高等計(jì)算流體力學(xué)講義

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè) MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap r 1 h * MERGEFORMAT 高等計(jì)算流體力學(xué)講義（6）9 ENO格式一、ENO方法概述二階或二階以上精度的格式可能在間斷附近產(chǎn)生振蕩（Gibbs現(xiàn)象），這些振蕩并不會(huì)隨著網(wǎng)格間距的變小而減小，并

2、經(jīng)常導(dǎo)致包含間斷的非線性問(wèn)題的數(shù)值不穩(wěn)定。早期消除或減小這種間斷附近振蕩的嘗試基本上是基于兩種方法：人工粘性和限制器。前一種方法是增加人工粘性項(xiàng)，通過(guò)調(diào)節(jié)使其在間斷附近足夠大以便消除或是減小這種振蕩，而在光滑的地方則很小以便保持較高精度。這種方法的一個(gè)缺點(diǎn)是調(diào)節(jié)過(guò)程中包含自由參數(shù)，計(jì)算結(jié)果的好壞與自由參數(shù)的取值有關(guān)，而自由參數(shù)的“最佳值”往往是與具體問(wèn)題有關(guān)的。后一種方法就是利用限制器來(lái)減小振蕩。從效果上看，它降低了在間斷附近的精度。使用經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)的限制器，一維非線性問(wèn)題或者線性系統(tǒng)可以獲得TVD性質(zhì)，這類(lèi)格式對(duì)于多維線性問(wèn)題在最大值范數(shù)（范數(shù)）的意義下是穩(wěn)定的。而且，在限制器中一般沒(méi)有多余

3、的參數(shù)供調(diào)節(jié)。這種方法的缺點(diǎn)是在光滑的極值點(diǎn)附近會(huì)降為一階精度。ENO（Essentially Non-Oscillatory）格式是1987年由Harten， Engquist，Osher和Chakravarthy等人最先提出的。他們提出的ENO思想似乎是第一個(gè)獲得具有自相似性（與網(wǎng)格尺度無(wú)關(guān)）、一致高階精度而且本質(zhì)上無(wú)振蕩的分片光滑函數(shù)插值方法的嘗試。ENO格式特別適合于既包含復(fù)雜激波又包含光滑區(qū)域的流場(chǎng)。自從Harten等人發(fā)表他們的第一篇關(guān)于ENO的文章以來(lái)，他們和許多其他研究者們繼續(xù)在研究ENO的道路上前進(jìn)，改進(jìn)算法和擴(kuò)大該方法的應(yīng)用領(lǐng)域。Shu和Osher發(fā)展了基于點(diǎn)的ENO重構(gòu)，

4、時(shí)間上用TVD Runge-Kutta離散的方法，對(duì)于多維問(wèn)題該方法可以大大節(jié)省計(jì)算成本；Liu，Osher和Jiang，Shu等人則發(fā)展了一維和高維的加權(quán)ENO（WENO，Weighted ENO）格式，可以提高計(jì)算精度。在應(yīng)用方面，ENO和WENO方法已經(jīng)成功的用于模擬激波和湍流的相互作用以及直接模擬可壓縮湍流運(yùn)動(dòng)等方面。人們已經(jīng)看到，ENO和WENO已經(jīng)相當(dāng)廣泛的應(yīng)用于不同的領(lǐng)域。用ENO和WENO解決的問(wèn)題的共同特征是含有很強(qiáng)的激波和復(fù)雜的光滑區(qū)域，低階精度格式在這方面有著難以解決的困難，而像ENO和WENO這樣的高精度格式就顯示出了它們的優(yōu)勢(shì)。二、一維重構(gòu)基于有限體積的ENO格式主要

5、解決數(shù)據(jù)重構(gòu)的問(wèn)題，通過(guò)本質(zhì)上無(wú)波動(dòng)的高階重構(gòu)方法，構(gòu)造高階的有限體積格式。通常，一維重構(gòu)問(wèn)題的提法是：給定網(wǎng)格 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)我們定義單元，單元中心和單元大小為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2)并且把最大單元尺寸表示為 MACROBUT

