算法案例 課件

1、四.算法案例1.多項(xiàng)式求值的秦九韶方法如果給定一個多項(xiàng)式, (3. 4.1)其中 現(xiàn)在的問題是，給定一個x的值，要求多項(xiàng)式函數(shù) 的值。對于這個問題，一種看起來很“自然”的方法是直接逐項(xiàng)求和。如果用 表示x的k次冪， 表示式(3. 4.1)右端前k +l項(xiàng)的部分和，即1由于x的k次冪實(shí)際上等于其次冪再乘上x，而前k+1項(xiàng)的部分和等于前k項(xiàng)的部分和再加上第k +l項(xiàng)，因此，逐項(xiàng)求和的方法可以歸結(jié)為如下的遞推關(guān)系：(3.4.2)作為遞推公式(3.4.2)的初值為:(3.4.3)2這樣，就可以利用初值(3.4.3)，對于k=1，2，直到n，反復(fù)利用公式（3.4.2)進(jìn)行計算，最后就可以得到。其算法描述

2、如下:(1)逐項(xiàng)法多項(xiàng)式求值。 輸入：存放 的系數(shù)數(shù)組A(0：n）；自變量x值。其中輸出： 值P3PROCEDURE CPOLY（A，n，x，P）FOR i=2 TO n DOOUTPUT PRETURN4在這個算法中，為了計算一個x點(diǎn)處的函數(shù),共需要作2n-1次乘法和n次加法。還能不能減少乘法的次數(shù)呢？我們可以將式(3. 4. 1)的右端按降冪次序重新排列，并將它表述成如下嵌套形式這樣，就可以利用式(3.4.4)的特殊結(jié)構(gòu)，從里往外一層一層地進(jìn)行計算，即按如下遞推關(guān)系進(jìn)行計算：最后可得結(jié)果(3.4.4)（3.4.5）5這種多項(xiàng)式求值的方法是由我國宋代的一位數(shù)學(xué)家秦九韶最先提出的，我們稱之為秦

3、九韶方法，在有的書上也叫霍納(Horner)方法。其算法描述如下:算法3.2多項(xiàng)式求值的秦九韶方法 輸入：存放 的系數(shù)數(shù)組A(0：n)； 自變量x值。其中 。 輸出： 值P。6PROCEDURE CHORNER（A,n,x,P）FOR i=n-1 TO 0 BY -1 DO OUTPUT PRETURN7由秦九韶算法可以看出，多項(xiàng)式函數(shù)的求值只要用一個很簡單的循環(huán)就能完成，并且在這個循環(huán)中只需要作n次乘法和n次加法就夠了。它在實(shí)際使用中是一個很有效的方法。8例. 中國剩余定理（孫子定理）若k2，且m1，m2，mk是兩兩互素的k個正整數(shù)，令M= m1m2mk=m1M1=m2M2=mkMk。 則同

4、余式組：x1=b1(modm1)，x2=b2(modm2)，xk=bk(modmk) 其正整數(shù)解是：Xb1M1M1+b2M2M2+bkMkMk(modM) 其中Mi是滿足同余式： MiMi1(mod mi) （i = 1，2k） 用孫子定理解同余式組： xi=bi(modmi) （ i = 1，2k ）的算法步驟如下：92.對半法查找(二分法)算法對這種算法的實(shí)質(zhì)是在一個有限且有序的對象中，通過每次縮減一半查找范圍而達(dá)到迅速確定目的一個有效算法。因此有著很廣泛的應(yīng)用。例如，在數(shù)學(xué)中有很多方程是寫不出根的解析表達(dá)式的，但是根的存在范圍比較容易確定，那么如何才能找到它的根的一個足夠準(zhǔn)確的近似值呢？

5、這時對半查找算法就可以大顯身手了。10由初等函數(shù)f(x)=0構(gòu)成的方程，如果有f(a)f(b)0，則可以肯定方程f(x)=0在（a , b）至少有一個實(shí)數(shù)根。 選擇（a , b）的中點(diǎn)c，若f(c)=0，則根就是x=c。若f(c)0，則用c值取代相應(yīng)的a或b（取代原則是：保證有f(a)f(b) a b c 10，abc=30723，且a b+c，試確定a、b、c的值。分析問題解決這個問題應(yīng)當(dāng)從abc=30723入手。把30723三個整數(shù)相乘的積，只能有有限種情況，我們可以把這些情況一一羅列出來，然后分析哪一種情況是符合條件的。從而找到答案。(在列舉所有情況時，注意三個因子都大于10，這可以減少

6、列舉的工作量)。24把30723分解為3個大于10的因子的乘積只有5種情況1119147(三個因子的和是177)1121133(三個因子的和是165)194957 (三個因子的和是101)114957 (三個因子的和是117)192177 (三個因子的和是117)在這5種情況中考察，符合ab+c而且最大的數(shù)小于100的，只有最后一種情況，即a=77，b=21，c=19。25計算算法設(shè)計窮舉算法的關(guān)鍵是如何列舉所有可能的情況，絕對不能遺漏，最好不要重復(fù)。在列舉時注意變量的范圍，可以減少工作量。我們可以從最小的變量c入手，讓它從10開始變化。但變化的范圍到哪里為止呢？粗略估算一下，三個數(shù)相乘是30

