線性代數(shù)解題指導：第二章 行列式

1、PAGE 1第二章 行列式2.1 基本內(nèi)容2.1.1 行列式的定義1）“遞推”定義定義 一階行列式，設階行列式已經(jīng)定義，則階行列式定義為 （2.1）其中為的余子式，表示劃去元素所在的第行，第列后剩下的階行列式。如果定義代數(shù)余子式，則 （2.2）注1 一階行列式。注2 式（2.2）又稱為按第一行展開定義。事實上，有按行列式中任一行或任一列展開公式，即 （2.3） （2.4）2）“逆序”定義定義 n階行列式等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積之代數(shù)和，即（2.5）其中是的一個全排列，是的逆序數(shù)。注1 n階行列式是由項組成的代數(shù)和。注2 一個全排列中，若，則稱這兩個數(shù)組成一個逆序。注3 逆序數(shù)為

2、中逆序的總數(shù)。例如2.1.2 行列式的性質(zhì)（1）方陣A的行列式與其轉(zhuǎn)置的行列式相同，即（2.6）注 所有對列成立的行列式性質(zhì)，對行也成立。（2）互換行列式的兩列（或行）的位置，行列式變號。推論 如果行列式的兩列（或行）相同，則行列式為零。（3）某數(shù)乘行列式，等于用數(shù)乘它的某一列（或）行的所有元素，即 （2.7）其中為n維列向量。注 （2.7）式的右端，數(shù)只能乘某一列（或行），其余列（或）行不變。推論1 某數(shù)乘方陣A的行列式等于乘A的行列式，即（2.8）推論2 如果行列式的一行（或列）為零，則行列式為零。推論3 如果行列式的兩行（或列）成比例，則行列式為零。（4）A的行列式中某一列（或行）可分成

3、兩個向量之和，則A的行列式等于分別由這兩個列（或行）向量取代中這一列（或行）構(gòu)成行列式之和，即（2.9）注 上式稱為行列式的加法性質(zhì)。推論 將行列式的某一列（或行）的任意倍加到另一列（或行）上去，行列式不變。（5）對于方陣A的行列式，有（2.10）特殊行列式的值上三角行列式：下三角行列式：對角行列式：（4）（5）（6）（7）范得蒙行列式：（2.11）其中為連乘積的符號。分塊矩陣對應的行列式公式設A為n階方陣，B為m階方陣，則有（1）（2.12）（2）（2.13）（3）當A可逆時，（2.14）（4）當D可逆時，（2.15）（5）當A，D都可逆時，即 （2.16）與矩陣運算有關的行列式公式設A為n

4、階方陣，B為n階方陣，為A的轉(zhuǎn)置伴隨陣，為A的逆矩陣，為A的轉(zhuǎn)置陣，為數(shù)，有（1）; (2) ； (3) ；（4）；（3）； （4）。2.1.6 行列式的計算利用行列式的定義計算。利用行列式的性質(zhì)直接計算。利用行列式的性質(zhì)化為上（下）三角行列式計算。利用降階法計算。利用升階法計算。利用遞推法計算。利用析因子法計算。利用范德蒙行列式計算。設計矩陣運算的行列式計算。利用分塊行列公式計算。2.1.7 行列式的應用（1）n階方陣A為可逆陣的充分必要條件是，此時，有逆陣公式 （2.17）其中為A的轉(zhuǎn)置伴隨陣，為的代數(shù)余子式。注1（2.17）式由公式導出，其具有一定的理論價值。注2 。（2）克萊姆（Gra

5、mer）法則對于線性代數(shù)方程組，當時，方程組有唯一解，其中為用右端列b取代A的第i列所得的行列式。特別地，當時，Ax0只有零解；要使得齊次線性方程組Ax0有非零解，必須。與行列式有關的結(jié)論 當A為n階方陣的時候，有可逆只有零解有唯一解的行（或列）向量線性無關的特征值全非零。2.2 典型例題分析 利用行列式的定義計算行列式例1 計算3階行列式 解 按第1列展開可得 注 也可按第1行展開得 最容易的應按第2列展開，得例2 試證對于n階行列式有證 按第1行展開得繼續(xù)按第1行展開，并依次類推得注 此題也可按“逆序”定義，不同行不同列元素乘積可能非零的項只有一項，即例3 在函數(shù) 中，求的系數(shù)。解 由行列

6、式的定義可知，僅當，相乘時，才會出現(xiàn)，其逆序數(shù)為，故系數(shù)為，僅當這4個元素相乘時才會出現(xiàn)項，這是，逆序數(shù)為，故的系數(shù)為。例4 試證如果n階行列式D中等于零的元素個數(shù)超過，則行列式為零。證 因為n階行列式中共有個元素，而已知超過個元素為零。則非零元素個數(shù)最多個，故由行列式的定義可知，不同行不同列的n個元素相乘必為零，所以行列式為零。2）直接用行列式的性質(zhì)計算行列式例5 已知204，527，255都是17的倍數(shù)，試證必也是17的倍數(shù)。證 將第1列的100倍，第2列的10倍都加到第3列，第3列提出17可得由定義知，元素全是整數(shù)的行列式，必是整數(shù)，故證得原行列式得17的倍數(shù)。例6 試證奇數(shù)階反對稱陣的

