2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)計(jì)劃 第一節(jié)　數(shù)列的概念與表示 學(xué)案

1、第一節(jié)數(shù)列的概念與表示通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù) 重點(diǎn)一數(shù)列的概念概念含義數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n數(shù)列an的第n項(xiàng)為an，an在數(shù)列an中的項(xiàng)數(shù)為n通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式一般用anf(n)表示前n項(xiàng)和數(shù)列an中，Sna1a2an稱為數(shù)列an的前n項(xiàng)和逐點(diǎn)清1(選擇性必修第二冊(cè)5頁(yè)練習(xí)4題改編)數(shù)列an的前幾項(xiàng)為eq f(1,2)，3，eq f(11,2)，8，eq f(21,2)，

2、則此數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是()Aaneq f(5n4,2)Baneq f(3n2,2)Caneq f(6n5,2)Daneq f(10n9,2)解析：A數(shù)列為eq f(1,2)，eq f(6,2)，eq f(11,2)，eq f(16,2)，eq f(21,2)，其分母為2，分子可表示為15(n1)5n4，因此通項(xiàng)公式可能為aneq f(5n4,2)重點(diǎn)二數(shù)列的分類及性質(zhì)逐點(diǎn)清2(選擇性必修第二冊(cè)9頁(yè)習(xí)題7題改編)已知an2na(1n)若數(shù)列an是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：an2na(1n)，an(2a)na，數(shù)列an是遞減數(shù)列，2a2答案：(2，)重點(diǎn)三數(shù)列的表示方法1列表法列出表

3、格來(lái)表示數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系見下表：序號(hào)n123n項(xiàng)ana1a2a3an2圖象法在平面直角坐標(biāo)系中，數(shù)列的圖象是一系列橫坐標(biāo)為正整數(shù)的孤立的點(diǎn)(n，an)3通項(xiàng)公式法如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*或它的有限子集1,2,3，n為定義域的函數(shù)的表達(dá)式4遞推公式法如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式逐點(diǎn)清3(選擇性必修第二冊(cè)8頁(yè)練習(xí)2題改編)在數(shù)列an中，a11，an1eq f(1n,an1)(n2)，則a5()A

4、eq f(3,2)Beq f(5,3)Ceq f(8,5)Deq f(2,3)解析：Da21eq f(12,a1)2，a31eq f(13,a2)eq f(1,2)，a41eq f(14,a3)3，a51eq f(15,a4)eq f(2,3)4(易錯(cuò)題)設(shè)函數(shù)f(x)的定義如下表，數(shù)列an滿足a12，且對(duì)任意的nN*，均有an1f(an)，則a2 022_x12345f(x)41352解析：由題意，數(shù)列an滿足a12，且對(duì)任意的nN*，均有an1f(an)，可得a12，a2f(2)1，a3f(1)4，a4f(4)5，a5f(5)2，所以an是周期為4的數(shù)列，所以a2 022a50542a21

5、答案：1記結(jié)論1若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2，nN*.)2在數(shù)列an中，若an最大，則eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1；)若an最小，則eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1.)提速度(多選)(2022天津模擬)在數(shù)列an中，an(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)n，則數(shù)列an中的最大項(xiàng)可以是()A第6項(xiàng)B第7項(xiàng)C第8項(xiàng)D第9項(xiàng)解析：AB由結(jié)論2可得(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)n(n2

6、)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)n1且(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)nneq blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)n1，所以eq blcrc (avs4alco1(n1f(7,8)n2，,f(7,8)n1n，)即6n7，所以最大項(xiàng)為第6項(xiàng)和第7項(xiàng)故選A、B由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式1已知Sn2n3，則an_解析：當(dāng)n1時(shí)，a15；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n3(2n13)2n1，當(dāng)n1時(shí)，2111a1所以aneq blcrc (avs4alco1(5，n1，,2n1，n2.) 答案：eq blcrc (avs4alco1(5

