矩陣特征值和特征向量

1、關(guān)于矩陣的特征值和特征向量第一張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1025.1.1 特征值和特征向量的基本概念定義 設(shè)A為數(shù)域F上的n階矩陣, 如果存在數(shù)lF和非零的n維列向量X, 使得AX=lX就稱l是矩陣A的特征值, X是A的屬于(或?qū)?yīng)于)特征值l的特征向量.注意: 特征向量X0; 特征值問題是對(duì)方陣而言 的, 本章的矩陣如不加說明, 都是方陣.第二張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/103AX=lX 根據(jù)定義, n階矩陣A的特征值, 就是齊次線性方程組 (lI-A)X=0 有非零解的l值. 即滿足方程 det(lI-A)=0 即 的l都是矩陣A的

2、特征值. 因此, 特征值是l的多項(xiàng)式det(lI-A)的根.第三張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/104 AX=lX, det(lI-A)=0(5.2) 定義 設(shè)n階矩陣A=(aij), 則稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式, lI-A稱為A的特征矩陣, (5.2)式稱為A的特征方程.第四張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/105 顯然, n階矩陣A的特征多項(xiàng)式是l的n次多項(xiàng)式. 特征多項(xiàng)式的k重根也稱為k重特征值. 當(dāng)n5時(shí), 特征多項(xiàng)式?jīng)]有一般的求根公式, 即使是三階矩陣的特征多項(xiàng)式, 一般也難以求根, 所以求矩陣的特征值一般是三階行列式求特征值,一般用0,1

3、,-1,2, -2進(jìn)行嘗試先得到一個(gè)根, 則剩下的兩個(gè)根可用解一元二次方程的辦法解.第五張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/106例解驗(yàn)證： 是否為A的特征向量第六張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/107注1注2注3如果 是A對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量，則 也是A對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量。第七張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/108注5矩陣A的任一特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值是唯一的注4如果 是A對(duì)應(yīng)于特征值 的線性無關(guān)特征向量，則 也是A對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量。第八張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/109例 求下

4、列矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項(xiàng)式為A的特征值為即對(duì)應(yīng)的特征向量可取為第九張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1010對(duì)應(yīng)的特征向量可取為A屬于 的全部特征向量：A屬于 的全部特征向量：第十張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1011例 求矩陣 的特征值和特征向量.解 矩陣A的特征多項(xiàng)式為A的特征值為l1=2, l2，3=1(二重特征值).第十一張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1012當(dāng)l1=2時(shí), 由(l1I-A)X=0, 即得其基礎(chǔ)解系為X1=(0,0,1)T, 因此k1X1(k10為常數(shù))是A的對(duì)應(yīng)于l1=2的特征向量

5、.第十二張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1013當(dāng)l2=1時(shí), 由(l2I-A)X=0, 即得其基礎(chǔ)解系為X2=(1,2,-1)T, 因此k2X2(k20為常數(shù))是A的對(duì)應(yīng)于l2=1的特征向量.第十三張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1014例 求矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項(xiàng)式為A的特征值為第十四張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1015得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系第十五張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1016例 主對(duì)角元為a11,a22,.,ann的對(duì)角陣A或上(下)三角陣B的特征多項(xiàng)式是|lI-A|

6、=|lI-B|=(l-a11)(l-a22).(l-ann),故A,B的n個(gè)特征值就是n個(gè)主對(duì)角元.第十六張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1017 2、n階矩陣A=(aij)的n個(gè)特征值為l1,l2,.,ln. 則5.1.2 特征值和特征向量的性質(zhì) 1、設(shè)n階矩陣A可逆的充要條件是它的每一個(gè)特 征值均不為0.第十七張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1018 矩陣的特征值和特征向量還有以下性質(zhì):3、若l是矩陣A的特征值, X是A屬于l的特征向量, 則(i) kl+a是kA+aI的特征值(k,a是任意常數(shù)),(ii) lm是Am的特征值(m是正整數(shù));

7、(iii) 當(dāng)A可逆時(shí), l-1是A-1的特征值; (iv) 當(dāng)A可逆時(shí), detA/l是A*的特征值. 且X仍是矩陣kA+aI, Am, A-1,A*的分別對(duì)應(yīng)于特征值kl+a, lm, 1/l,detA/l的特征向量.第十八張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1019證 已知AX=lX (i) kl是kA的特征值(k是任意常數(shù)), 這是因?yàn)?kA)X=k(AX)=klX, 即kl是kA的特征值, X是kA的屬于特征值kl的特征向量. (ii) A(AX)=A(lX)=l(AX)=l(lX), 即 A2X=l2X 再繼續(xù)上述步驟m-2次, 就得AmX=lmX. (iii)

8、 當(dāng)A可逆時(shí), l0, 由AX=lX可得A-1(AX)=A-1(lX)=lA-1X 因此 A-1X=l-1X故l-1是A-1的特征值, 且X也是A-1對(duì)應(yīng)于l-1的特征向量第十九張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/10204、矩陣A和AT的特征值相同. 證 因?yàn)?lI-A)T=(lI)T-AT=lI-AT 所以 det(lI-A)=det(lI-AT) 因此 A和AT有完全相同的特征值.第二十張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1021定理 設(shè) 階方陣A 有互不相同的特征值 ， (iI A)x= 0的基礎(chǔ)解系為 則 ； ； 線性 無關(guān) 推論 6、設(shè)A為n階方陣， ,若為A的特 征值，則 是f(A)的特