高中物理選擇性必修3精講精煉6組合及組合（精練教師含解析）

1、6.2.2 組合及組合數(shù)(精練)【題組一 組合的定義】1(2021全國高二課時練習(xí))下列各事件中，屬于組合問題的是( )A從3名教師中，選出2名分別去北京、上海學(xué)習(xí)B從10名司機(jī)中選出4名，分配到4輛汽車上C某同學(xué)從4門課程中選修2門D從13位同學(xué)中任選出兩位擔(dān)任學(xué)習(xí)委員、體育委員【答案】C【解析】A，從3名教師中，選出2名分別去北京、上海學(xué)習(xí)與順序有關(guān)，是排列問題；B，從10名司機(jī)中選出4名，分配到4輛汽車上與順序有關(guān)，是排列問題；D從13位同學(xué)中任選出兩位擔(dān)任學(xué)習(xí)委員、體育委員均與順序有關(guān)，是排列問題；C，某同學(xué)從4門課程中選修2門，與順序無關(guān)，是組合問題.故選：C2(2021全國高二課時

2、練習(xí))下列問題不是組合問題的是( )A10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？B平面上有2015個不同的點，它們中任意三點不共線，連接任意兩點可以構(gòu)成多少條線段？C集合a1，a2，a3，an的含有三個元素的子集有多少個？D從高三(19)班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法？【答案】D【解析】A選項中握手次數(shù)的計算與次序無關(guān)，B選項中線段的條數(shù)計算也與點的次序無關(guān)，C選項中子集的個數(shù)與該集合中元素的次序無關(guān)，故這三個問題都是組合問題.D項中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是兩個不同的選法，因此是排

3、列問題，不是組合問題，故選：D.3(2021全國高二課時練習(xí))以下四個問題中，屬于組合問題的是( )A從3個不同的小球中，取出2個小球排成一列B老師在排座次時將甲乙兩位同學(xué)安排為同桌C在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星D從13位司機(jī)中任選出兩位分別去往甲乙兩地【答案】C【解析】只有從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星，與順序無關(guān)，是組合問題.故選：C.4(2021全國高二課時練習(xí))從10個不同的非零的數(shù)中任取2個數(shù)，求其和、差、積、商這四個問題中，屬于組合的有( )A1個B2個C3個D4個【答案】B【解析】因為減法和除法運算中交換兩個數(shù)的位置對計算結(jié)果有影響，而加法和乘法

4、運算滿足交換律，交換兩個數(shù)的位置對計算結(jié)果沒有影響.所以屬于組合的有加法和乘法，共2個.故選：B5(2021全國高二課時練習(xí))(多選)給出下列幾個問題，其中是組合問題的是( )A求由1，2，3，4構(gòu)成的含有兩個元素的集合的個數(shù)B求5個隊進(jìn)行單循環(huán)比賽的分組情況的種數(shù)C3人去做5種不同的工作，每人做1種，求不同的安排種數(shù)D求由1，2，3組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)【答案】AB【解析】A，B中選出元素就完成了這件事，是組合問題；而C，D中選出的元素還需排列，與順序有關(guān)，是排列問題.故選：AB.6(2021全國高二課時練習(xí))(多選)下列問題屬于組合問題的是( )A從4名志愿者中選出2人分別參加志愿服

5、務(wù)工作B從0，1，2，3，4這5個數(shù)字中選取3個不同的數(shù)字，組成一個三位數(shù)C從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)出席大學(xué)生運動會開幕式D從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)分別擔(dān)任班長副班長和學(xué)習(xí)委員【答案】AC【解析】選項A. 從4名志愿者中選出2人分別參加志愿服務(wù)工作，只需選出2人即可，無排序要求，故是組合問題.選項B. 從0，1，2，3，4這5個數(shù)字中選取3個不同的數(shù)字，組成一個三位數(shù),選出3個不同數(shù)字，還需對3個數(shù)字進(jìn)行排序成三位數(shù)，故是排列.選項C. 從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)出席大學(xué)生運動會開幕式, 只需選出3人即可，無排序要求，故是組合問題.選項D. 從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)分別擔(dān)任班長副班長和學(xué)習(xí)委員先

