統(tǒng)計(jì)學(xué)中的幾種統(tǒng)計(jì)推斷方法

1、GUIZHOU UNIVERSITY結(jié)課論文報(bào)告課程名稱年級(jí)2011級(jí)專業(yè)統(tǒng)計(jì)111學(xué)生姓名學(xué)號(hào) 1107010270指導(dǎo)老師 戴老師理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)中的幾種統(tǒng)計(jì)推斷方法數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本問(wèn)題是根據(jù)樣本所提供的信息，對(duì)總體的分布以及分布的數(shù)字特征 作出統(tǒng)計(jì)推斷。統(tǒng)計(jì)推斷的主要內(nèi)容分為兩大類：一是參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，另一類是假設(shè)檢 驗(yàn)問(wèn)題。本篇文章主要討論總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。一、點(diǎn)估計(jì)1、矩估計(jì)首先講“矩”的概念，定義：設(shè)X是隨機(jī)變量，k是一正整數(shù)，若EXk存在，則稱EXk為隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩，記為匕；若存在，則稱它為X的k階中心矩，記為氣。顯然，數(shù)學(xué)期望EX就是1階原點(diǎn)矩，方差DX就是

2、2階中心矩。簡(jiǎn)單的說(shuō)就是用樣本矩去估計(jì)相應(yīng)的總體矩，用樣本矩的連續(xù)函數(shù)去估計(jì)相應(yīng)的總 體矩的連續(xù)函數(shù)。矩估計(jì)法的理論基礎(chǔ)是大數(shù)定理。因?yàn)榇髷?shù)定理告訴我們樣本矩依概 率收斂于總體的相應(yīng)矩，樣本矩的連續(xù)函數(shù)依概率收斂于相應(yīng)總體矩的連續(xù)函數(shù)。我們通常樣本的均值X去估計(jì)總體的均值EX :即總體為X時(shí)，我們從中取出n個(gè)樣本X1,X2, X疽我們認(rèn)為總體的均值就是X =1 1Lxi，(當(dāng)然這只是對(duì)總體均值的一 =1種估計(jì)，當(dāng)然會(huì)有誤差)當(dāng)EX 2存在的時(shí)候，我們通常用1 8x,2作為總體X的EX 2的估計(jì) =1一般地，我們用1 x：作為總體X的EXk的估計(jì)，用18(X,-加作為總體的 n i=1n i=1

3、E(X - EX)k的估計(jì)。例：設(shè)總體X在a,b上服從均勻分布，參數(shù)a,b未知，X 1, X2, X是一個(gè)樣本， 求a,b的矩估計(jì)量。解：由矩估計(jì)法知道：EX = ；由于 DX = EX2 - (EX)2，因U匕EX2 = DX + (EX)2 = (b；)2 + (a 了)2用矩估計(jì)法，也即用 X = 1 X.作為EX的估計(jì)， 用1 X.2作為EX 2的估計(jì)，n i=1n i=1為了計(jì)算方便，我們記A =1 X.,記 A =1 x. 2n i=1n i=1即有哮=A1，EX 2 = 51 + 51 = A1242a + b = 2 A1b-a =、.12(A -A2)21再聯(lián)立解關(guān)于a,b的

4、方程組得a,b的矩估計(jì)量分別為a = A1 - J3(A2 - A,) = X -3 ( x廠 X)2i=1b = R + J3(A? - A) = X +! (X廠 X )2i=12、極大似然估計(jì) 對(duì)于連續(xù)型總體X，設(shè)它的密度函數(shù)為f 3;。近,6 )，其中6 ,6 , 6是需要 m12 m估計(jì)的未知參數(shù)。設(shè)X 1, X2, X是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，則X 1, X2,Xn的聯(lián)合密度函數(shù)為:f!f (x ;6 ,6 , 6 )i 12 mi=1對(duì)于給定的一組樣本值X ,x , x，記聯(lián)合密度12 nL = L(x ,x , x ;6 ,6 , 6 ) = Hf (x ;6 ,6 , 6 )1

5、2 n 12 mi 12 mi=1則稱L為樣本的似然函數(shù)若X為離散型總體，它的概率分布為:P X = x = p(x;6 ,6 , 6 )12 m對(duì)于給定的一組樣本觀測(cè)值X ,X , X，記聯(lián)合密度 TOC o 1-5 h z 12 nL = L(x ,x , X ;0 ,0 , 0 ) =H p(x ;0 ,0 , 0 )12 n 12 mi 12 mi=1則稱L為樣本的似然函數(shù)-具體求法對(duì)于已經(jīng)給定的樣本觀測(cè)值x ,x ,X來(lái)說(shuō)，似然函數(shù)L是關(guān)于待估計(jì)的參數(shù)12 n0 ,0 , 0的函數(shù)，因此我們應(yīng)該想辦法通過(guò)似然函數(shù)L求出參數(shù)0 ,0 , 0值。12 m12 m這里我們求法的思想來(lái)源于多

6、元函數(shù)求極大值：也即，我們把L = L(x ,x , x ;0 ,0 , 0 )看作關(guān)于0 ,0 , 0的多元函數(shù)，我們要12 n 12 m12 m求得適當(dāng)?shù)? ,0 , 0的值，使得L = L(X:X , x ;0 ,0 , 0 )取最大值。12 m12 n 12 m解釋：實(shí)際上. L = L(x ,x , x ;0 ,0 , 0)表示隨機(jī)變量X ,X , X取得樣本值12 n 12 m12 nX ,X , X時(shí)的聯(lián)合概率，我們?cè)谝淮卧囼?yàn)中事件(X ,X , X ) = (X ,X , X )已經(jīng)發(fā)生，12 n12 n12 n我們就有理由認(rèn)為，參數(shù)必須保證此時(shí)的概率最大，也即:參數(shù)(002；

