02第2講-高等流體力學(xué)基礎(chǔ)

1、高等流體力學(xué)第2講高等流體力學(xué)基礎(chǔ)萬占鴻浙江大學(xué)海洋學(xué)院Ocean College,Universitywanzh萬占鴻,UOnCiv,ersity1.1流體運(yùn)動的描述方法wanzh萬占鴻,UOnCiv,ersity1.1.1法和日法對于直角坐標(biāo)系，以初始時刻 0 流體微粒的坐標(biāo)a (a, b ,作c) 為區(qū)分微粒的標(biāo)志，日變數(shù)。任何時刻 t 、以(a, b ,標(biāo)c) 記的任意微粒在空間的位置是稱為日變數(shù)和時間的函數(shù)，即x( ax,b,c . )(1-1-1), y ,z保) 持不變。A / 是任意量 A 由隨流體微粒運(yùn)動的觀測者法中的/t意味著(x測量的變化速度，即A DA(1-1-2)Dt

2、是通常的全導(dǎo)數(shù)。它法和日法聯(lián)系起來。萬占鴻,UOnCiv,ersity：起來則聯(lián)系分法過微以通數(shù)可下的導(dǎo)標(biāo)坐日朗格拉和標(biāo)坐A At Ax Ay Az t x y z 3。- 1 - 1(),c 但)是根據(jù)定義， 的函數(shù)(。x量任意 A 是認(rèn)為可(以x,y ,z, 或t)(是a,b,y ,z的) 全導(dǎo)數(shù)為速度的分量u xyz ,4w。- 1 - 1 , , uv,() 13)-(1-成為AAAAAAu x v y w z uA) ，5 - 1-1(tt式中即子，分算性微為一矢 ltoiHanm 算子i j 6 k。- 1 - 1()xyz萬占鴻ejiang University, OC, Zh方

3、程(1-1-5)就是熟悉的全導(dǎo)數(shù)公式。特別地，對于物理量速度 u，u u u u v u w u u (u )u ，txyztut是當(dāng)?shù)丶铀俣龋?(u )u 為遷移加速度。全導(dǎo)數(shù)算子式中，D ( u ) .(1-1-7)tDt萬占鴻, OC, Zhejiang University1.2.2關(guān)于Hamilton算子Hamilton 為一矢性算子，它作用于標(biāo)量 ，則 為梯度，是一個矢量，亦記為 grade；作用于矢量 A，則 A 為散度，是一個標(biāo)量，亦記為 div A；若 A 為張量，則記為 A =DivA； A 為旋度，是一個矢量，記為 rot A 或 curl A。梯度 grade為變化率最

4、大的方向，其大小為這個最大變化率的數(shù)值。散度為向量 A通過界面S 的通量并除以對應(yīng)的微元體的體積V 。旋度即為最大環(huán)量面密度。萬占鴻,UOnCiv,ersity1.2雷諾輸運(yùn)定理wanzh萬占鴻,UOnCiv,ersity法需要對控制體進(jìn)行分析，而日法需要對系統(tǒng)或流體微粒進(jìn)行分析。但質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒等物理定律是直接應(yīng)用于系統(tǒng)的。所以物理定律從系統(tǒng)轉(zhuǎn)首先推導(dǎo)一個關(guān)于由邊界A ( )t圍化為控制體。這需要通過所謂雷諾輸運(yùn)定理來完成。城的任意運(yùn)動體 V(t)的定理。雷諾輸運(yùn)定理：設(shè) Q(t)是體積流體的某種性質(zhì)，則dQu nt)。dA(1-2-1)dt V (t)V (t)A(n 為邊界