6、從全班選出3人，再安排其職務(wù)，即需排序，故是排列問題.所以B，D項均為排列問題，A，C項是組合問題.故選：AC7(2021全國高二課時練習(xí))下列問題中，組合問題有_，排列問題有_.(填序號)從1，3，5，9中任取兩個數(shù)相加，所得不同的和；平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的線段的條數(shù)；從甲、乙、丙三名同學(xué)中選兩名同學(xué)參加不同的兩項活動.【答案】 【解析】對于，兩個數(shù)的和與順序無關(guān)，故是組合問題；對于，兩點為端點的線段與順序無關(guān)，故是組合問題；對于，選出的同學(xué)參加不同的活動，與順序有關(guān)，故是排列問題.故答案為：，8(2021全國高二課時練習(xí))判斷下列問題是排列問題還是組合問題，并求出相應(yīng)的排

7、列數(shù)或組合數(shù).(1)10個人相互寫一封信，一共寫了多少封信？(2)10個人相互通一次電話，一共通了多少次電話？(3)10支球隊以單循環(huán)進(jìn)行比賽(每兩隊比賽一次)，這次比賽需要進(jìn)行多少場？(4)從10個人中選3人去開會，有多少種選法？(5)從10個人中選出3人擔(dān)任不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？【答案】(1)90；(2)45；(3)45；(4)120；(5)720.【解析】(1)排列問題，因為發(fā)信人與收信人是有順序區(qū)別的，排列數(shù)為. (2)組合問題，因為甲與乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，沒有順序區(qū)別，組合數(shù)為(3)組合問題，因為每兩個隊比賽一次，沒有順序的區(qū)別，組合數(shù)為(4)組合問題，因

8、為去開會的3個人之間沒有順序的區(qū)別，組合數(shù)為(5)排列問題，因為3個人擔(dān)任哪一科的課代表是有區(qū)別的，排列數(shù)為.9(2021浙江麗水高二課時練習(xí))判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)設(shè)集合A=a，b，c，d，e，則集合A的子集中含有3個元素的有多少個?(2)某鐵路線上有5個車站，則這條線上共需準(zhǔn)備多少種車票，多少種票價?(3)元旦期間，某班10名同學(xué)互送賀年卡，傳遞新年的祝福，賀年卡共有多少張?【答案】(1)組合問題，(2)組合問題，(3)排列問題【解析】(1)因為本問題與元素順序無關(guān)，故是組合問題(2)因為甲站到乙站，與乙站到甲站車票是不同的，故是排列問題，但票價與順序無關(guān)，甲站到乙站，

9、與乙站到甲站是同一種票價，故是組合問題(3)甲寫給乙賀卡，與乙寫給甲賀卡是不同的，所以與順序有關(guān)，是排列問題10(2021全國高二課時練習(xí))給出下列問題：(1)從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成一件工作，有多少種不同的選法？(2)從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？(3)a，b，c，d四支足球隊之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需賽多少場？(4)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠亞軍，有多少種不同的結(jié)果？(5)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，不同的結(jié)果有多少種？(6)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍中恰有3槍連中，不同的結(jié)果有多少種？在上述問

10、題中，哪些是組合問題？哪些是排列問題？【答案】(2)(4)(6)是排列；(1(3)(5)是組合.【解析】(1)2名學(xué)生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題.(2)2名學(xué)生完成兩件不同的工作，有順序，是排列問題.(3)單循環(huán)比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題.(4)冠亞軍是有順序的，是排列問題.(5)命中的4槍均為2槍連中，為相同的元素，沒有順序，是組合問題.(6)命中的4槍中恰有3槍連中，即連中3槍和單中1槍，有順序，是排列問題.【題組二 組合數(shù)的計算】1(2021全國高二課前預(yù)習(xí))若，則_.【答案】6【解析】因為，所以，所以2(2021全國高二課時練習(xí))計算：_.【