6、TON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)給定函數(shù)在單元內(nèi)的平均值 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)要求在單元內(nèi)求得一個(gè)至多k-1次的多項(xiàng)式，在內(nèi)逼近函數(shù)到k階精度，即 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGE

7、FORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 5)特別的，這種重構(gòu)給出了單元邊界上的函數(shù)值的近似 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6)它們都是k階精度的 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 7)這里的多項(xiàng)式也可以換成其他的簡(jiǎn)單

8、函數(shù)，例如三角函數(shù)。單元邊界上的近似函數(shù)值作為Riemann問(wèn)題或通量分裂方法的左右狀態(tài)，可以構(gòu)造高階數(shù)值通量，從而得到高階的有限體積格式。下面討論這個(gè)重構(gòu)問(wèn)題的解法。給定單元位置和精度k，我們先選取一族模板點(diǎn)，從左邊選取r個(gè)單元，右邊選取s個(gè)單元，連同一起有，即 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 8)為了方便，我們稱(chēng)為一個(gè)模板點(diǎn)集。可以證明，存在一個(gè)唯一的至多次多項(xiàng)式（后面在不致引起誤會(huì)的地方就省去下標(biāo)i，記為）。它在的每個(gè)單元

9、內(nèi)的平均值都等于在相應(yīng)單元內(nèi)的平均值，即 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 9) 我們令，則有個(gè)待定系數(shù)，而 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (9)式正好提供了個(gè)方程，所以通過(guò) GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (9)式可以唯一確定待定系數(shù)。但是，實(shí)際應(yīng)用

10、中，我們有更直接的方法確定這些系數(shù)，這個(gè)方法將在后面介紹容易證明，只要在中足夠光滑，這個(gè)就正是我們要尋找的k階精度近似。對(duì)于為多項(xiàng)式的情況， GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (7)式中從的平均值到和的映射是線性的，所以存在與r，精度k和單元大小有關(guān)但與函數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)和，使得， MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 10)系數(shù)之間滿足下述關(guān)系：。為

11、了證明這個(gè)關(guān)系，我們注意到: ，。如果重構(gòu)的模板點(diǎn)集不同,則一般。但是, 對(duì)于確定的模板點(diǎn)集，是唯一確定的，而可由i,r,k完全確定。所以， GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (10)式實(shí)際上隱含了插值的模板點(diǎn)集。注意到如果，則，。此時(shí)。所以。既然 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (10)式的右端項(xiàng)隱含了插值的模板點(diǎn)集，所以我們可以簡(jiǎn)單的記i+1/2處的函數(shù)值為，而不必區(qū)分從左側(cè)還是從右側(cè)的插值多項(xiàng)式出發(fā)進(jìn)行計(jì)算。在后

12、面的WENO格式中，我們將用這種寫(xiě)法。和的值與有關(guān)。對(duì)于均勻網(wǎng)格情形，k=2時(shí)，有以下兩種可能的取法：和，即固定k和i, r分別取和。容易得到，在這兩種情況下，分別有；。一般的，對(duì)于給定的i，有種不同的取法?？梢宰C明（請(qǐng)自己證一下）：對(duì)于任意選取的r和k，（j0,1,k-1）可以寫(xiě)成下面的一般形式：對(duì)于均勻網(wǎng)格，此時(shí)與i及無(wú)關(guān)：通過(guò)引入原函數(shù)確定比直接求解（9）式更為方便。首先我們定義函數(shù)的原函數(shù)為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMA

