的 等 差 數(shù) 列an的 首 項(xiàng)Sn且1,1,1成等比數(shù)列 . a 1a2a41,當(dāng)n2時(shí),試比較A 與Bn（ 1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及S ；（ 2）記A n111,Bn111S 1S 2S na 1a 2a 22a2n的大小解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,由1211,1. a2a1a4得a 1d2a 1a 13d. 由于d0,所以da所以anna 1,S nann1. 2（2）由于121n11,所以A n11121n11. SnanS 1S 2S na由于a 2 n12n1a,所以Bn111a111111n212

4、a1a2a2 2n 2a1a2n2當(dāng)n2 時(shí),2nC0C1Cnn1,nnn即1n1111. 2n所以,當(dāng)a0 時(shí)A nBn;當(dāng)a0 時(shí)AnBn. 【例 4】 已知1a2,點(diǎn)anan1在函數(shù)fxx22x的圖象上,其中=1,2,3,（ 1）證明數(shù)列l(wèi)g1an是等比數(shù)列；（ 2）設(shè)T n1a11a21an,求T 及數(shù)列an的通項(xiàng)；（ 3）記b n1an12,求數(shù)列bn的前項(xiàng)和 Sn,并證明S n21=1. an3 T n2 2解：（1）由已知 a n 1 a n 2 a ,a n 1 1 a n 1a 1 2 a n 1 1,兩邊取對(duì)數(shù)得lg1 a n 1 lg1 a n 1 2lg1 a n ,即

5、 2lg1 a n lg1 a n 是公比為 2 的等比數(shù)列 . n 1 n 1 2 n 1 2 n 1（2）由（）知 lg1 a n 2 lg1 a 1 2 lg3 lg3 1 a n 3（* ）T n 1 a 1 1 a 2 1+a n 3 2 03 2 13 2 2 3 2 n-13 1 2 2 2 +2 n-1= 3 2 -1 n2 n 1由（ *）式得 a n 3 12（3）a n 1 a n 2 a n a n 1 a n a n 21 1 1 1 1 1 2 .a n 1 2 a n a n 2 a n 2 a n a n 1又 b n 1 1b n 2 1 1a n a n 2

6、 a n a n 1S n b 1 b 2 +b n 2 1 1 1 1 + 1 1 2 1 1 .a 1 a 2 a 2 a 3 a n a n 1 a 1 a n 1a n 3 2 n 11, a 1 2, a n 1 3 2 n1 S n 1 2 n 2 .3 1又 T n 3 2 n 1S n 21 . 3 T n 1【例 5】 已知數(shù)列 a n 滿意 a 1 0 , a 2 2,且對(duì)任意 m , n N *都有a 2 m 1 a 2 n 1 2 a m n 1 2 m n 2 .（ 1）求 a 3,a 5；（ 2）設(shè) b n a 2 n 1 a 2 n 1 n N * ,證明：b n

7、 是等差數(shù)列；（ 3）設(shè) c n a n 1 a n q n 1, q 0 , n N *,求數(shù)列 c n 的前n項(xiàng)和 S . 解： 1 由題意,令 m 2 , n 1 可得 a 3 2 a 2 a 1 2 6,再令m3 ,n1 可得a52 a3a 1820. 12. n, 2當(dāng)nN*時(shí),由已知 以n2代替m 可得a2n3a 2n12a2n18.于是a2n11a2n11a2n1a2n18,即b n1bn8 ,b 1a2a 16. 所以bn是以 6 為首項(xiàng), 8 為公差的等差數(shù)列. 3 由12解答可知b n8n,2即a2n1a2n18 n另由已知 令m1 可得ana2n1a 1n12. 22那么

8、an1ana2n12a2n12 n18n22 n2于是cn2 nqn1. 當(dāng)q1時(shí),Sn2462nnn1；當(dāng)q1時(shí),Sn2q04q16q22nqn1. 兩邊同乘以 q ,可得qSn2q14q26q32nqn. 上述兩式相減得1qSn21qq2nqqn12 nqnq21qn2 nqn21n1qnnqn1.q1q1qn21n1n1. 所以S n 1q 2綜上所述,Sn21n1qn2nqn1,11qnn1,q1數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法專題檢測(cè)題一、填空題（每道題4 分,滿分 40 分）.,就1. 列an是首項(xiàng)為 1,公比為a3的無窮等比數(shù)列,且an各項(xiàng)的和為a,就a的值是 . 22. 等比數(shù)列 a n的前