11、答案】210【解析】 .故答案為：.3(2021黑龍江哈爾濱三中高二月考)不等式的解集為_.【答案】【解析】由題意，得，.原不等式可化簡為，即，解得.又，所以.故答案為：.4(2021全國高二課時練習(xí))計算：(1)_(2)_【答案】124 【解析】(1)由已知得需滿足，即，原式(2)因為，所以，故答案為：；5(2021全國高二課時練習(xí))求= 【答案】【解析】對任意的且，其中且，所以，.6(2021全國高二課時練習(xí))解方程：【答案】或【解析】因為，所以或，解得或，經(jīng)檢驗都符合題意，所以方程的解是或.7(2021全國高二課時練習(xí))(1)已知，求；(2)已知，求【答案】(1)；(2)【解析】(1)由

12、題設(shè)，可得，解得或(舍)，.(2)由題設(shè)，解得.8(2021全國高二單元測試)(1)計算：；(2)計算：；(3)解方程：.【答案】(1)；(2)330；(3)15.【解析】(1)原式；(2)原式；(3)原方程可化為，整理得，即，化簡得，解得或(舍去)，所以原方程的解是.9(2021全國高二課時練習(xí))已知成等差數(shù)列，求的值.【答案】91【解析】由已知得，所以整理得解得n7或n14，要求的值，故n12，所以n14，于是10(2021全國高二課時練習(xí))求證：.【答案】證明見解析【解析】，所以等式成立.【題組三 組合運用之選人(物)】1(2021全國高二課時練習(xí))從5名同學(xué)中推選4人去參加一個會議，則

13、不同的推選方法種數(shù)是( )A10B5C4D1【答案】B【解析】根據(jù)組合的概念，從5名同學(xué)中推選4人去參加一個會議，則不同的推選方法種數(shù)是種.故選：B.2(2021全國高三月考(文)2019年版高中數(shù)學(xué)人教版教材一共有5本.分別是必修第一冊必修第二冊選擇性必修第一冊選擇性必修第二冊選擇性必修第三冊，在一次數(shù)學(xué)新教材培訓(xùn)會議上，主持人剛好帶了全套5本新教材，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出了3本送給在場的培訓(xùn)學(xué)員，則恰有1本選擇性必修的新教材被抽到的概率為( )ABCD【答案】B【解析】由題設(shè)，隨機(jī)抽出了3本恰有1本選擇性必修的新教材的概率為.故選：B3(2021全國高二課時練習(xí))現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色，黃

14、色，藍(lán)色，綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數(shù)為( )A484B472C252D232【答案】B【解析】根據(jù)題意，不考慮限制，從16張卡片中任取3張，共有種取法，如果取出的3張為同一種顏色，則有種情況，如果取出的3張有2張綠色卡片，則有種情況，故所求的取法共有種.故選：B.4(2021全國高二課時練習(xí))假如北京大學(xué)給中山市某三所重點中學(xué)7個自主招生的推薦名額，則每所中學(xué)至少分到一個名額的方法數(shù)為( )A30B21C10D15【答案】D【解析】用“隔板法”，在7個名額中間的6個空位上選2個位置加2個隔板，有種分配方法.故選：D.5(20

15、21全國高二課時練習(xí))文化和旅游部在2021年圍繞“重溫紅色歷史、傳承奮斗精神”“走進(jìn)大國重器、感受中國力量”“體驗美麗鄉(xiāng)村、助力鄉(xiāng)村振興”這三個主題，遴選出“建黨百年紅色旅游百條精品線路”這些精品線路中包含中共一大會址、嘉興南湖、井岡山、延安、西柏坡5個傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū)，還有港珠澳大橋、北京大興國際機(jī)場2個展現(xiàn)改革開放和新時代發(fā)展成就的景區(qū)，中國天眼、“兩彈一星”紀(jì)念館、湖南十八洞村、浙江余村、貴州花茂村5個展示科技強(qiáng)國和脫貧攻堅成果的景區(qū)為安排旅游路線，從上述12個景區(qū)中選3個景區(qū)，則必須含有傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū)以及展示科技強(qiáng)國和脫貧攻堅成果景區(qū)的不同選法種數(shù)為( )A220B150C50D1