7、，n1，,2n1，n2) 2(2022福州質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足a12a222a32n1aneq f(n,2)，nN*，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_解析：a12a222a32n1aneq f(n,2)，當(dāng)n2時(shí)，a12a222a32n2an1eq f(n1,2)，得，2n1aneq f(1,2)，aneq f(1,2n)(n2)，又a1eq f(1,2)也適合式，aneq f(1,2n)(nN*)答案：aneq f(1,2n)(nN*)1已知Sn求an的3個(gè)步驟(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)即可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式；(3)注

8、意檢驗(yàn)n1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n2時(shí)的表達(dá)式合并2Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化(1)利用anSnSn1(n2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn1的關(guān)系式，再求解；(2)利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為只含an，an1的關(guān)系式，再求解 由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式(1)(2022泰安質(zhì)檢)在數(shù)列an中，a1100，an1an3n(nN*)，則通項(xiàng)公式an_；(2)若a11，nan1(n1)an(n2)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_；(3)(2022衡水檢測(cè))設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，Sn12Sn1，nN*，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_解析(1)由an1

9、an3n，nN*，得a2a13，a3a232，a4a333，anan13n1(n2)將這(n1)個(gè)等式累加并整理得ana13323n1100eq f(313n1,13)eq f(1,2)3neq f(197,2)(n2)顯然a1100也適合上式，故通項(xiàng)公式aneq f(1,2)3neq f(197,2)，nN*(2)由nan1(n1)an(n2)，得eq f(an,an1)eq f(n,n1)(n2)所以aneq f(an,an1)eq f(an1,an2)eq f(an2,an3)eq f(a3,a2)eq f(a2,a1)a1eq f(n,n1)eq f(n1,n)eq f(n2,n1)e

10、q f(3,4)eq f(2,3)1eq f(2,n1)(n2)，又a1也滿足上式，所以aneq f(2,n1)(3)因?yàn)镾n12Sn1，所以Sn12Sn1，所以Sn112(Sn1)因?yàn)閍1S11，S112，所以Sn1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以Sn12n，即Sn2n1當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n1，a11也滿足此式，所以an2n1，nN*答案(1)eq f(1,2)3neq f(197,2)，nN*(2)eq f(2,n1)(3)an2n1，nN*由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的常用方法(1)已知a1，且anan1f(n)，可用“累加法”求an；(2)已知a1(a10)，且eq f(an

11、,an1)f(n)，可用“累乘法”求an；(3)已知a1且an1panq(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，可把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1tp(ant)，其中teq f(q,1p)，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解 1(2022重慶模擬)在數(shù)列an中，a13，an1aneq f(1,nn1)，則通項(xiàng)公式an_解析：an1aneq f(1,nn1)eq f(1,n)eq f(1,n1)，當(dāng)n2時(shí)，anan1eq f(1,n1)eq f(1,n)，an1an2eq f(1,n2)eq f(1,n1)，a2a11eq f(1,2)，以上各式相加得，ana11eq f(1,n)，an4eq f(1,n)

12、，a13適合上式，an4eq f(1,n)答案：4eq f(1,n)2已知數(shù)列an的首項(xiàng)是a1eq f(1,2)，且an1eq f(nan,n2)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_解析：由題意得eq f(an1,an)eq f(n,n2)，當(dāng)n2時(shí)，eq f(a2,a1)eq f(a3,a2)eq f(a4,a3)eq f(an,an1)eq f(1,3)eq f(2,4)eq f(3,5)eq f(n1,n1)(n2)，所以eq f(an,a1)eq f(2,nn1)(n2)，因?yàn)閍1eq f(1,2)，所以aneq f(1,nn1)(n2)因?yàn)閍1eq f(1,2)滿足上式，所以aneq f(1,