9、n 項(xiàng)和為S ,已知S ,2S ,3S 成等差數(shù)列,就an的公比為 _ 3.函 數(shù)f xx 2,等 差 數(shù) 列 ax的 公 差 為 2 .如f a 2a 4a6a 8a 104log f a 1f a2f a 3f a 10 . N*設(shè)4. 知數(shù)列an、bn都是公差為1 的等差數(shù)列, 其首項(xiàng)分別為a 、1b ,且a 1b 15,a 1,b 1cnab n（nN*）,就數(shù)列cn的前 10 項(xiàng)和等于.1時(shí) ,5. 知數(shù)列a n的首項(xiàng)a 10,其前 n 項(xiàng)的和為S ,且S n12 S na ,就 lim na n .S n6. 知 等 比 數(shù) 列a n滿 足a n0,n1,2, 且a 5a2n522

10、nn3, 就 當(dāng)nlog2a 1log2a 3log2a2n1.7. 差數(shù)列a n的前 n 項(xiàng)和為S n,已知am1a m1a20,S 2m138,就m.m8. 全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根據(jù)以上排列的規(guī)律,第n 行（ n 3）從左向右的第3 個(gè)數(shù)為 . 有連續(xù)四項(xiàng)在集合9.a n是公比為q的等比數(shù)列,|q| 1,令b na n1 n1,2,如數(shù)列b n53, 23,19,37,82中,就6q= . a n,當(dāng)a n 為偶數(shù)時(shí),如a 1,就 m 全部可10. 知數(shù)列a n滿意：a1m（ m 為正整數(shù)）,a n123 a n1, 當(dāng)a n 為奇數(shù)時(shí)；

11、能的取值為 _.二、解答題（本大題共有5 題,解答以下各題必需在規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟）11. 設(shè)數(shù)列an滿意a10 且11n111n1 .aa（1）求an的通項(xiàng)公式；a（2）設(shè)b n1a n1,記S nn1bk,證明Sna1.2,a 3中的任何兩個(gè)數(shù)n12. 等比數(shù)列an中,a1,k1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù),且不在下表的同一列第一列 其次列 第三列第一行 3 2 10 其次行 6 4 14 第三行 9 8 18 （1）求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式；n（2）如數(shù)列 b n 滿意：b n a n 1 ln a n,求數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和 S .13. 設(shè) d 為

12、非零實(shí)數(shù),a n 1 C 1n d 2 C n 2d 2n 1 C n n 1d n 1nC n nd n, n N *.n（1）寫出 a 1 , a 2 , a 3 并判定 a n 是否為等比數(shù)列；如是,給出證明；如不是,說明理由；（2）設(shè) b n nda n , n N * ,求數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和 S .14. 設(shè)數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和為 S ,且方程 x 2a n x a n 0 有一根為 Sn ,1 n ,1 2 , 3 ,（ 1）求 a 1,a 2； （ 2）a n 的通項(xiàng)公式15. 已知有窮數(shù)列 A ：a a 2 , , a , n 2 .如數(shù)列 A中各項(xiàng)都是集合

13、x | 1 x 1 的元素,就稱該數(shù)列a i a j為 數(shù)列 .對(duì)于 數(shù)列 A ,定義如下操作過程 T：從A中任取兩項(xiàng) a a ,將 的值添在 A 的最終,1 a a j然后刪除 a a ,這樣得到一個(gè) n 1 項(xiàng)的新數(shù)列 1A 商定 :一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列 . 如 A 仍是 數(shù)列,可連續(xù)實(shí)施操作過程 T ,得到的新數(shù)列記作 A ,如此經(jīng)過 k 次操作后得到的新數(shù)列記作 A . 1 1（1）設(shè) A : 0, , . 請(qǐng)寫出 A 的全部可能的結(jié)果；2 3（2）求證：對(duì)于一個(gè) n 項(xiàng)的 數(shù)列 A 操作 T 總可以進(jìn)行 n 1 次；（3）設(shè) A : 5,1,1,1 5 1 1 1 1 1,. 求 A 的

14、可能結(jié)果,并說明理由 9 .7 6 5 4 6 2 3 4 5 6數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法專題檢測(cè)題答案 一、填空題1. 2 ； 2.q1 3； 3. 6； 4. 85； 5.1 2；6.n2；7. 10 ；8.n2n6；29. 9 （提示81, 54,36, 24）；10. 4 5 32；二、解答題11. 設(shè)數(shù)列an滿意a10 且11n111n1Sn111aa（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)b n1a n1,記S nn1bk,證明nk解：（1）由題設(shè)11n111n1aa所以an即11n是公差為 1 的等差數(shù)列；又1111,故11naaa nn（2）由（ I）得b n1an1n1n111,Snn111

