解讀初中數(shù)學課本中的數(shù)學思想

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)解讀課本中的數(shù)學思想四川 侯國興數(shù)學課程標準在課程目標中明確指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習，學生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必須的重要數(shù)學知識以及基本的數(shù)學思想方法和必要的應(yīng)用技能”.由此可知，數(shù)學課程標準已把基本的數(shù)學思想方法作為學生必須掌握的基礎(chǔ)知識來要求.數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，數(shù)學思想指導著數(shù)學問題的解決，并具體地體現(xiàn)在解決問題的不同方法中，掌握一定的數(shù)學思想和方法遠比掌握一般的數(shù)學知識有用的多.通過七年級下冊數(shù)學的學習，同學們應(yīng)進一步理解和感受

2、以下幾種數(shù)學思想方法：一、方程思想所謂方程思想就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當設(shè)定未知數(shù)，把已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）模型，從而使問題得到解決的思維方法.方程知識是初中數(shù)學的核心內(nèi)容，理解方程思想并應(yīng)用于解題當中十分重要.課本中第6章、第7章列一次方程（組）解應(yīng)用題就是方程思想的具體應(yīng)用. 例1.一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個多邊形的邊數(shù).分析:根據(jù)“邊形的內(nèi)角和等于”與“多邊形的外角和等于”和已知條件，列方程可求解.解答:設(shè)多邊形的邊數(shù)為，則根據(jù)題意得方程： 解得 所以，這個多邊形的邊數(shù)為9評注：對方程思想的考查主要有兩個方面：一是列方程（組）解應(yīng)用題；二是列方程（

3、組）解決代數(shù)問題或幾何問題.二、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學，每個幾何圖形中都要蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系常常又可以通過圖形的直觀性作出形象的描述.數(shù)形結(jié)合思想即是把代數(shù)、幾何知識相互轉(zhuǎn)化、相互利用的一種解題思想. 在一元一次不等式（組）中，用數(shù)軸表示不等式的解集就是數(shù)形結(jié)合的具體體現(xiàn).例2.求不等式組的自然數(shù)解.分析:欲求不等式組的自然數(shù)解,一般思路是先求出不等式組的解集,再在數(shù)軸上表示出其解集,從而進一步求出問題的答案.解答:解不等式得 解不等式得 所以,原不等式組的解集是,其解集在數(shù)軸上表示如圖1所示 圖1 所以,其自然數(shù)解為0、1、2.評注：自然數(shù)也就是非負

4、整數(shù)，在這里易漏掉0.三、分類討論思想分類討論思想就是要針對數(shù)學對象的共性與差異性，將其區(qū)分為不同種類，從而克服思維的片面性，有效地考查學生思維的全面性與嚴謹性.要做到成功分類，需注意兩點：一是要有分類意識，善于從問題的情境中抓住分類對象；二是找出科學合理的分類標準，滿足不重不漏的原則.例3.等腰三角形的周長為16，其中一條邊的長是6，求另兩條邊的長.分析:由于已知的“一條邊的長是6”，未告之是腰長,還是底邊長,所以應(yīng)分類討論求解.解答：(1)當周長為16，腰長為6時,該等腰三角形的另兩邊：一條邊為腰，長為6，另一條邊為底邊，長為16-6-6=4，即另兩邊分別為6和4； (2)當周長為16，底

5、邊長為6時,該等腰三角形的另兩邊都是腰，其長為（16-6）2=5，即另兩邊長為5、5. 評注：求解有關(guān)等腰三角形的邊、角問題時，在題中未附圖形且未指名已知的邊、角是該等腰三角形的底或腰（底角或頂角）的情況下，均需用分類討論思想求解.四、轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化是解數(shù)學問題的一種重要的思維方法.轉(zhuǎn)化思想是分析問題和解決問題的一個重要的基本思想，就解題的本質(zhì)而言，解題就意味著轉(zhuǎn)化，即是把“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把“復雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”，把“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”，把“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”，把“一般”轉(zhuǎn)化為“特殊”，把“高次”轉(zhuǎn)化為“低次”，把一個綜合問題轉(zhuǎn)化為幾個基本問題，把順向思

6、維轉(zhuǎn)化為逆向思維等等.例4.在一個多邊形中，它的內(nèi)角最多可以有幾個是銳角？分析：由于任意一個多邊形的內(nèi)角與其相鄰的外角的和等于，所以若內(nèi)角為銳角，則其外角為鈍角，將該問題轉(zhuǎn)化為求多邊形的外角中最多有幾個鈍角就十分簡捷。 解答：因為 多邊形的外角和為 所以 多邊形的外角中最多有3個鈍角， 所以 多邊形的內(nèi)角中最多有3個銳角。 評注：此題充分體現(xiàn)了結(jié)論與結(jié)論之間的相互轉(zhuǎn)化.五、整體思想研究某些數(shù)學問題時，往往不是以問題的某個組成部分為著眼點，而是有意識放大考查問題的視角，將要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或作整體處理后，達到順利而又簡捷地解決問題的目的，這就是整體思想.例