5、表面法向矢量。圖 1-1任意的流體體積元萬占鴻,UOnCiv,ersityV流面進(jìn)入放表過開通只流體變形。發(fā)生動并中運(yùn)流場，它在元體積任意考慮讓質(zhì)賴性積依，體運(yùn)動的體元著流。隨體元(如密度)可能在空間和時間上變化?？梢詫ⅲ簲?shù)全導(dǎo)為如下表示變化質(zhì)的賴性體積依 1 t DDt d)VQdV limQt ) t (Q(dVt 0t V (t t)V (t)V (t ) 2t - 1 V (t )d)V limQt( tQ(tdV2- 1(t 0t V (t t) 1V (t )d)Vt t t) t Q(Q(dVV (t )形式緊湊的更為寫成一步以進(jìn)上式可 DQdV lim 1d3V -2 - 1(

6、)t 0 Vt (Dt V (t t) V(t)tV (t)萬占鴻ejiang University, OC, Zh：流體體積入微元的表示為凈流可以微分元則化的。變過程中是在運(yùn)動的系統(tǒng)的體積dV u nt)dA4 - 2 - 1 (法向量dA 樣這是表面積微元。)-3-21(成可以寫式中， u 是流速， n ，是DlimQdVt)dVDt V (t 0d) V5-2-1(DV (t)定理得證。式利用公 QQ)dV6 - 2 - 1dAn(,可以將)-5-2(1寫成Q(u )Dd)V，7 - 2- 1 (DtV (t)V (t)-7-2(1數(shù)。為導(dǎo)數(shù)，右邊格朗日導(dǎo)邊為拉左的萬占鴻ejiang U

7、niversity, OC, Zh1.3質(zhì)量輸送連續(xù)性方程wanzh萬占鴻,UOnCiv,ersity1.3.1連續(xù)性方程(continuity equation)流體運(yùn)動的連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的表現(xiàn)形式。根據(jù)質(zhì)量守律，恒定 D(dV 0-3-1Dt V (t)日型連續(xù)性方程。利用雷諾輸運(yùn)方程7)2-(1-，則此即積分形式的DdD (-u) dV 302)-1(t) tDtV (t)V (或?qū)憺閂 (u-t)dV3 A(nd A ， 3) t-1t)型連續(xù)性方程。式中 uA(t) ndA 。通量物質(zhì)積的表面制體控團(tuán)微為通過為積分形式的萬占鴻ejiang University,

8、OC, Zh由于 V(t)是任取的，因此得，(u)0，(1-3-4)t為微分形式的型連續(xù)性方程，也可寫作Du0 .(1-3-5)DtD 0 ，即流體微團(tuán)沿其對于不可壓縮流體，跡線密度保持不變。從而不可壓縮流體Dt的連續(xù)性方程可以寫為uvwu0，或， 0 ，(1-3-6)xyz上式也稱散度方程。萬占鴻,UOnCiv,ersity1.3.2任意物理量的輸運(yùn)若把( Q )，看作某一物理量Q 物理量，有力學(xué)的某種動是質(zhì)量流體DQ)( u d)VDtV (t)V (t)D)dVDQ(u(Q)7-3-1(DtDtV (t) DQdV .DtV (t)即DdV8 - 3 -1(,Dt V (t)V (t)度

9、它意味著密密度積分號和算子通過可以幫助全導(dǎo)數(shù)于物理量而直接作用Q。萬占鴻ejiang University, OC, Zh,UOnCiv,ersity萬占鴻1.4運(yùn)動方程wanzh1.4.1流體微團(tuán)運(yùn)動的分解與應(yīng)變速率張量根據(jù)流體運(yùn)動分解原理，流體微團(tuán)的運(yùn)動可由下列四種基本形式的運(yùn)動組合各種基本運(yùn)動對時間的變率在各方向的分量可表示為：平移速度 u,v ,。wuvw, S y zSxx,Szz線變形率。(1-4-1)yyx 1 v u S S2 xy xyyx1 wv Syz Szy2yz(1-4-2)角變形率 1 u w S S2 zx zxxz萬占鴻,UOnCiv,ersity 1 v u

