2022年《用向量法求異面直線所成的角》教案

1、- 第一講：立體幾何中的向量方法利用空間向量求異面直線所成的角大家知道,立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個難點,以往同學(xué)學(xué)習(xí)立體幾何時,主要實行“ 形到形”的綜合推理方法,即依據(jù)題設(shè)條件,將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形,再由線線,線面等關(guān)系確定結(jié)果,這種方法沒有一般規(guī)律可循,對人的智力形成極大的挑戰(zhàn),技巧性較強(qiáng), 致使大多數(shù)同學(xué)都感到束手無策；高中新教材中, 向量學(xué)問的引入,為同學(xué)解決立體幾何問題供應(yīng)了一個有效的工具；它能利用代數(shù)方法解決立體幾何問題,表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想；并且引入向量, 對于某些立體幾何問題供應(yīng)通法,避免了傳統(tǒng)立體幾何中的技巧性問題,因此降低了同學(xué)學(xué)習(xí)的難度,減輕了同學(xué)學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān),表達(dá)了

2、新課程理念；為適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教材改革的需要,需要討論用向量法解決立體幾何的各種問題；本文舉例說明如何用向量法解決立體幾何的空間角問題；以此強(qiáng)化向量的應(yīng)用價值,激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)向量的愛好,從而達(dá)到提高同學(xué)解題才能的目的；利用向量法求空間角,不需要紛雜的推理,只需要將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運算,便利快捷；空間角主要包括線線角、線面角和二面角,下面對線線角的求法進(jìn)行總結(jié)；教學(xué)目標(biāo)1.使同學(xué)學(xué)會求異面直線所成的角的向量方法；2. 使同學(xué)能夠應(yīng)用向量方法解決一些簡潔的立體幾何問題；3. 使同學(xué)的分析與推理才能和空間想象才能得到提高 . 教學(xué)重點求解異面直線所成的角的向量法 . 教學(xué)難點求解異面直線所成的角的

3、向量法 . 教學(xué)過程- - 、復(fù)習(xí)回憶一、回憶有關(guān)學(xué)問：1 、兩異直線所成的角： （范疇：0,2）a 與 b 的平行線 a 與b ,那么直線 a 與b 所成的（1 ）定義：過空間任意一點o 分別作異面直線銳角或直角,叫做異面直線a 與 b 所成的角 . a、b 的方向向量分別為a 和 b ,（2）用向量法求異面直線所成角,設(shè)兩異面直線a 問題 1： 當(dāng) a與 b 的夾角不大于O Oab 90 時,異面直線 a、 b 所成問題的角與 a 和 b 的夾角的關(guān)系？a,bb2： a 與 b 的夾角大于90 時,異面直線a、 b 所成的角與 a 和 b 的夾角的關(guān)系？a,bbaO兩向量數(shù)量積的定義：ab

4、|a|b|cosa ,b- - 兩向量夾角公式：cosa,b|a|b|cos|cosa ,b|a|b|ab結(jié)論：異面直線a、 b 所成的角的余弦值為|ab|2 、用空間向量解決立體幾何問題的“ 三步曲”：（1 ）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； （化為向量問題 ）（2 ）通過向量運算,討論點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進(jìn)行向量運算）（3 ）把向量的運算結(jié)果“ 翻譯” 成相應(yīng)的幾何意義；（回到圖形）、典例分析與練習(xí)摸索： 在正方體ABCDA 1B 1C 1D 1中,如E 與F 分別為A 1B 1、

5、xA 1zF 1E 1B 1C 1yD 1C 1D 1的四等分點,求異面直線DF 與BE 的夾角余弦值？（1）方法總結(jié)：幾何法；向量法ADBC（2）cosDF 1,BE 1與cosDF1,E 1B相等嗎？（3）空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么區(qū)分？例 1 如圖,正三棱柱ABCA 1C 1 的底面邊長為a,側(cè)棱長為2 a,求AC 和CB 所成的角 . 分析： 建立空間直角坐標(biāo)系,轉(zhuǎn)化為向量與向量的夾角問題；1A Z C 11B步驟： 1.寫出異面直線的方向向量的坐標(biāo)；- xADCBy x - 2.利用空間兩個向量的夾角公式求出夾角；解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,就A 0 0, 0, ,

6、C 13a ,1a ,2a ,C 3a ,1a0, ,B 1 0 ,a ,2 a 2222AC 13a ,1a,2 a ,CB 13a,1a ,2 a22223a21即cosAC1,CB1|AC1|CB1|2AC1CB 1a22相等嗎？3AC 和CB 所成的角為3DF 1,E 1B總結(jié) : （1）cosDF 1,BE 1與cos（2）空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么區(qū)分？點撥 求異面直線所成的角可利用空間向量表示直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為向量所成的角；兩異面直線所成角的范疇是 0,兩向量的夾角 的范疇是 0,；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或2直角時,就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向

7、量的夾角為鈍角時,其補(bǔ)角才是異面直線的夾角；練習(xí) 1：在中,90 ,現(xiàn)將 沿著平面的法向量方向平移到A1O 1B1 的位置, 已知 1,取 A1B1 、A 1O 1的中點 D1 、F1,求異面直線1 與 1 所成的角的余弦值；1, 解：以點 O 為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,并設(shè)OA就 A1,0,0 ,B0,1,0 , F11,0,1 ,D 11, 1,1 222- - 30.AF 11,01,BD11,11, 222cosAF1,BD1|AF1|BD1|10314AF1BD151042.與所成角的余弦值所以,異面直線.與.所成的角的余弦值為30 . 10練習(xí) 2： 在正方體 A.B.C.D.中, M 是的中點,求對角線解：建立如下列圖的直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為 1 ,就 D0,0, 0,C0,1, 0,B11 ,1,1 ,. 1 1,1, 1 ,1, . 異面直線1 與所成角的余弦值為. 、小結(jié)與收成1、異面直線所成的角的余弦值：cos|cosa ,b|ab|；. |a|b|2、用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟、課后練習(xí)1、如圖,在棱長為的正方體A