15、1bknn1nnnnk1a1,a2,a 3中的任何兩個(gè)數(shù)12. 等比數(shù)列an中,a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù),且不在下表的同一列第一列1其次列bn第三列Sn第一行3 2 10 其次行6 4 14 第三行9 8 18 （1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；nlnan,求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和（2）如數(shù)列bn滿意：b nan解：（1）當(dāng)a13時(shí),不合題意；18時(shí),符合題意；當(dāng)a 12時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)a2,6a3當(dāng)a 110時(shí),不合題意 .因此a 12,a26,a318所以公式q3, 故an23n1（2）由于b nan1nlnan23n11nln23n123 n11nln2n1ln33=23n

16、11nln2ln31nnln31nn ln所以S n21332n11111nln2ln3123當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí),Sn213nnln33nnln31132221當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí),Sn213nln2ln3 n21nln33nn21ln3ln13綜上所述,S nn 3nln31 ,n為偶數(shù)n 為奇數(shù)2n 3n21ln3ln2,13 ,13. 設(shè)d為非零實(shí)數(shù),a n1C1d2 C2d2n1n C n1dn1n nC ndn,nN*nnn（1）寫出a 1,a2,a3并判定an是否為等比數(shù)列；如是,給出證明；如不是,說明理由；（2）設(shè)bnndan,nN*,求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和Sn解：（1）a1d,a2

17、dd1 ,a3dd1 2a n1C1d2 C2d2n1Cn1dn1nCndn,nN*nnnnnandd1 n1ann1d1a由于 d 為常數(shù),所以an是以 d 為首項(xiàng),d1為公比的等比數(shù)列；（2）bnnd2 1dn1S nd21d02d2 1d13 d21d2nd21dn1d2 1d02 1d13 1d2n1dn11 錯(cuò)位相減法得Sn1dn1 1dn.14. 設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為S ,且方程x2anxan0有一根為Sn,1 n,12 ,（ 1）求 a 1,a 2； （ 2）a n 的通項(xiàng)公式解： 1當(dāng) n 1 時(shí),x 2a 1 x a 1 0 有一根為 S 1 1 a 1 1,于是 a

18、1 1 2a 1 a 1 1 a 1 0,解得 a 1 1.2當(dāng) n 2 時(shí),x 2a 2 x a 2 0 有一根為 S 2 1 a 2 12于是 a 2 1 2a 2 a 2 1 a 2 0,解得 a 2 12 2 62由題設(shè) S n 1 2 a n S n 1 a n 0,S n 22 S n 1 a n S n 0 .當(dāng) n 2 時(shí),a n S n S n 1,代入上式得 S n 1 S n 2 S n 1 0 由1知 S 1 a 1 1 , S 2 a 1 a 2 22 3由可得 S 3 34由此猜想 Sn n , n ,1 2 ,3,n 1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論i n 1 時(shí)已

19、知結(jié)論成立ii假設(shè) n k 時(shí)結(jié)論成立,即 Sk k .k 1當(dāng) n k 1 時(shí),由得 S k 1 1, 即 S k 1 k 12 S k k 2故 n k 1 時(shí)結(jié)論也成立綜上,由 i、ii可知 Sn n 對(duì)全部正整數(shù) n 都成立n 1于是當(dāng) n 2 時(shí),a n S n S n 1 n n 1 1 .n 1 n n n 1 又 n 1 時(shí),a 1 1 1,所以 a n 的通項(xiàng)公式 a n 1, n 1 , 2 , 3 ,2 1 2 n n 1 15. 已知有窮數(shù)列 A：a a 2 , , a , n 2 .如數(shù)列 A 中各項(xiàng)都是集合 x | 1 x 1 的元素,就稱該數(shù)列為 數(shù)列 .對(duì)于 數(shù)

20、列 A,定義如下操作過程 T：從A中任取兩項(xiàng) a a ,將 a i a j 的值添在 A 的1 a a i j最終, 然后刪除 a a ,這樣得到一個(gè) n 1 項(xiàng)的新數(shù)列 A 商定 :一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列 . 如 1A 仍是 數(shù)列, 可連續(xù)實(shí)施操作過程 T,得到的新數(shù)列記作 A ,如此經(jīng)過 k 次操作后得到的新數(shù)列記作 A . （1）設(shè) A : 0, 1 1, . 請(qǐng)寫出 A 的全部可能的結(jié)果；2 3（2）求證：對(duì)于一個(gè) n 項(xiàng)的 數(shù)列 A 操作 T 總可以進(jìn)行 n 1 次；（3）設(shè) A : 5,1,1,1 5 1 1 1 1 1,. 求 A 的可能結(jié)果,并說明理由 . 7 6 5 4 6 2 3 4 5 6解：（1）A 有如下的三種可能結(jié)果：A