16、00【答案】B【解析】從12個景區(qū)中選3個景區(qū)，共有種選法，不含傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū)的選法種數(shù)為，不含展示科技強(qiáng)國和脫貧攻堅成果景區(qū)的選法種數(shù)為，所以所求的不同選法種數(shù)為.故選：B5(2021全國高二課時練習(xí))從10名排球隊員中選出7人參加比賽，則不同的選法種數(shù)為( )A150B120C160D110【答案】B【解析】因從10名排球隊員中選出7人參加比賽，選出的7人沒有順序性，它是組合問題，所以，不同的選法種數(shù)為.故選：B6(2021全國高二單元測試)(多選)在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，則( )A恰好有1件是不合格品的抽法種數(shù)為B恰好有2件是不合

17、格品的抽法種數(shù)為C至少有1件是不合格品的抽法種數(shù)為D至少有1件是不合格品的抽法種數(shù)為【答案】ACD【解析】由題意知，抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件不合格品，則包括1件不合格品和2件合格品，抽法種數(shù)為，故選項A正確；恰好有2件不合格品，則包括2件不合格品和1件合格品，抽法種數(shù)為，故選項B不正確；根據(jù)題意，至少有1件不合格品可分為有1件不合格品與有2件不合格品兩種情況，則抽法種數(shù)為，故選項C正確；至少有1件不合格品的對立事件是3件都是合格品，3件都是合格品的抽取方法有種，則至少有1件是不合格品的抽法種數(shù)為，故選項D正確.故選ACD.7(2021全國高二課時練習(xí))(多選題)某班有50名學(xué)生，其中正、副班

18、長各1人，現(xiàn)選派5人參加一項活動，要求正、副班長至少有1人參加，問共有多少種選派方法？下面是學(xué)生提供的四種計算方法正確的算法為( )A；B；C；D【答案】ABD【解析】對于A，正、副班長有1人參加的方法數(shù)有種，正、副班長有人參加的方法數(shù)有種，故總的方法數(shù)有種，故A正確；對于B，人抽取人，總的方法數(shù)為，其中沒有正、副班長的方法數(shù)為，所以方法數(shù)為種，故B正確；對于C和D，正、副班長中任抽取一個，然后在剩余人中抽取個，方法數(shù)有種，減去重復(fù)的包括正、副班長的情況種.所以方法數(shù)有種，故D正確，C不正確.綜上所述，本小題正確算法有種，故選：ABD.8(2021福建省漳州第一中學(xué)高二月考)(多選)男女學(xué)生共

19、有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有( )A1人B2人C3人D4人【答案】BC【解析】設(shè)女生有n人，則男生有8-n人，由題意得：，即，解得或，故選：BC9(2021全國高二課時練習(xí))6人參加一項活動，要求是“必須有人去，去幾個人，誰去，自己定”，則不同的去法種數(shù)為_【答案】63【解析】按照參加的人數(shù)分類，參加的人數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，所以不同的去法有種故答案為：63.10(2021北京密云高二期末)某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生5名，外科醫(yī)生4名，現(xiàn)選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊其中：(1)某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？(2)甲、乙均不能參

20、加，有多少種選法？(3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？(4)隊中至少有2名內(nèi)科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生，有幾種選法？【答案】(1)； (2)； (3)； (4).【解析】(1)根據(jù)題意，某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，在剩下的7人中再選3人即可，有種選法；(2)甲乙均不能參加，在剩下的7人中選5人即可，有種選法；(3)在 9人中選出5人，有種選法，甲乙均不能參加的選法有種，則甲乙兩人至少有一人參加的選法有種選法；(4)由題意，分3中情況討論：隊中有2名內(nèi)科醫(yī)生和3名外科醫(yī)生，有種選法；隊中有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生，有種選法；隊中有4名內(nèi)科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生，有種選法，由分類計數(shù)原理

21、，可得種不同的選法.【題組四 組合運用之小球】1(2021全國高二課時練習(xí))現(xiàn)有本書和位同學(xué)，將書全部分給這三位同學(xué).(1)若本書完全相同，每個同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？(2)若本書都不相同，共有多少種分法？(3)若本書都不相同，每個同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？【答案】(1)種；(2)種；(3)150種.【解析】解：(1)根據(jù)題意，若本書完全相同，將本書排成一排，中間有個空位可用，在個空位中任選個，插入擋板，有種情況，即有種不同的分法；(2)根據(jù)題意，若本書都不相同，每本書可以分給人中任意1人，都有3種分法，則5本不同的書有種；(3)根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：將本書分成組，若分成