7、0”)的值應(yīng)該是使得L = L(x ,x , X ;0 ,0 , 0 )最大的點(diǎn)。12 n 12 m這樣我們的方法就是多元函數(shù)求極大值的方法。極大似然估計(jì)的具體步驟為：求出似然函數(shù)L = L(x ,x , x ;0 ,0 , 0 )；12 n 12 m計(jì)算關(guān)于(0 ,0 , 0 )的函數(shù)L = L(x；X , X ;0 ,0 , 0 )的極大值點(diǎn)，12 m12 n 12 m我們由微積分的知識(shí)知道，實(shí)際問(wèn)題中的極大值點(diǎn)就是函數(shù)的駐點(diǎn)，也就是每個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)，即&八礦01竺=0，80(一般稱該方程組為似然方程組)2但是在實(shí)際計(jì)算中，由于l = L(x,x , x ;6 ,6 , 6 )都是乘積

8、，因此以上方程組求 TOC o 1-5 h z 12 n 12 m解不太容易，這時(shí)候我們由微積分的知識(shí)知道到函數(shù)L = L(x ,x , x ;6 ,6 , 6 )和它的12 n 12 m對(duì)數(shù)函數(shù)lnL = InL(x ,x, x ;6 ,6 , 6 )有相同的極大值點(diǎn)，因此匕我把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 12 n 12 mlnL = InL(x ,x , x ;6 ,6 ； 6 )的極大值點(diǎn)，這樣把乘積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了和差問(wèn)題，在某 12 n 12 m些復(fù)雜問(wèn)題中可以大大減輕計(jì)算！何ln L八=086 1公=0 86(一般稱該方程組為對(duì)數(shù)似然方程組). 2 :辛=0、86 m求解這個(gè)方程組即得到上個(gè)步驟求出

9、的(6 ,6 , 6 )就是參數(shù)(6 ,6 , 6 )的估計(jì)值。12 m12 m二、區(qū)間估計(jì)由于總體的未知參數(shù)6的估計(jì)量6(XX2，X)是隨機(jī)變量，無(wú)論這個(gè)估計(jì)量的性 質(zhì)有多好，通過(guò)一個(gè)樣本值(x, x所得到的估計(jì)值，只能是未知參數(shù)6的近似值， 而不是6的真值。并且樣本值不同所得到的估計(jì)值也不同。那么6的真值在什么范圍內(nèi) 呢？能不能通過(guò)樣本，尋找一個(gè)區(qū)間，以一定的把握包含總體未知參數(shù)6呢？這就是總 體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。區(qū)間估計(jì)嚴(yán)格的定義為：定義：設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x,6 )含有一個(gè)未知參數(shù)6，對(duì)于給定值a (0 a 1)，若 TOC o 1-5 h z 由樣本(X ,X , X )確

10、定的兩個(gè)的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量6 (X ,X , X )和6(X ,X , X )滿足 12 n112 n12 nP6 (X ,X , X ) 6 6 (X ,X , X) = 1 -a112n212n則稱隨機(jī)區(qū)間(61,62)是參數(shù)6的置信度為1-a的置信區(qū)間，60口62分別趁稱為置信度為1 -a的雙側(cè)置信區(qū)間的置信下限和置信上限，1 -a稱為置信度。單個(gè)正態(tài)總體的的數(shù)學(xué)期望和方差的區(qū)間估計(jì)是我們重點(diǎn)要求掌握的知識(shí)點(diǎn)，大家 可以好好閱讀教材第189198面，實(shí)際上課本把這種區(qū)間估計(jì)分各種情形的結(jié)論總結(jié) 成了第209面的表格。大家在理解這些區(qū)間估計(jì)的實(shí)質(zhì)后，應(yīng)該把表格的結(jié)論和公式記 住，往往在實(shí)際解題的

11、時(shí)候我們只需要套用這些結(jié)論就可以了！三、假設(shè)檢驗(yàn)所謂假設(shè)檢驗(yàn)，顧名思義就是先假設(shè)再檢驗(yàn)，實(shí)際上有點(diǎn)類似于反證法，在實(shí)際問(wèn) 題中我們往往需要對(duì)未知總體提出某中假設(shè)或推斷，但是我們的假設(shè)可能是錯(cuò)的，也可 能是正確的，這時(shí)候我們就需要利用一個(gè)抽樣的樣本（七,號(hào) 七），通過(guò)一定的方法，檢 驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否合理，從而作出接受或者拒絕這個(gè)假設(shè)的結(jié)論。假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理是一一小概率事件原理，也即：我們認(rèn)為小概率事件在一次試 驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，如果我們?cè)诔槿〉臉颖居^測(cè)值（七,七，七）下，居然使得小概率事 件發(fā)生了，我們就有理由否定原假設(shè)。在明確一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的性質(zhì)與基本前提（包括分布類型是否已知，如果類型已 知，分布中包含哪些未知參數(shù)等等）之后，假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟如下： 充分考慮和利用已知的背景知識(shí)提出原假設(shè)H0以及對(duì)立假設(shè)氣； 給定樣本，確定合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并在H0為真下導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量的分布（要求此 分布不依賴與任何未知參數(shù)）；確定拒絕域：即依直觀分析先確定拒絕域的形式，然后根據(jù)給定的顯著性水平a 和以上統(tǒng)計(jì)量的分布由條件概率尸拒絕H0I H0為真 =a確定拒絕域的臨界值，從而確定 拒絕域；作出判斷：由一次具體抽樣的樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值，若統(tǒng)計(jì)