13、T 11)則：所以通過(guò)單元內(nèi)的平均值我們可以得到其原函數(shù)在半節(jié)點(diǎn)上的精確值。在給定模板點(diǎn)集的情況下，我們可以構(gòu)造單元中的Largrange插值多項(xiàng)式（也記做），則要達(dá)到k階精度，的階數(shù)為k。很顯然，插值多項(xiàng)式的模板與不同。但二者之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，如果則。三、一維ENO重構(gòu)一維ENO重構(gòu)的基本思想就是采用自適應(yīng)模板點(diǎn)，盡可能的避免將不連續(xù)的單元包含到模板點(diǎn)集里面，以便消除或減小在間斷附近的振蕩。 為了自適應(yīng)調(diào)節(jié)模板，采用Newton插值多項(xiàng)式計(jì)算往往更加方便。通過(guò)考察的Newton插值多項(xiàng)式，我們可以發(fā)現(xiàn)Newton均差是函數(shù)在模板點(diǎn)集內(nèi)是否光滑的量度。均差的定義為：這樣我們就可以得到EN

14、O重構(gòu)的基本過(guò)程為：假設(shè)我們的目的是尋找一個(gè)由包含和的k+1個(gè)連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成的模板點(diǎn)集，使得在這個(gè)模板點(diǎn)集內(nèi)相對(duì)其它可能的模板點(diǎn)集是最光滑的。我們將這項(xiàng)工作分幾步來(lái)完成，每一步都只添加一個(gè)點(diǎn)到模板點(diǎn)集中。首先從包含兩個(gè)點(diǎn)的模板點(diǎn)集 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 12)開(kāi)始，這個(gè)模板點(diǎn)集內(nèi)的Newton插值多項(xiàng)式可以寫(xiě)成 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGE

15、FORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 13)下一步，我們有兩種選擇來(lái)向中添加一個(gè)點(diǎn)，如果添加左邊的點(diǎn)，那么得到的插值多項(xiàng)式為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 14)如果添加右邊的點(diǎn)，那么得到的插值多項(xiàng)式為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic *

16、MERGEFORMAT 15)我們注意到 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (14)、 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (15)式中都是以分別乘上 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 16)它們分別是不同模板點(diǎn)集內(nèi)的二階Newton均差。從前面我們可以知道，

17、較小的均差表示函數(shù)在該模板點(diǎn)集內(nèi)比在其它模板點(diǎn)集內(nèi)光滑。所以，要決定添加哪個(gè)點(diǎn)，我們可以通過(guò)比較這兩個(gè)均差，并選取其絕對(duì)值較小的一個(gè)。如果 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 17)那么就選取包含3個(gè)點(diǎn)的模板點(diǎn)集為此時(shí)，。否則，就選取此時(shí)，。這個(gè)過(guò)程可以繼續(xù)進(jìn)行下去，直到包含預(yù)定數(shù)目的點(diǎn)的模板點(diǎn)完全確定為止。一旦找到了，也就是找到了 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * M

18、ERGEFORMAT (8)式中的，我們就可以利用常數(shù)來(lái)計(jì)算在單元邊界上的重構(gòu)數(shù)值了。對(duì)于分片光滑函數(shù)，以上重構(gòu)過(guò)程具有如下幾條性質(zhì)：1、精度條件 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 18)對(duì)于任何不包含間斷的單元都是成立的2、在包含的間斷的任何單元里，都是單調(diào)的。3、該重構(gòu)是總變差有界的（TVB，Total Variation bounded），也就是說(shuō)，存在函數(shù)，如果對(duì)任何單元（包括包含間斷的單元）都滿足則有成立。這幾個(gè)性質(zhì)對(duì)于

19、理解ENO格式十分重要。性質(zhì)1顯然成立，性質(zhì)2則不容易從直觀上把握。性質(zhì)2的完整證明比較復(fù)雜，我們僅就一種簡(jiǎn)單的情況給出說(shuō)明。假定是一個(gè)階越函數(shù)，是在個(gè)點(diǎn)上對(duì)的插值。在間存在間斷。對(duì)于不包含間斷的單元有。因此，至少有一個(gè)點(diǎn)，成立。由于有k-1個(gè)單元中不包含間斷，所以至少有k-1個(gè)不同的零點(diǎn)。但是不高于k-1次多項(xiàng)式，最多有k-1個(gè)不同的零點(diǎn)，所以在中一定沒(méi)有的零點(diǎn)，即在中，是單調(diào)的。性質(zhì)3是性質(zhì)1和性質(zhì)2的直接推論（只要在光滑區(qū)域?qū)⒖醋?，而在包含間斷的地方則將看作即可）。四、一維WENO重構(gòu)WENO重構(gòu)是基于ENO重構(gòu)的。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里只討論等間距網(wǎng)格的情形，即的情形。從上一節(jié)的內(nèi)容我們可