7、5.已知某個三角形的周長為18，其中兩條邊的長度和等于第三條邊長度的2倍，而它們的差等于第三條邊長度的，求這個三角形的三邊長.分析：三角形有三條邊，題目中有三個條件，此題需設(shè)三角形的三邊為未知數(shù)，列方程組解答.解答：設(shè)三角形的三邊長分別為、，（）則依題意得： 將（2）整體代入（1），得，解得再將代入（2）、（3）得： 解這個方程組得因此，所求三角形的三邊長為7、5、6.評注：所列方程組為三元一次方程組，在求解這個方程組時，將（2）整體代入（1），立即可求出C的大小，使得求解、就變得十分簡單.這種整體代入、整體加減的整體數(shù)學思想在整式、方程（組）、不等式（組）和有關(guān)幾何圖形的計算中經(jīng)常用到。六、

8、對稱思想數(shù)學家赫爾曼外爾曾經(jīng)說過：對稱是一種思想，通過它，人們畢生追求并創(chuàng)造次序、美麗和完善”.利用對稱思想，同學們可較簡單地進行圖案設(shè)計并能解決一些有關(guān)對稱的數(shù)學問題。例6.用四塊如圖2所示的瓷磚拼成一個正方形，形成軸對稱的圖案，和你的同伴比一比，看誰的拼法多.分析：抓住軸對稱圖形的定義即沿著某條直線對折，兩旁的部分能夠完全重合進行圖案設(shè)計.此題的答案不唯一.解答：如圖3所示. 圖2 圖3 評注：（1）在圖3中，黑、白顏色可互換；（2）生活中存在著大量的對稱現(xiàn)象，大到宇宙空間的星體，小到微觀世界的原子，精致的藝術(shù)珍寶，尖端科學中的基因工程，都可以找到圖形對稱的素材.熱身練習1、(2007年吉

9、林省) 某商店在一次促銷活動中規(guī)定：消費者消費滿200元或超過200元就可享受打折優(yōu)惠一名同學為班級買獎品，準備買6本影集和若干支鋼筆已知影集每本15元，鋼筆每支8元，問他至少買多少支鋼筆才能打折？2、(2006吉林省)如圖4.在的方格內(nèi)，填寫了一些代數(shù)式和數(shù).（1）在圖4（1）中各行、各列和對角線上三個數(shù)之和都相等，請你求出的值； （1） 圖4 （2）（2）把滿足圖4（1）的其他6個數(shù)填入圖4（2）中的方格內(nèi).3、（2007年成都市）解不等式組并寫出該不等式組的整數(shù)解4、（2007年杭州市）一個等腰三角形的一個外角等于，則這個三角形的三個角應(yīng)該為5、（2007年重慶市）已知一個等腰三角形兩內(nèi)

10、角的度數(shù)之比為，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（ ）ABC或D圖66、（2006年天津市）如圖5，P、Q是的邊BC上的兩點，且BP=PQ=QC=AP=AQ，則的大小等于_. 圖57、（2007年山西?。┤鐖D6，直線是一條河，兩地相距8千米，兩地到的距離分別為2千米，5千米，欲在上的某點處修建一個水泵站，向兩地供水現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是（）BDC8、（2007年山西?。┤魟t圖79、（2007年青海?。┮阎淮畏匠探M則的值是（ ）A1B0CD10、（2007年資陽市）如圖7，已知ABC為直角三角形，C=90，若沿圖中虛線剪去C，則1+2等于( )A.

11、90 B. 135C. 270 D. 31511、（2007年樂山市）認真觀察圖8的4個圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問題：圖8（1）請寫出這四個圖案都具有的兩個共同特征特征1：_；特征2：_（2）請在圖9中設(shè)計出你心中最美麗的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征圖9 熱身練習答案：1、設(shè)每千克西紅柿元，每千克茄子元根據(jù)題意，得解得 答：每千克西紅柿元，每千克茄子元.2、（1）由已知條件得 解得，（2）略 ）3、 原不等式組的整數(shù)解是4、或、.（提示：分的角是底角的外角與頂角的外角兩種情形考慮）5、 C.（提示：分頂角與底角的度數(shù)比為與分底角與頂角的度數(shù)比為兩種情形解答）6、； 7、B. （提示：此題為一基本作圖題，解決這類問題的方法是將直線同側(cè)的某點通過軸對稱變換轉(zhuǎn)化到的另一側(cè)，根據(jù)“兩點之間，線段最短”予以解決.在這里即是作點P關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)交直線于點M，則在點M處修建水泵站可使鋪設(shè)的管道最短.）8、5；（提示：將兩方程整體相加得，所以）9、-1；（