勾股定理中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)勾股定理中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想河北張家口市第十九中學(xué)賀峰數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)內(nèi)容和所使用的方法的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，又是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，有了數(shù)學(xué)思想方法為靈魂，數(shù)學(xué)才有了魅力。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，既要掌握基礎(chǔ)知識(shí)，又要注重挖掘題目中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，從而不斷提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強(qiáng)探索創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，本文著重將勾股定理中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想為同學(xué)們加以分析：特殊到一般的思想例1圖1如圖1所示的螺旋形由一系列等腰直角三角形組成，其序號(hào)依次為、，則第n

2、個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為_。析解：觀察圖象，第、個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)分別為 eq r(sdo1(),2)、 eq r(sdo1(),4)、 eq r(sdo1(),8)、 eq r(sdo1(),16)，由此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為 eq r(sdo1(),2n)。說(shuō)明：猜想型問(wèn)題是近幾年各地中考試題的熱點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題提供的信息，通過(guò)觀察、類比、推理、猜想、驗(yàn)證得出一般性規(guī)律和結(jié)論是解決這類問(wèn)題一般方法，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合。分類思想例2如果三條線段的長(zhǎng)分別為6cm、xcm、10cm，這三條線段恰好能組成一個(gè)直角三角形，那么x_。析解：本題分兩種情況解答（1）當(dāng)以6cm、x

3、cm為直角邊，10cm為斜邊時(shí)，10262x2，x8（舍負(fù)）（2）當(dāng)6cm、10cm均為直角邊時(shí)，62102x2，x2 eq r(sdo1(),34)（舍負(fù)）因此，x為4或 eq r(sdo1(),34)。說(shuō)明：在利用勾股定理解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常見的分類情況有以直角邊、斜邊分類，按等腰三角形的腰與底分類，依三角形的形狀分類，按展開方式的不同分類等，同學(xué)們?cè)诮忸}須注意這一點(diǎn)，以避免出現(xiàn)丟解或遭成錯(cuò)解。整體思想BCA圖2例3 如圖2，已知RtABC的周長(zhǎng)為2 eq r(sdo1(),6)，其中斜邊AB2，求這個(gè)三角形的面積。析解：在RtABC中，根據(jù)勾股定理，得BC2AC222即(BCAC)22

4、BCAC4又由已知得BCAC eq r(sdo1(),6) 所以( eq r(sdo1(),6)22 BCAC4解得BCAC1所以S eq f(1,2)BCAC eq f(1,2)說(shuō)明：若要直接求出BC與AC的值，再求三角形的面積，比較繁雜，但由S eq f(1,2)BCAC聯(lián)想到運(yùn)用整體思想（將BCAC 視為一個(gè)整體），問(wèn)題便可順利獲解。轉(zhuǎn)化思想圖3例4如圖3，已知圓柱體底面圓的半徑為 eq f(2,)，高為2，AB、CD分別是兩底面的直徑，AD、BC是母線，若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線的長(zhǎng)度是 _(結(jié)果保留根式)AABDDC圖4析解：將圓柱的側(cè)面展開，如圖4

5、，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知線段AC為小蟲爬行的最短路線，由勾股定理可得AC eq r(sdo1(),AB2BC2)，又因?yàn)锳B eq f(1,2)2 eq f(2,)2，BC2，所以AC eq r(sdo1(),2222)2 eq r(sdo1(),2)。說(shuō)明：在解決立體圖形的最短路徑問(wèn)題時(shí)，通常是將立體圖形向平面圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理知識(shí)最終將問(wèn)題解決。圖4ADBCEF方程思想例5如圖4，折疊矩形ABCD，使它的邊AD落在AF處，F(xiàn)在邊BC上已知AB8cm，BC10cm，求EC的長(zhǎng)析解：連結(jié)AE，則ADEAFE，所以AFAD10，DEEF設(shè)CEx，則EFDE8

6、x，BF eq r(sdo1(),AF2AB2)6，CF4在RtCEF中，EF2CE2+CF2，即（8x）2x216，故x3.說(shuō)明：方程是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，也是重要的數(shù)學(xué)思想，在幾何計(jì)算和幾何證明中常常通過(guò)布列方程使問(wèn)題得到解決。數(shù)形結(jié)合思想例6印度數(shù)學(xué)家什迦邏（1141年-1225年）曾提出過(guò)“荷花問(wèn)題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊， 圖5x eq f(1,2)x eq f(1,2)2漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請(qǐng)解題，湖水如何知深淺？”請(qǐng)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)回答這個(gè)問(wèn)題.析解：根據(jù)題意，畫出圖形，如圖5，設(shè)湖水深x尺，則露出水面部分為 e

7、q f(1,2)尺，結(jié)合圖形，由勾股定理得，(x eq f(1,2)2x222，解這個(gè)方程得x eq f(15,4)，x eq f(1,2) eq f(15,4) eq f(1,2) eq f(17,4)（尺），所以湖水深 eq f(17,4)尺。說(shuō)明：數(shù)形結(jié)合的基本思想，就是在研究問(wèn)題的過(guò)程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考察，斟酌問(wèn)題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，或者把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案類比思想例7ABC中，BCa，ACb，ABc，若C=90，如圖6，根據(jù)勾股定理，則a2b2c2，若ABC不是直角三角形，如圖7和圖8，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想a2b2與c2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。ACBABCABC圖7圖6圖8解：若ABC是銳角三角形，則有a2b2c2 若ABC是鈍角三角形，C為鈍角，則有a2b2c2 當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，BAC圖9abcD證明：過(guò)點(diǎn)A作ADCB，垂足為D。設(shè)CD為x，則有DBax 根據(jù)勾股定理得 b2x2c2(ax) 2即 b2x2c2a22axx 2a2b2c22ax a0，x02ax0a2+b2c2ABCDacb圖10當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，證明：過(guò)點(diǎn)B作BDAC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。設(shè)CD為x，則有DB2a2x2 根據(jù)勾股定理得 (bx)