20、以知道，ENO格式直到間斷處都是一致高精度的。它取得這樣的效果的方法是采用基于Newton均差絕對(duì)值來(lái)選擇的自適應(yīng)模板點(diǎn)。但是，ENO也還有一些不足之處，有待改進(jìn)：1、如果在解或者其導(dǎo)數(shù)為零的地方稍為有一些舍入誤差，都有可能導(dǎo)致模板點(diǎn)選取的改變。即 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (17)式左右兩邊如果都非常接近于零，那么在舍入誤差量級(jí)上發(fā)生一點(diǎn)擾動(dòng)都有可能改變其不等號(hào)的方向，從而改變模板點(diǎn)的選取。在光滑區(qū)域，這種模板點(diǎn)的自由調(diào)整顯然是不必要的。更有甚者，將它應(yīng)用的雙曲型騙微分方程時(shí)還可能導(dǎo)致精度的損失。

21、2、在模板點(diǎn)的選取過(guò)程中，有k個(gè)候選模板點(diǎn)集被考慮到了，共覆蓋了2k-1個(gè)單元，但是最終只有其中只有一個(gè)模板點(diǎn)集被用來(lái)形成重構(gòu)式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (6)，從而只達(dá)到了k階精度。如果所有這些2k-1個(gè)單元都被用到，那么就可以在光滑區(qū)域達(dá)到2k-1階精度。3、ENO的模板點(diǎn)選取過(guò)程包含很多邏輯判斷和相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算，這些計(jì)算在某些適合于并行計(jì)算的機(jī)器上效率非常低。WENO是針對(duì)以上幾點(diǎn)來(lái)改進(jìn)ENO格式的。其基本思想是：舍棄過(guò)去那種只選擇一個(gè)模板點(diǎn)集來(lái)進(jìn)行重構(gòu)的做法，而是將所有候選的模板點(diǎn)集進(jìn)行加

22、權(quán)組合來(lái)形成重構(gòu)。更精確的說(shuō)，考慮k個(gè)候選的模板點(diǎn)集 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 19)根據(jù) GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (10)式可以產(chǎn)生k個(gè)不同的關(guān)于的重構(gòu) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic

23、* MERGEFORMAT 20)WENO重構(gòu)采用 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (20)式中產(chǎn)生的所有的組合來(lái)形成對(duì)單元邊界值的新近似： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 21)注意，我們這里沒(méi)有寫(xiě)出。在實(shí)際操作中，的候選模板點(diǎn)集是不同的。如果考慮到迎風(fēng)特性，上面的重構(gòu)得到的實(shí)際上是。對(duì)于，應(yīng)有。顯然，WENO成功的關(guān)鍵就是權(quán)的選取，為了

24、保證穩(wěn)定性和相容性，我們要求 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 22)如果函數(shù)在 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (19)式的所有模板點(diǎn)集中都光滑，那么存在常數(shù)使得 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * M

25、ERGEFORMAT 23)例如，當(dāng)時(shí)的為我們可以看到總是正值，而且由于相容性的要求，有 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 24)在這種光滑的情況下，我們可以得到 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 25)這樣，我們就可以逼近界面處的值到2k-1階精度 MACROBUT

26、TON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 26)這是因?yàn)槔?GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (22)、 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (24)式有當(dāng)函數(shù)在 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMA

27、T (19)式表示的一個(gè)或多個(gè)模板點(diǎn)集中存在間斷時(shí)，我們就希望像ENO所做的那樣，使這些模板點(diǎn)集相應(yīng)的權(quán)為0。另外一個(gè)考慮是權(quán)必須是所涉及的單元平均值構(gòu)造的的光滑函數(shù)。最后，我們希望權(quán)是便于進(jìn)行計(jì)算的。所以，多項(xiàng)式和有理函數(shù)就比指數(shù)類(lèi)函數(shù)更好。綜合以上的考慮并通過(guò)大量數(shù)值實(shí)驗(yàn)，我們得到了以下形式的權(quán) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 27)而其中的定義為 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT MACRO

28、BUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 28)式中的是為了避免分母為零而引入的小正數(shù)，一般可以取為。就是所謂的模板點(diǎn)集的“光滑度因子”：如果函數(shù)在模板點(diǎn)集內(nèi)是光滑的，那么就有,如果在模板點(diǎn)集中有間斷，則有。將它轉(zhuǎn)換到 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (27)式中定義的權(quán)，有：當(dāng)函數(shù)在模板點(diǎn)集內(nèi)是光滑的，則；如果在模板點(diǎn)集內(nèi)有間斷，則。這樣就達(dá)到了在間斷附近模

29、擬ENO格式的效果。當(dāng)給定形式的光滑度因子給定之后，我們還得考慮 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (25)式中的精度條件。對(duì)于任意光滑度因子，容易證明 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (27)式中定義的權(quán)滿足 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (22)式。為了滿足 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT

30、REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (25)式，我們可以通過(guò)臺(tái)勞展開(kāi)得到 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 29)其中D是一個(gè)非零且與r無(wú)關(guān)（但可能和有關(guān)）的數(shù)值。通過(guò)前面的討論我們可以看到，ENO重構(gòu)過(guò)程是通過(guò)比較一系列的Newton均差來(lái)選取一個(gè)最光滑的模板點(diǎn)集。這是因?yàn)檫@些Newton均差可以用來(lái)衡量函數(shù)在一個(gè)模板點(diǎn)集內(nèi)的光滑程度。我們知道，對(duì)每一個(gè)模板點(diǎn)集，我們可以構(gòu)造一個(gè)k-1階重構(gòu)多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式在

31、處的取值就是 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (20)中計(jì)算的的近似值。由于總變差是光滑度的一個(gè)很好的衡量標(biāo)準(zhǔn)，我們希望使重構(gòu)多項(xiàng)式在內(nèi)總變差最小?；谶@樣的考慮，我們這樣來(lái)衡量光滑度：用表示在模板點(diǎn)集內(nèi)的重構(gòu)多項(xiàng)式，我們定義 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 30)其中，因子引入來(lái)消除導(dǎo)數(shù)對(duì)于的任何依賴(lài)，這樣就可以在應(yīng)用于雙曲型偏微分方程時(shí)

32、保持自相似性。注意到（30）式與總變差類(lèi)似但更光滑。當(dāng)k=2， GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (30)式給出了以下的光滑度衡量式： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 31)而k=3時(shí) GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (30)給出 MACROBUTTON

33、 MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 32)我們很容易驗(yàn)證精度條件 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (29)是滿足的，即使是在光滑極值附近。這說(shuō)明 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (31)給出了一個(gè)三階精度的WENO格式，而 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEF

34、ORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (32)式則給出了一個(gè)五階精度的WENO格式。值得注意的是，這里討論的模板點(diǎn)集里有一個(gè)點(diǎn)的迎風(fēng)偏差，這適合于有流體從左到右流動(dòng)的問(wèn)題。如果流體是從右到左的話，這些過(guò)程就都要以為對(duì)稱(chēng)軸作一下對(duì)稱(chēng)處理。五、二維ENO和WENO重構(gòu)這里我們將前面的重構(gòu)和近似的基本思想推廣到二維中來(lái)。這里我們只集中討論笛卡兒坐標(biāo)系中的情形，對(duì)于曲線坐標(biāo)系的情形，我們完全可以通過(guò)引入坐標(biāo)變換來(lái)轉(zhuǎn)化成笛卡兒坐標(biāo)系中已經(jīng)解決的問(wèn)題來(lái)求解，這里就不討論了。對(duì)于矩形求解域 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTE

35、qn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 33)將它劃分為一系列單元： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 34)其中，。這些單元的中心點(diǎn)為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 35)我們?nèi)匀挥?MAC

36、ROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 36)和 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 37)來(lái)表示網(wǎng)格大小，并且將最大網(wǎng)格大小表示為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn

37、 c * Arabic * MERGEFORMAT 38)同時(shí)假設(shè)和是同一數(shù)量級(jí)的（它們的比例在網(wǎng)格細(xì)分的時(shí)候有上下界）。最后，我們定義 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 39)我們將要面對(duì)的二維數(shù)據(jù)重構(gòu)問(wèn)題定義如下：給定函數(shù)在單元內(nèi)的平均值 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFO

38、RMAT 40)要求在每一個(gè)單元內(nèi)找到一個(gè)至多k-1階的多項(xiàng)式，在單元內(nèi)逼近到k階精度，即 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 41)特別的，它給出了函數(shù)在單元邊界上的近似值它們都是k階精度，即有 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 42) MACROBUTTON MTP

39、laceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 43)下面我們來(lái)討論這個(gè)重構(gòu)問(wèn)題的解法。給定位置和精度k，我們可以首先基于個(gè)相鄰的單元來(lái)構(gòu)造一個(gè)模板點(diǎn)集，記為。然后我們?cè)噲D找到一個(gè)至多k-1階的多項(xiàng)式（在不至于引起誤會(huì)的情況下我們將省去下標(biāo)ij），使得它在的每個(gè)單元內(nèi)的平均值都和的平均值相等： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MER

40、GEFORMAT 44)我們首先指出二維情形有比一維情形更多的候選模板點(diǎn)集，更為重要的是，這里我們遇到了一維情形所不曾有的一些基本困難：并非所有的候選模板點(diǎn)集都可以用來(lái)構(gòu)造一個(gè)至多k-1階多項(xiàng)式以便滿足條件式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (44)。即使獲得了這樣一個(gè)多項(xiàng)式，也不能保證精度條件 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (41)式的成立。對(duì)于矩形網(wǎng)格，我們?nèi)绻褂靡痪S多項(xiàng)式的張量積，即雙k-1次多項(xiàng)式那么重構(gòu)

41、就可以按照一維的做法來(lái)進(jìn)行了。我們將問(wèn)題限制在如下的張量積模板點(diǎn)集內(nèi)：這樣我們就可以引入二維原函數(shù)很顯然有這樣如同一維情形一樣，我們就可以由已知的各單元內(nèi)的平均值得到原函數(shù)在單元角點(diǎn)處的精確值。在一個(gè)張量積模板點(diǎn)集內(nèi)，存在一個(gè)唯一的雙k次多項(xiàng)式，在的每一個(gè)點(diǎn)上近似。我們可以取其混合導(dǎo)數(shù)來(lái)獲得這樣得到的就是雙k-1次多項(xiàng)式了，并且逼近的導(dǎo)數(shù)到k階精度同時(shí)也滿足 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (44)式：這里我們給出一種進(jìn)行二維重構(gòu)的實(shí)用方法。首先沿一個(gè)方向（例如y方向）進(jìn)行一維重構(gòu)，就得到了函數(shù)在另一個(gè)方

42、向（例如x方向）上的一維單元平均值。然后再沿另一個(gè)方向進(jìn)行重構(gòu)。應(yīng)該注意的是，如果ENO是在每一個(gè)方向上使用，那么得到的二維模板點(diǎn)集就可能不是一個(gè)張量積模板點(diǎn)集。具體來(lái)說(shuō)：其步驟為：（1）對(duì)于所有固定的，沿y方向?qū)M(jìn)行一維k階插值，得到插值多項(xiàng)式則注意到：（2）對(duì)于所有，和，計(jì)算。（3）固定，沿x方向?qū)M(jìn)行一維k階插值，得到得到插值多項(xiàng)式則（4）計(jì)算。（5）要計(jì)算，重復(fù)上述過(guò)程，但先沿x方向插值。六 單個(gè)守恒律方程的ENO有限體積格式 考慮如下單個(gè)守恒律方程： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SE