13、nn1)答案：aneq f(1,nn1)3若數(shù)列an滿足a11，an1eq f(2an,an2)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_解析：因?yàn)閍n1eq f(2an,an2)，a11，所以an0，所以eq f(1,an1)eq f(1,an)eq f(1,2)，即eq f(1,an1)eq f(1,an)eq f(1,2)又a11，則eq f(1,a1)1，所以eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是以1為首項(xiàng)，eq f(1,2)為公差的等差數(shù)列所以eq f(1,an)eq f(1,a1)(n1)eq f(1,2)eq f(n,2)eq f(1,2)，所以aneq f(2,n1)答案：a

14、neq f(2,n1)數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用考向1數(shù)列的周期性若數(shù)列an滿足a12，an1eq f(1an,1an)(nN*)，則該數(shù)列的前2 023項(xiàng)的乘積是()A2B6C3D1解析因?yàn)閿?shù)列an滿足a12，an1eq f(1an,1an)(nN*)，所以a2eq f(1a1,1a1)eq f(12,12)3，同理可得a3eq f(1,2)，a4eq f(1,3)，a52，所以數(shù)列an每四項(xiàng)重復(fù)出現(xiàn)，即an4an，且a1a2a3a41，而2 02350543，所以該數(shù)列的前2 023項(xiàng)的乘積是a1a2a3a4a2 0231505a1a2a33故選C答案C解決數(shù)列周期性問題的方法根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)

15、列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項(xiàng)的值或者前n項(xiàng)的和 考向2數(shù)列的單調(diào)性(2022滕州模擬)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2bn，若數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A1，)B(3，)C2，)Deq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)，)解析數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，對(duì)任意的nN*，都有an1an，(n1)2b(n1)n2bn，即b(2n1)對(duì)任意的nN*恒成立，又n1時(shí)，(2n1)取得最大值3，b3，即實(shí)數(shù)b的取值范圍為(3，)故選B答案B解決數(shù)列單調(diào)性問題的三種方法(1)作差比較法：根據(jù)an1an的符號(hào)判斷數(shù)列an是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列；(2

16、)作商比較法：根據(jù)eq f(an1,an)(an0或an0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；(3)函數(shù)法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)圖象直觀判斷 考向3數(shù)列的最大(小)項(xiàng)(2022金陵質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足a128，eq f(an1an,n)2，則eq f(an,n)的最小值為()Aeq f(29,3)B4eq r(7)1 Ceq f(48,5)Deq f(27,4)解析由an1an2n，可得ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)28242(n1)28n(n1)n2n28，eq f(an,n)neq f(28,n)1，設(shè)f(x)xeq f(28,x)，可知f(x)在(0，eq r(28) 上單調(diào)遞減，在(

17、eq r(28)，)上單調(diào)遞增，又nN*，且eq f(a5,5)eq f(48,5)0時(shí)，f(an1,an)1)，則an1an，則數(shù)列an是遞增數(shù)列，所以數(shù)列an的最小項(xiàng)為a1f(1)；若有an1anf(n1)f(n)0eq blc(rc)(avs4alco1(或an0時(shí)，f(an1,an)0，an1an，故選A2(2022福州模擬)已知數(shù)列an滿足an1eq f(1,1an)，若a1eq f(1,2)，則a2 023()A1Beq f(1,2)C1D2解析：B由a1eq f(1,2)，an1eq f(1,1an)得a22，a31，a4eq f(1,2)，a52，可知數(shù)列an是以3為周期的周期

18、數(shù)列，因此a2 023a36741a1eq f(1,2)3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為aneq f(n2,2n11)，前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)Sn取得最小值時(shí)n的值為_解析：當(dāng)aneq f(n2,2n11)0n1或n6，a20，a30，a40，a50，所以tan3恒成立，即t(an3)mina133，所以tmax35(多選)(2022泰安模擬)大衍數(shù)列來(lái)源于乾坤譜中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，則下列說(shuō)法正確的是()A此數(shù)列的第20項(xiàng)是

