高考總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)配北師版(老高考舊教材)-課后習(xí)題及答案-選修4-4　坐標(biāo)系與參數(shù)方程課時規(guī)范練66　極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的應(yīng)用

1、課時規(guī)范練66極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固組1.(2021山西晉中二模)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為x=2+2cos,y=2sin(為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為(sin +cos )=1.(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;(2)點P的極坐標(biāo)為1,2,設(shè)直線l與圓C的交點為A,B兩點,且AB的中點為Q,求線段PQ的長.解:(1)由x=2+2cos,y=2sin(為參數(shù)),消去參數(shù),得圓C的普通方程為(x-2)2+y2=4,由(sin +cos )=1,結(jié)合x=cos ,y=sin ,可得直線

2、l的直角坐標(biāo)方程為x+y-1=0.(2)由點P的極坐標(biāo)為1,2,得點P的直角坐標(biāo)為(0,1),可知點P在直線l上.設(shè)直線l的參數(shù)方程為x=-22t,y=1+22t(t為參數(shù)),代入圓的普通方程得t2+32t+1=0,又PQ=t1+t22,故|PQ|=t1+t22=322.2.(2021河南六市聯(lián)考一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=1+tcos,y=1+tsin(t為參數(shù),0,),以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為=4cos-3.(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)P(1,1),若直線l與圓C相交于A,B兩點,求|PAPB|的最大值.解:(1)

3、由圓C的極坐標(biāo)方程為=4cos-3,得圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2x+23y,即(x-1)2+(y-3)2=4.(2)將直線l的參數(shù)方程x=1+tcos,y=1+tsin(t為參數(shù)),代入(x-1)2+(y-3)2=4,得t2-2(3-1)sin t-23=0.設(shè)點A,B所對應(yīng)的參數(shù)為t1和t2,則t1+t2=2(3-1)sin ,t1t2=-23,(方法1)|PAPB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4(3-1)2sin2+83,當(dāng)sin =1時,|PAPB|max=4.(方法2)由t的幾何意義知,|PAPB|=|AB|,所以|PAPB|max=2r=4.綜合提升組3.

4、(2021江西鷹潭一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l過點(1,0),傾斜角為,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程是=8cos1-cos2.(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若=4,設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點,求AOB的面積.解:(1)直線l的參數(shù)方程為x=1+tcos,y=tsin(t為參數(shù)).由=8cos1-cos2,得2sin2=8cos ,即曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=8x.(2)當(dāng)=4時,直線l的參數(shù)方程為x=1+22t,y=22t(t為參數(shù)),代入y2=8x,得t2-82t-16=0,所以t1+t2=82,t1t2=-1

5、6.所以|AB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=83.由直線l過點(1,0),所以O(shè)到AB的距離為d=1sin4=22.則SAOB=128322=26.創(chuàng)新應(yīng)用組4.(2021河南新鄉(xiāng)一模)數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線,在極坐標(biāo)系中,曲線C:=sin 3(R,0,2)被稱為“三葉玫瑰線”(如圖所示).(1)求以極點為圓心的單位圓與三葉玫瑰線交點的極坐標(biāo);(2)射線l1,l2的極坐標(biāo)方程分別為=0,=0+2(00,2),0),l1,l2分別交曲線C于M,N兩點,求1|OM|2+1|ON|2的最小值.解:(1)將單位圓與“三葉玫瑰線”的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得=sin3,=1,解得sin 3=1,所以3=2+2k(kZ),所以=6+2k3(kZ).因為0,2),取k=0,1,2,得=6,56,32.從而得到以極點為圓心的單位圓與“三葉玫瑰線”交點的極坐標(biāo)為A1,6,B1,56,C1,32.(2)將=0,=0+2代入C:=sin 3(R,0,2)中,點M,N所對應(yīng)的極徑分別為1,2,所以1=sin 30,2=-cos 30,即|OM|2=sin230,|ON|2=cos230,1|OM|2+1|ON|2=1sin230