7、行列式為零。證 設A為階反對稱陣，則，兩邊取行列式，得，即，知0。例7 計算的值。解 第2列加到第1列后，第1列提出，得例8 試證證 先用行列式得加法性質(zhì)拆第1列，再用初等變換化簡得例9 n階行列式D中每一個元素分別用數(shù)去乘得到另一個行列式，試證。證 首先將n階行列式得每行分別提出，在由每列分別提出可得例10 計算n階行列式解 當n1時， 當n2時， 當時，將第1行乘加到其余各行后，可得這些行對應成比例，即綜上所述例11 已知，求（1）；（2）及。解 由行列式得性質(zhì)可知（1）；（2）解出0，0。3）利用行列式的性質(zhì)化為上（下）三角行列式計算例12 計算四階行列式解 （下式中的箭頭符號應該改為等

8、于符號！） 例13 計算n階行列式解 解法一 將其余行加到第1行，提出后，化簡得解法二例14 計算n階行列式解 依次按第i列得x倍加到第i1列上去，再將最后一行依次換到第1行得注 此題也可直接按第n行展開即得結(jié)論。例15 計算n階行列式解 依次將第i行加到第i1行，再將第列全加到第1列，得再將n1階行列式的第1行乘（1）加到其余各行后，將第列全加到第列得4）利用“降階法”計算行列式例16 計算n階行列式解 按第1列展開可得例17 計算n階行列式解 將第3行乘（1）加到其余各行后，再按第3列展開，得5）利用“升階法”計算行列式例18 計算n階行列式解 增加1行1列后成將第1行分別乘對應加到行去，

9、再將列分別乘上全加到第1列，得例19 計算n階行列式解 當時，若n1，則；若； 當時，增加1行1列成將第1行得（1）倍加到其余各行，再將列分別乘上加到第1列，得綜上所述利用遞推法計算行列式例20 計算n階行列式解 將按第n列展開得整理得將上述個式子兩邊分別同乘以后，再相加得而則注 此題克可按第1行展開即得結(jié)果。例21 計算n階行列式解 將按第1行展開，可得化簡得遞推可得由得將上述個子式分別乘后再相加得例22 試證：當時成立證 設將的第i行乘（1）加到第i1行，得按第1列展開得因為與其轉(zhuǎn)置行列式相同，故a與b對換行列式不變，即由上兩式解出，即注 當時，恰為的值。7）利用析因子法計算行列式例23

10、計算行列式解 因為時，行列式的第1，2行對應成比例，行列式為零；，行列式的第3，4行對應成比例，行列式為零；故有因子，而中的最高次數(shù)是4。故，令代入得，故。例24 計算行列式解 易知時，行列式都有兩行相同，行列式為零，故有因子，而恰為的n次多項式，可設由的的系數(shù)為1，知C1，即8）利用范得蒙行列式計算例25 計算n階行列式解 把的第行換到第1行，第n行換到第2行，。，同時將的第列換到第1列，第n列換到第2列， ，再由范得蒙行列式得例26 計算4階行列式解 構(gòu)造5階范得蒙行列式，得比較上式兩端的前的系數(shù)，可得左右故9）涉及矩陣運算的行列式計算例27 已知為3階方陣，且求的值。解 由逆陣的性質(zhì)和轉(zhuǎn)

11、置伴隨陣的定義及行列式的性質(zhì)可知例28 設，均為4階方陣，且，求的值。解 由矩陣的加法和行列式的性質(zhì)可知即例29 計算行列式的值解 利用，得即得由中的系數(shù)為正，可知，負號舍去，得例30 設A為3階正交陣，且，B為3階方陣，且，求值。解 因為A為3階正交陣，所以故，得，由知，而例31 設A為3階方陣，且為的代數(shù)余子式，又，求。解 由于，得知，兩邊取行列式得即而由于，所以。這時，故為正交陣。10）利用分塊行列式公式計算行列式例32 計算5階行列式解 例33 計算4階行列式解 將第1行乘（1）加到第2行，將第3行乘（1）加到第4行，提出得再將第2行乘（1）加到第1，3行，將第4行乘（1）加到第1，3行，得例34 計算2n階行列式解 將第2n行逐行換到第2行，第2n列逐行換到第2列，得例35 已知為n維列向量，且，試計算值。解 由分塊行列式公式（2.16）知例36 計算n階行列式解 解法一 將第2列，第n列分別乘（1）加到第1列后，得解法二 令，由分塊行列式公式（2.15）知例37 計算n階行列式解 當時，由式（2.16）知原式當時，代入原式也成立。11）行列式的應用例38 證明三條不同的直線相交于一點的充要條件是。證 “必要性” 三直線交于一點，即方程組有“唯一解” ，即方程組有非零解，由克萊姆法則知當時等號成立，這時與三直