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IP屬地：福建 上傳時間：2022-08-11 格式：DOCX 頁數(shù)：6 大?。?23.35KB 積分：6 舉報 版權(quán)申訴

1、 北師大版九年級數(shù)學(xué)（上）正方形相關(guān)常考模型模型1正方形中相交垂線段問題教材P21例1的變式與應(yīng)用【教材母題變式】(教材北師9上P21例1變式)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BECF.AE與BF之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由.解：AEBF且AEBF.理由：四邊形ABCD是正方形，ABBC，ABEC.又BECF，ABEBCF(SAS).BAECBF，AEBF.又BAEAEB90，CBFAEB90.BOE90.AEBF.【變式】如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點O，AOF90.求證：BECF.證明：四邊形ABCD是正方形，ABBC，ABEB

2、CF90.AOB180AOF90，BAEOBA90.又ABECBFOBA90，BAECBF.在ABE和BCF中，eq blc(avs4alco1(ABEBCF，,ABBC，,BAECBF，)ABEBCF(ASA).BECF.【歸納】正方形內(nèi)，分別連接兩組對邊上任意兩點，得到的兩條線段(如：圖1中的線段AF與BE，圖2中的線段AF與EG，圖3中的線段HF與EG)滿足：若垂直，則相等.模型2正方形中過對角線交點的直角問題教材北師9上P25習題T4的變式與應(yīng)用【教材母題變式】(教材P25習題T4變式)如圖，正方形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，OA1交AB

3、于點E，OC1交BC于點F.(1)求證：AOEBOF；(2)如果兩個正方形的邊長都為a，那么正方形A1B1C1O繞O點轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積等于多少？為什么？解：(1)證明：在正方形ABCD中，AOBO，AOBA1OC190，OABOBC45.AOEEOB90，BOFEOB90.AOEBOF.在AOE和BOF中，eq blc(avs4alco1(OAEOBF，,OAOB，,AOEBOF，)AOEBOF(ASA).(2)兩個正方形重疊部分的面積等于eq f(1,4)a2.理由如下：AOEBOF，S四邊形OEBFSEOBSBOFSEOBSAOESAOBeq f(1,4)S正方形ABCDeq

4、 f(1,4)a2.【變式】如圖，在等腰RtABC中，C90，點O是AB的中點，且AC1，將一塊直角三角板的直角頂點放在點O處，始終保持該直角三角板的兩直角邊分別與AC，BC相交，交點分別為D，E，則兩個三角形重疊部分的面積為eq f(1,4).【歸納】ABC是等腰直角三角形，O為斜邊AB的中點.連接OC，則DOCEOB，ADOCEO.在正方形ABCD中，O為對角線的交點，直角EOF繞點O旋轉(zhuǎn)，若OE，OF分別與DA，AB延長線交于點G，H，則AGOBHO，OGH是等腰直角三角形.模型3正方形中的“外角平分線”模型3.如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上任意一點，AEF90，且EF交正

5、方形外角的平分線CF于點F.求證：AEEF.證明：在AB上截取BMBE，連接ME.B90，BMEBEM45.AMEECF135.AEF90，AEBFEC90，AEBMAE90，MAEFEC.ABBC，BMBE，AMEC.在AME和ECF中，eq blc(avs4alco1(MAECEF，,AMEC，,AMEECF，)AMEECF(ASA).AEEF.【變式】在上題的前提下，若題中結(jié)論“AEEF”與條件“CF是正方形外角的平分線”互換，則命題是否還成立？請給出證明.解：命題仍然成立.證明：過點F作FHBC，交BC的延長線于點H，AEF90，AEBFEH90.ABE90，AEBBAE90.BAEH

6、EF.在ABE和EHF中，eq blc(avs4alco1(BAEHEF，,ABEEHF，,AEEF，)ABEEHF(AAS).BEHF，ABEHBC.BCECEHEC，即BECH.HFCH.HCFHFC45，DCF45.CF是正方形外角的平分線.模型4正方形中的半角模型4.如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DFBE.(1)求證：CECF；(2)若點G在AD上，且GCE45，則GEBEGD成立嗎？為什么？解：(1)證明：四邊形ABCD是正方形，BCCD，BCDF.又BEDF，CBECDF(SAS).CECF.(2)GEBEGD成立.理由：由(1)得，CBECDF

7、，BCEDCF.BCEECDDCFECD，即BCDECF90.又GCE45，GCFGCE45.CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG(SAS).GEGF.GEDFGDBEGD.【變式】如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上一點，且EAF45，AE，AF分別交對角線BD于點M，N.求證：MN2BM2DN2.解：過點A作GAAN，使GANA，連接GB，GM.GABBAF90，DANBAF90，GABDAN.在GAB和NAD中，eq blc(avs4alco1(GANA，,GABDAN，,BADA，)GABNAD(SAS).ABGADN45，BGDN.GBM90.EAF45，GAN90，GAM45.在GAM和NAM中，eq blc(avs4alco1(GANA，,GAMNAM，,AMAM，)GAMNAM(SAS).GMMN.在RtGBM中，GM2GB2BM2，MN2BM2DN2.【歸納】(1)如圖1，在正