蘇科版八年級下冊反比例函數(shù)綜合題解法例析

1、聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)感受數(shù)形結(jié)合之美反比例函數(shù)綜合題解法欣賞反比例函數(shù)綜合題在解答時往往要運(yùn)用代數(shù)、幾何方面的多個知識點(diǎn)，且變形豐富，是近年來中考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)考題，同時又是得分率較低、區(qū)分度較大的題目.本文先選擇三道反比例函數(shù)綜合題， 分別用代數(shù)和幾何解法引導(dǎo)學(xué)生抓住問題關(guān)鍵，從不同的角度分析、 解決反比例函數(shù)綜合題.一、問題呈現(xiàn)及解法欣賞k_例1如圖1, A, B是雙曲線y 上的兩點(diǎn).過A點(diǎn)作AC x軸，交 OB于D點(diǎn)， x垂足為C.若 ADO的面積為1, D為OB的中點(diǎn)，求k的值.解法1過點(diǎn)B作BE x軸，垂足為E. D為OB的中點(diǎn)，.CD是 OBE的中位線，_ _1 即CD BE.2設(shè) A(

2、x,k),則 B(2x,K), CD , AD - x2x4x x 4xADO的面積為1,“-ADgOC 1,Bn 1 zk k、.即一（）x 1 ,x 4x一 8解得k . 3解法2過點(diǎn)B作BE x軸，垂足為E.k.A,B是雙曲線y 一上的兩點(diǎn)， x二 SAOC二 SAOCBOE ., S ADO 1 , S AOC S BOE ,SI邊形 BDCES ADO 1.D為OB的中點(diǎn)，AC x,O OCD: OBE,S OCD : S OBE 1:4一S 一S OCD 二，S BOE243k例2如圖2, A, B點(diǎn)在反比例函數(shù)函數(shù) y 的圖象上，C,D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)函 x數(shù)y k2的圖象上,數(shù)

3、y k2的圖象上,xAC交x軸于點(diǎn)E, BD交x軸于點(diǎn)F , AC 2,BD3,EF103 則 k2k1解法1設(shè)人（a,b）,則C(一 k1即ab解法1設(shè)人（a,b）,則C(一 k1即aba,m).10D(I10 一a,b 2) , ( a,3 m),310ab ( a)(3 m), 310(Y a)(m 3)； 310a(b 2) m(T a)rr10即 ab 2a m( a).由，解得a2, k2 k1a(2b) ab 4.解法2如圖2,連結(jié) OA,OC, AF,CF ,則由，解得a2, k2 k1a(2b) ab 4.解法2如圖2,連結(jié) OA,OC, AF,CF ,則1kl2S AEOS

4、 BFO，S ACFS BDES CEOS DFO .S AEO S CEO S AOFS DOFS COF，S BOF S EOB S DOE， TOC o 1-5 h z 11.11-k1- k2-OF ACAC EF ,221 1221 .110即7卜q卜2 TT OF ；21231111- kJ-k2OE BDBD EF ,22221 .13 10即# #5 2(9of). 4由，解得OF , 3, - k2 k12(S DFO S BFO )_1 4OF BD 23 4.22 3例3如圖3,矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) O,矩形ABCD的邊分別平行k于坐標(biāo)軸，點(diǎn) C在反比例函

5、數(shù) y ;的圖象上，若點(diǎn) A的坐標(biāo)為(2, 2),則k的值k解法 設(shè)C的坐標(biāo)為(a,-),又A( 2, 2), a- B( 2， 2).設(shè)直線BD： y mx,代入B,D的坐標(biāo)，得到k . 2mx ，2 am解得k 4.解法2如圖3, 矢I形 ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) O,SI邊形CEOM場邊形 AFON .點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 2), S；四邊形 CEOM S3邊形 AFON 4 ，k 4.解法 3 設(shè) C(a,b),又 A( 2, 2),AN MD 2, AF 2, CE OM FD a, CM b, AD AF FD 2 a, AB BN AN 2 b. A OMD 90 , MO

6、D ODF , OMD : DAB ,MD : AB OM : DA,2: (n 2) m : (2 m),即 mn 4,則k 4.二、解法應(yīng)用拓展A的直線A的直線l與拋例4如圖4,已知拋物線y x 4x 3與X軸交于A,B兩點(diǎn),994物線交于點(diǎn)C.若點(diǎn)E是拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于直線AC的下方，試求 ACE的最大面積及E點(diǎn)的坐標(biāo).解法1 由題意可知，其中 A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,0）, C點(diǎn)坐標(biāo)是（4,3）,直線AC的解析式為y x 1.如圖4,過E作EF x軸垂足為H ,交AC于F .設(shè) E(m, m2 4m 3),則 H (m,0) , F (m, m 1).S ACE S AFE S CF

7、E1 -EFgAH11 -EFgAH1-EFgGH TOC o 1-5 h z 1- 1EFgAG -gEFg332(m 1) (m 4m 3)27835 278(m -)2225一 一 27當(dāng)m - , S ace的取大值為 ,2853 E(-,-).24解法2由題意可知，其中 A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,0）, C點(diǎn)坐標(biāo)是（4,3）,直線AC的解析式為y x 1.如圖5,設(shè)過點(diǎn)E與直線AC平行線的直線為 y x m,則直線 AC和直線EB有且只有一個交點(diǎn)時,4x5x由b24ac (5)21 (3 m) 0,1313i一 一時，點(diǎn) 由b24ac (5)21 (3 m) 0,1313i一 一時，點(diǎn) 4E到AC的距離最大,ACE的面積也達(dá)到最大此時x13434點(diǎn)E的坐標(biāo)為(!4)設(shè)過點(diǎn)13E的直線與x設(shè)過點(diǎn)13E的直線與x軸交點(diǎn)為F ,則F (一,0),4AF直線AC的解析式為y x 1 ,CAB 45 ,點(diǎn)點(diǎn)F到AC的距離為. 29.228又 AC43 （4 1）2 3J2,. 曰1 c k 9/227, , S ace 取大值 3v2 2885 3此時E點(diǎn)坐標(biāo)為（一，一）. 2 4三、結(jié)束語函數(shù)綜合題較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識具有實(shí)踐性、豐富性及探究性等三性特點(diǎn)，但由于綜合性強(qiáng)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高，是中考中得分率低、區(qū)分度大的題目.通過對反比例函數(shù)綜合題的兩種解法， 引導(dǎo)學(xué)生欣賞