43、Q MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 45)給定網(wǎng)格我們定義單元，單元中心和單元大小為已知n時(shí)刻單元內(nèi)的平均值。首先，寫(xiě)出 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (45)式的半離散形式，其中通量函數(shù)通過(guò)求解Riemann問(wèn)題確定。 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 46)其中 MACROBUTTON MTPlaceRef

44、 * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 47)其中 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 48)可以通過(guò)ENO或WENO插值得到。假定通量函數(shù)已經(jīng)得到，則 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (46)式可以看作一個(gè)常微分方程： MACR

45、OBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 49)其中。我們用Shu和Osher提出的具有TVD性質(zhì)的RungeKutta方法求解該常微分方程組 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (49)，以三階精度格式為例，有：. MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEq

46、n c * Arabic * MERGEFORMAT 50)綜上所述，單個(gè)守恒律方程時(shí)間方向三階精度的ENO（WENO）有限體積格式的實(shí)施步驟如下：（1）已知n時(shí)刻單元內(nèi)的平均值，令。利用ENO或WENO算法計(jì)算代入 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (47)式計(jì)算出通量函數(shù)，由 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (50)中的（a）式得到。（2）已知。利用ENO或WENO算法計(jì)算代入 GOTOBUTTON ZEqnNum

47、 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (47)式計(jì)算出通量函數(shù)，由 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (50)中的（b）式得到。（3）已知。利用ENO或WENO算法計(jì)算代入 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (47)式計(jì)算出通量函數(shù)，由 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (50)中的（c

48、）式得到。則。 格式的空間精度取決于ENO或WENO重構(gòu)的階數(shù)。七 單個(gè)守恒律方程的ENO有限差分格式 對(duì)于單個(gè)守恒律方程 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (45)，在采用有限差分方法離散時(shí)，我們假定已知某一時(shí)刻函數(shù)值，則可知通量函數(shù)在各點(diǎn)的值：， MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 51) 我們希望找一個(gè)數(shù)值通量函數(shù)：， MACROBUTTO

49、N MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 52)得到導(dǎo)數(shù)的k階精度近似：， MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 53)在這里，假定網(wǎng)格是均勻的，。由此，可以得到半離散的差分格式： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFOR

50、MAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 54)注意到 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (54)式是一個(gè)守恒格式。雖然（54）式和（46）式形式上相同，但是（54）式是基于對(duì)微分方程中導(dǎo)數(shù)的近似的，所以由（54）式得到的是在網(wǎng)格點(diǎn)上的函數(shù)值而非平均值。那么如何構(gòu)造（52）式的ENO近似呢？ 注意到：如果找到一個(gè)函數(shù)，滿足： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTE

51、qn c * Arabic * MERGEFORMAT 55)那么顯然有： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 56)因此，要得到 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (53)式，只需滿足：。 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c *

52、 Arabic * MERGEFORMAT 57)咋一看，（57）式的余項(xiàng)似乎應(yīng)為，才能獲得和（53）式相同的階數(shù)。但是，實(shí)際上（57）式中項(xiàng)通常是光滑的，因此（53）式中的差分運(yùn)算將給出一個(gè)額外的，正好可以抵消分母上的一個(gè)。直接利用(55)式來(lái)近似是不容易的，因?yàn)樗鼉H僅是一個(gè)隱式的定義，但是我們注意到函數(shù)是未知函數(shù)在中的平均，因此可以通過(guò)定義的原函數(shù)的方法得到的近似值。定義的原函數(shù)： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 58) 那么由 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum ! * MERGEFORMAT (58)式暗含了： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( S