19、200B此數(shù)列的第19項(xiàng)是182C此數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為a2n2n2D此數(shù)列的前n項(xiàng)和為Snn(n1)解析：AC觀察此數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式為a2n2n2，奇數(shù)項(xiàng)是后一項(xiàng)減去后一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，a2n1a2n2n，由此可得a202102200，A、C正確；a19a2020180，B錯(cuò)誤；Snn(n1)n2n是一個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，而題中數(shù)列不是等差數(shù)列，不可能有Snn(n1)，D錯(cuò)誤故選A、C6(多選)(2022濰坊一模)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為aneq blcrc (avs4alco1(3n1，n為奇數(shù)，,22n，n為偶數(shù)，)則()Aa619Ba7a6CS522DS6S5解析：BC因?yàn)閍neq

20、blcrc (avs4alco1(3n1，n為奇數(shù)，,22n，n為偶數(shù)，)所以a14，a22，a310，a46，a516，a610，a722，所以A錯(cuò)誤，B正確；S5a1a2a3a4a54(2)10(6)1622，故C正確；因?yàn)閍610，所以S6S5a60，所以S61；當(dāng)n6時(shí)，an1，由題意知，a1a2ak是an的前n項(xiàng)乘積的最大值，所以k5答案：58已知數(shù)列an中，a11，an1ann(nN*)，則a4_，an_解析：由題意可得a11，an1ann，則當(dāng)n2時(shí)，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1123(n1)1eq f(nn1,2)eq f(n2n2,2)，又a11也適合上式

21、，故aneq f(n2n2,2)，則a4eq f(4242,2)7答案：7eq f(n2n2,2)9(2022北京質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足21a122a223a32nan(n1)2n12(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_解析：2a122a223a32n1an12nan(n1)2n12，2a122a223a32n1an1(n2)2n2(n2)，兩式相減，得2nann2n，即ann(n2)，當(dāng)n1時(shí)，a11，適合ann，故ann(nN*)答案：n10如果連續(xù)自然數(shù)數(shù)列a1，a2，an，滿足lg 2lgeq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a1)lgeq blc(rc)(avs4al

22、co1(1f(1,a2)lgeq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,an)lg n，那么這個(gè)數(shù)列最多有幾項(xiàng)？并求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn解：由已知得：2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a1)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,an)n，即2eq f(a11,a1)eq f(a21,a2)eq f(a31,a3)eq f(an1,an)na1，a2，an，為連續(xù)自然數(shù)，上式可化簡(jiǎn)為2eq f(an1,a1)n，即2eq f(a1n,a1)n，2n2a1na1，即(n2)(a12)4若要n最大，且n

23、N*，則只能有eq blcrc (avs4alco1(n24，,a121，)eq blcrc (avs4alco1(n6，,a13，)該數(shù)列最多有6項(xiàng)，首項(xiàng)為3，S634567833B級(jí)綜合應(yīng)用11設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn(1)naneq f(1,2n)，則S1S3S5()A0Beq f(17,64)Ceq f(5,64)Deq f(21,64)解析：D數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn(1)naneq f(1,2n)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，SnSnSn1eq f(1,2n)，即有Sn1eq f(1,2n)，所以S1S3S5eq f(1,4)eq f(1,16)eq f(1,64)eq f

24、(21,64)故選D12在數(shù)列an中，a12，eq f(an1,n1)eq f(an,n)lneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n)，則an()A2nln nB2(n1)ln nC1nln nD2nnln n解析：D由題意得，eq f(an1,n1)eq f(an,n)ln eq f(n1,n)，則eq f(an,n)eq f(an1,n1)ln eq f(n,n1)，eq f(an1,n1)eq f(an2,n2)ln eq f(n1,n2)，eq f(a2,2)eq f(a1,1)ln eq f(2,1)，由累加法得，eq f(an,n)eq f(a1,1)ln eq f(n,n1)ln eq f(n1,n2)ln eq f(2,1)，即eq f(an,n)a1lneq blc(rc)(avs4alco1(f(n,n1)f(n1,n2)f(2,1)，則eq f(an,n)2ln n，所以an2nnln n，故選D13請(qǐng)寫出一個(gè)符合下列要求的數(shù)