實變函數(shù) 緒論

1、 陶躍華 云南師范大學(xué)作者簡介江澤堅（19212005），中國著名數(shù)學(xué)家、教育家、吉林大學(xué)數(shù)學(xué)研究所名譽所長、原吉林省人大常委、吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科主要創(chuàng)始人之一、原吉林大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長。祖籍安徽省旌德縣。1921年10月21日生于上海。年畢業(yè)于西南聯(lián)合大學(xué)數(shù)學(xué)系。曾任教清華大學(xué)。建國后，歷任吉林大學(xué)副教授、教授、數(shù)學(xué)研究所所長。 以實數(shù)作為自變量的函數(shù)叫做實變函數(shù)，以實變函數(shù)作為研究對象的數(shù)學(xué)分支就叫做實變函數(shù)論。實變函數(shù)論（real function theory）是19世紀末20世紀初形成的數(shù)學(xué)分支。起源于古典分析，主要研究對象是自變量（包括多變量）取實數(shù)值的函數(shù)，研究的問題包括函數(shù)的連續(xù)

2、性、可微性、可積性、收斂性等方面的基本理論，是微積分的深入和發(fā)展。因為它不僅研究微積分中的函數(shù)，而且還研究更為一般的函數(shù)，并且得到了較微積分中相應(yīng)理論更為深刻、更為一般從而應(yīng)用更為廣泛。它的基礎(chǔ)是點集論。什么是點集論呢？點集論是專門研究點所成的集合的性質(zhì)的理論。也可以說實變函數(shù)論是在點集論的基礎(chǔ)上研究分析數(shù)學(xué)中的一些最基本的概念和性質(zhì)的。比如，點集函數(shù)、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等。實變函數(shù)論還要研究實變函數(shù)的分類問題、結(jié)構(gòu)問題。 實變函數(shù)的產(chǎn)生 微積分產(chǎn)生于十七世紀，到了十八世紀末十九世紀初，微積分學(xué)已經(jīng)基本上成熟了。數(shù)學(xué)家廣泛地研究并建立起它的許多分支，是它很快就形成了數(shù)學(xué)中的一大部

3、門，也就是數(shù)學(xué)分析。 數(shù)學(xué)家逐漸發(fā)現(xiàn)分析基礎(chǔ)本身還存在著學(xué)多問題。比如，什么是函數(shù)數(shù)學(xué)界并沒有形成一致的見解。又如，對于什么是連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)是什么，數(shù)學(xué)界也沒有足夠清晰的理解。 十九世紀初，曾經(jīng)有人試圖證明任何連續(xù)函數(shù)除個別點外總是可微的。后來，德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯提出了一個由級數(shù)定義的函數(shù)，這個函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，但是維爾斯特拉斯證明了這個函數(shù)在任何點上都沒有導(dǎo)數(shù)。 由于發(fā)現(xiàn)了某些函數(shù)的奇特性質(zhì)，數(shù)學(xué)家對函數(shù)的研究更加深入了。人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了有些函數(shù)是連續(xù)的但處處不可微，有的函數(shù)的有限導(dǎo)數(shù)并不黎曼可積；還發(fā)現(xiàn)了連續(xù)但是不分段單調(diào)的函數(shù)等等。這些都促使數(shù)學(xué)家考慮，我們要處理的函數(shù)，僅僅依

4、靠直觀觀察和猜測是不行的，必須深入研究各種函數(shù)的性質(zhì)。比如，連續(xù)函數(shù)必定可積，但是具有什么性質(zhì)的不連續(xù)函數(shù)也可積呢？如果改變積分的定義，可積分條件又是什么樣的？連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)，那么可導(dǎo)的充分必要條件由是什么樣的？ 上面這些函數(shù)性質(zhì)問題的研究，逐漸產(chǎn)生了新的理論，并形成了一門新的學(xué)科，這就是實變函數(shù)。 課程在本專業(yè)的定位 本課程的授課對象是“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)”專業(yè)的學(xué)生，其性質(zhì)是專業(yè)必修課；不僅是一種知識，而且是一種素養(yǎng). 同時它也是報考研究生的入學(xué)考試科目.實變函數(shù)論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，以實變函數(shù)理論的出現(xiàn)作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要分支-現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)誕生的標(biāo)志。 采用集合論的思想方法研究數(shù)學(xué)分析中

5、的問題是實變函數(shù)的主要特點。 實變函數(shù)論是數(shù)學(xué)類各專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課，它直接影響到該專業(yè)的許多后續(xù)課程，例如泛函分析、概率論、數(shù)理統(tǒng)計、測度論、計算方法、偏微分方程、分形幾何、小波分析、調(diào)和分析、隨機過程和隨機分析等課程。 由于思想方法獨特，它的許多理論比起經(jīng)典的分析學(xué)要深刻得多，應(yīng)用起來也便利得多 例如函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是函數(shù)幾乎處處連續(xù)；積分與極限交換不再要求一致收斂；重積分化為累次積分只需函數(shù)是可積的，等等。 許多初等數(shù)學(xué)的基本概念和內(nèi)容也需要實變函數(shù)的理論才能解釋清楚。課程的目的和任務(wù) 本課程的目的主要是講述實變函數(shù)的基本理論，這些理論通常包括集合論初步、Lebesgue測度理論、Lebesgue積分理論；任務(wù)是通過教學(xué)，使學(xué)生理解并掌握實變函數(shù)中的基本概念、定理、公式和方法，為今后學(xué)習(xí)有關(guān)專業(yè)課程打下堅實的基礎(chǔ)。 課程教學(xué)基本要求 本課程的先行課程是數(shù)學(xué)分析，后繼課程有函數(shù)逼近論、泛函分析、概率論等。通過這門課程的