22、1、1、3的三組，有種分組方法，若分成1、2、2的三組，有種分組方法，則有種分組方法；將分好的三組全排列，對應(yīng)名學(xué)生，有種情況，則有種分法.2(2021全國高二課時練習(xí))現(xiàn)有編號為，的7個不同的小球(1)若將這些小球排成一排，且要求，三個球相鄰，則有多少種不同的排法？(2)若將這些小球排成一排，要求球排在中間，且，各不相鄰，則有多少種不同的排法？(3)若將這些小球排成一排，要求，四個球按從左到右排(可以相鄰也可以不相鄰)，則有多少種不同的排法？(4)若將這些小球放入甲，乙，丙三個不同的盒子，每個盒子至少一個球，至多3個球，則有多少種不同的放法？【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(

23、1)把，三個球看成一個整體，則不同的排法總數(shù)為種.(2)在正中間，所以的排法只有1種，因為，互不相鄰，故，三個球不可能在同在的左側(cè)或右側(cè)，若，有1個在的左側(cè)，2個在的右側(cè)，則不同的排法有，同理可得若，有2個在的左側(cè)，2個在的右側(cè)，不同的排法有，故所求的不同排法總數(shù)為種.(3)從7個位置中選出4個位置給，且，四個球按從左到右排，共有排法種，再排余下元素，共有種，故不同排法總數(shù)為種.(4)三個盒子所放的球數(shù)分別為或，若三個盒子所放的球數(shù)分別為，則不同排法共有，若三個盒子所放的球數(shù)分別為，則不同排法共有，故不同的排法總數(shù)為.3(2021全國高二課時練習(xí))相鄰的4個車位中停放了4輛不同的車，現(xiàn)將所有車

24、開出后再重新停入這4個車位中(1)若要求有3輛車不得停在原來的車位中，有多少種不同的停法？(2)若要求有2輛車不得停在原來的車位中，有多少種不同的停法？(3)若要求所有車都不得停在原來的車位中，有多少種不同的停法？【答案】(1)8種；(2)6種；(3)9種.【解析】(1)可分成兩步完成：第一步，先選出停在原來車位的那輛車，有種情況，第二步，停放剩下的3輛車，有2種停法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種停法；(2)可分成兩步完成：第一步，先選出停在原來車位的那2輛車，有種情況，第二步，停放剩下的2輛車，有1種停法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種停法；(3)將4輛車分別編號為，將4個停車位分別編號為一、

25、二、三、四，不妨設(shè)車先選停車位，此時有3種停法，若車選了二號停車位，那么車再選，有3種停法，剩下的車和車都只有1種停法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種停法4(2021全國高二課時練習(xí))(1)6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有多少種方法？(2)6本不同的書，分為三份，每份兩本，有多少種方法？【答案】(1)90；(2)15.【解析】(1)把6本書平均分給甲、乙、丙3個人，每人2本，分3步進(jìn)行，先從6本書中取出2本給甲，有C62種取法，再從剩下的4本書中取出2本給乙，有C42種取法，最后把剩下的2本書給丙，有1種情況，則把6本書平均分給甲、乙、丙3個人，每人2本，有C62C42190種分法

26、；(2)無序均勻分組問題先分三步，則應(yīng)是C62C42C22種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù)不妨記6本書為A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為(AB，CD，EF)，則C62C42C22種分法中還有(AB，EF，CD)、(CD，AB，EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共A33種情況，而這A33種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有(C62C42C22)A3315種5(2021上海市第三女子中學(xué)高二期末)從1、3、5、7中任取2個數(shù)字，從0、2、4、6、8中任取2個數(shù)字，用這四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，所有這些四位數(shù)構(gòu)成集合M(1)求集合M中不含有數(shù)字0的元素的個數(shù)；(2)求集合M中含有數(shù)字0的元素的個數(shù)；(3)從集合M中隨機(jī)選擇一個元素，求這個元素能被5整除的概率【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)M中不含有數(shù)字0的元素：1、從1、3、5、7中任取2個數(shù)字有種取法，2、從2、4、6、8中任取2個數(shù)字有種取