10、2 xy z1 wv x2yz(1-4-3)角轉(zhuǎn)速 1 u w 2 zx y稱旋轉(zhuǎn)張量角轉(zhuǎn)速度可以寫成0yzu.1 0 xx 0(1-4-3a)z2 y萬占鴻,UOnCiv,ersity變形部分可寫成對稱變形率張量 S1 u w u1 v u x 2 xy 2 zxSSS S 1 v1 wv yxz u vS SyxSyy. (1-4-4)yz2y2yxyz SS 1 uzz zxzy1 wv w w 2 zx 2 yz z由此可以把流場中任何鄰近兩點(diǎn)速度的變化關(guān)系用微團(tuán)基本運(yùn)動的組合來表達(dá)。萬占鴻,UOnCiv,ersity1.4.2張量與運(yùn)動流體的應(yīng)力張量是比較一般形式的數(shù)，包括標(biāo)量、向量

11、和更復(fù)雜的形式(更高階的張量)。標(biāo)量是零階張量、只簡單地含有一個張量元素；向量是一階張量，在K 實(shí)數(shù)空間中，一個向量有 K個元素和一個下標(biāo)。N 階張量有 K N 個元素和 N-1 個下標(biāo)。應(yīng)力張量ij 就是一個二階張量，同樣應(yīng)變張量也是一個二階張量。由于一般在 3中進(jìn)行運(yùn)算，所以應(yīng)力張量和應(yīng)變張量都各有 9 個元素。就應(yīng)力張量而言，第一個下標(biāo)表示作用面的法線方向，第二個下標(biāo)表示應(yīng)力的作用方向。在 i=j 時，元素 ij 是法向應(yīng)力；當(dāng)i j 時，它是切應(yīng)力(見圖 1-2)。11 1312 .(1-4-5)2131 23 332232萬占鴻,UOnCiv,ersity圖 1-2作用在流體體積微元

12、上的應(yīng)力張量分量萬占鴻,UOnCiv,ersity法向量 n 的給定表面，從應(yīng)力張量作用在這個給定表面元dA對于具有的力是f n dA。它是一個簡單的矩陣乘積。d11 f1 13n12 f n .(1-4-6)2 223 f3 n3 上式的另一種寫法是i ijn j。f(1-4-7)j采用張量求和運(yùn)算的 Einstein 下表記法：如果同一項(xiàng)中給定下標(biāo) j 重復(fù)出現(xiàn)兩次，表示該項(xiàng)需對這個下標(biāo)的所有可能取值(1,2,3)進(jìn)行相加求和。則上式中的求和符號可以省略，寫作：fi ij n .j(1-4-8)萬占鴻,UOnCiv,ersityKronecker 常表示為張量1 0010 0 0.(1-4

13、-9)0 1它稱為各項(xiàng)同性張量，由于它不隨坐標(biāo)系而改變。它也可以看作 33矩陣。萬占鴻,UOnCiv,ersity在沒有運(yùn)動的流體中，應(yīng)力變得非常簡單。剪切應(yīng)力，只保留法向應(yīng)力。這樣運(yùn)動流體的應(yīng)力張量就是對角線上的壓應(yīng)力項(xiàng)加上運(yùn)動時含有非對角線元素的 ij (但對角線元素并不為零)。即 ij pij ij。(1-4-10) ij稱為粘性應(yīng)力張量，它必然依賴于速度的梯度。下面看到應(yīng)力張量是對稱的：xy yz zx yx(1-4-12)zyxz因而只有 6 個是獨(dú)立的。過該點(diǎn)任何方向的平面上的應(yīng)力都是這 6 個應(yīng)力的函數(shù)。萬占鴻,UOnCiv,ersity,UOnCiv,ersity萬占鴻1.4.