7、723，最小的c不超過它的立方根。我們可以用平方根做近似替代，不必作太多推算。當(dāng)c值產(chǎn)生之后，就可以處理變量b。因?yàn)樗恍∮赾，讓它從c開始，也讓它變化到30723的平方根。有了c和b的值之后，就要判斷他們是否都是30723的因子。如果是，計算出第三個因子a，然后進(jìn)行判斷：a是否大于b+c并且a100。滿足條件就是解答了。26例題 (錢幣問題)在日程生活中常常需要用一些較小面額的錢幣去組合出一定的幣值?，F(xiàn)有面值為1元、2元和5元的鈔票(假設(shè)每種鈔票的數(shù)量都足夠多)，從這些鈔票中取出30張使其總面值為100元，問有多少種取法？每種取法的各種面值的鈔票各為多少張？27分析問題顯然列出一條算式來解決

8、錢幣問題是有困難的。既然解析法很難用上，我們嘗試通過列舉所有可能的情況(窮舉)，從中判斷出合符條件的解答。 28當(dāng)鈔票數(shù)量比較多，總幣值比較大時，人工列舉所有鈔票組合(窮舉)就很麻煩，這時需要使用計算機(jī)來幫我們窮舉。但使用計算機(jī)來窮舉，必須清楚地說出窮舉的每一個步驟，并通過程序設(shè)計語言轉(zhuǎn)化為計算機(jī)能后執(zhí)行的過程，才能解決問題。 錢幣問題有3種面額的鈔票，鈔票的總張數(shù)是30張，又應(yīng)當(dāng)如何窮舉呢？經(jīng)分析可以知道：當(dāng)有兩種面額的鈔票數(shù)目確定了之后，可以從總張數(shù)為30確定第三種鈔票的張數(shù)，然后由總面額是否100元而判斷這個組合是否合乎要求。此外，先確定面額大的鈔票可以使窮舉的次數(shù)少些。29設(shè)計算法 用

9、ONE、TWO、FIVE分別記錄1元、2元、5元鈔票的張數(shù)。變量ANSWER記錄符合條件的解的數(shù)目。窮舉的過程如下：讓ANSWER=0，F(xiàn)IVE=0；TWO=0讓ONE=30 TWO FIVE；檢查5FIVE2TWOONE 是否等于100，若是， 則得到一組解，這時讓ANSWER增加1。并且輸出解答如果TWO30，那么讓TWO增加1，轉(zhuǎn)步驟；如果FIVE20，那么讓FIVE增加1，轉(zhuǎn)步驟結(jié)束可把這些步驟用框圖表示如圖4-7：Click to display30漢諾(Hanoi)塔問題是一個著名的應(yīng)用遞歸算法解決的問題。 問題4-17： 傳說在古代印度的貝拿勒斯神廟里安放了一塊黃銅板，板上插了三

10、根寶石柱，在其中一根寶石柱自上而下由小到大地疊放著64個大小不等的金盤。一名僧人把這些金盤從一根寶石柱移到另外一根上。僧人在移動金盤時遵守下面3條規(guī)則：一次只能移動一個金盤。每個金盤只能由一根寶石柱移到另外一根寶石柱。任何時候都不能把大的金盤放在小的金盤上。31神化說，如果僧人把64個金盤完全地從一根寶石柱移到了另外一根上，世界的末日就要到了。當(dāng)然，神化只能當(dāng)故事聽，世界不可以因?yàn)閭€別人的活動而導(dǎo)致末日。不過，如果能夠計算出僧人按規(guī)則搬完64個金盤，地球能否繼續(xù)存在也的確是個問題！因?yàn)榧词股说膭幼魇置艚?，每秒都能移動一個金盤，那也得要幾億年！32分析問題 要模擬金盤的移動過程是比較困難的，但如果用遞歸的思想來進(jìn)行(壓縮規(guī)模，把問題解決在最簡單的情況)，則問題可以解決。 我們把3根寶石柱分別命名為A、B、C。最初有N個金盤放在A，需要把它們?nèi)堪匆?guī)則移動到B。 當(dāng)N=1時，直接把金盤從A搬到B就可以了，1次成功。 當(dāng)N2，那么需要利用C柱來過渡。按照遞歸的思想，我們假設(shè)已經(jīng)找到一種把N1個金盤從一根柱搬到另外一根柱的方法，然后看看如何通過它來實(shí)現(xiàn)搬動N個金盤。我們只要把N1個金盤從A搬到C，然后把最大的金盤從A搬到B，最后把C上的N1個金盤搬到B就可以了。靠遞歸的思想，我們輕而易