14、3本構(gòu)方程wanzh對于許多自然流體，如空氣和水，粘性應(yīng)力 ij 與速度梯度v/ xi 的關(guān)系在大多數(shù)情i況下是線性的。這樣的流體稱為流體，其最一般的線性關(guān)系是ul C，(1-4-13)ijijlmxm式中， Cijlm是一個 4 階系數(shù)張量，且是對稱的。在理論上它有 81 個元素?？梢宰C明，對于各項(xiàng)同性流體這個 4 階張量具有如下形式 ij lm il( jm imCijlm)jl中的 81 個系數(shù)減少為 2 個： 和 ，并且Cijlmu juiul ()(1-4-14)ijxxxijjil這里， 和是依賴于溫度的粘性系數(shù)，其中 只對可壓縮流體才有意義。萬占鴻,UOnCiv,ersity注意

15、速度梯度由兩部分組成u ju juiu1ui 1x x)( ()(1-4-15)x2 x2xijjij這里，u j 1uiS()ij2 xjxi為變形率張量，而u j1ui()ij2 xjxi為角速度張量。萬占鴻,UOnCiv,ersity(1-4-15)只依賴于變形率，而不依賴于角速度。這是由于做剛性旋轉(zhuǎn)的流體不會受到粘性力度角速。以的作用 度，速流體旋轉(zhuǎn)的作剛性i j 2 ku r， ui3。1，例如零，等于量不渦度分 u1 2 2 。)121x2萬占鴻ejiang University, OC, Zh因此 ij 不能依賴于ij ，只依賴于 Sij 。 ij的跡 (2 3) ui (2 3

16、) u ，(1-4-16)iixi式中 2 3稱為總粘性系數(shù)。對于不可壓縮流體 u 0 ，粘性應(yīng)力為u jui ()ijxxji萬占鴻,UOnCiv,ersity對于一般可壓縮流體，有Stokes 假定：22 3 或0 。3所以，可壓縮流體的粘性應(yīng)力張量的跡也等于零，這時粘性應(yīng)力u juku23 。ijiji(1-4-17) xxxjik將(1-4-17)代入到(1-4-10)即得各向同性流體的本構(gòu)方程。 uiu juk23ij pij(i，j，k=1，2，3)，(1-4-18) xijxxjik或?qū)懗上蛄啃问剑簆 (2S2 u).(1-4-18a)3萬占鴻,UOnCiv,ersity,UOn

17、Civ,ersity萬占鴻1.4.4運(yùn)動方程wanzh流體運(yùn)動的另一個基本方程是運(yùn)動方程，它是第二定律在流體運(yùn)動上的表現(xiàn)形式，故也稱動量方程。如果已知體積V和閉合表面積A的一個流體元，可以應(yīng)用動量守恒定律找出這個流體元的運(yùn)動方程。根據(jù)簡單的力學(xué)，流體元的總動量改變量一定和作用在流體元上的力相等。分解為每個方向的分量后，可以寫出： Du dV f ，Dt (1-4-19)iiV式中為流體密度；ui為速度向量的第i個分量；fi為作用力向量f 的第i個分量。萬占鴻,UOnCiv,ersity作用在流體元上的要分為體積力和表面力。所有的均勻地作用于流體元的力叫作體積力。通常最重要的體積力是地心引力(雖

18、然其他力，如離心力可能起作用)，所以體積所受體積力為X gi 。當(dāng)體積力為保守力時，可定義一個勢函數(shù)G， g G ，則i G ，x 勢函數(shù)G即為重力勢。gii作用于流體元的表面力是應(yīng)力，并且由應(yīng)力張量 ij 描述。作用在表面dA 的力由 dA給出，而且作用于流體元的總表面力將會是ijdA j.(1-4-20)jA應(yīng)用定理轉(zhuǎn)化為 xdV 。(1-4-21)ijjV萬占鴻,UOnCiv,ersity將式(1-4-20)和式(1-4-21)代入到式(1-4-19)，并利用雷諾輸運(yùn)方程，便得： ijDu giVdV dVdVVi(1-4-22)，xjDtV即Dui(g)ijdV0.(1-4-23)ixjDtV由于積分域(流體元)的任意性，出 ijDuig，x(1-4-24)iDtj其矢量形式為，Dug 。(1-4-25)Dt萬占鴻,UOnCiv,ersity流體，將應(yīng)力與變形率關(guān)系的本構(gòu)方程(1-4-18a)代入式(1-4-25)，得對于p (