10.1.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件 課件-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)

1、人教2019 A版 必修 第二冊(cè) 10.1.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件第十章 概率概率論的產(chǎn)生和發(fā)展 概率論產(chǎn)生于十七世紀(jì)，本來(lái)是由保險(xiǎn)事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的， 但是來(lái)自于賭博者的請(qǐng)求，卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論問(wèn)題的源泉。 傳說(shuō)早在1654年，有一個(gè)賭徒梅累向當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)使他苦惱了很久的問(wèn)題：“兩個(gè)賭徒約定誰(shuí)先贏滿5局，誰(shuí)就獲得全部賭金。賭了半天， A贏了4局， B贏了3局，時(shí)間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個(gè)錢應(yīng)該怎么分才理？ 這個(gè)問(wèn)題讓帕斯卡苦苦思索了三年，三年后也就是1657年，荷蘭著名的數(shù)學(xué)家惠更斯企圖自己解決這一問(wèn)題，結(jié)果寫成了論賭博中的計(jì)算一書，這就是概率論最早的一

2、部著作。近幾十年來(lái)，隨著科技的蓬勃發(fā)展概率論大量應(yīng)用到國(guó)民經(jīng)濟(jì)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及各學(xué)科領(lǐng)域。許多興起的應(yīng)用數(shù)學(xué)，如信息論、對(duì)策論、排隊(duì)論、控制論等，都是以概率論作為基礎(chǔ)的。情境導(dǎo)學(xué) 在初中，我們已經(jīng)初步了解了隨機(jī)事件的概念，并學(xué)習(xí)了在試驗(yàn)結(jié)果等可能的情形下求簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率. 本節(jié)我們將進(jìn)一步研究隨機(jī)事件及其概率的計(jì)算，探究隨機(jī)事件概率的性質(zhì). 隨機(jī)現(xiàn)象普遍存在，有的簡(jiǎn)單有的復(fù)雜，有的只有有限個(gè)可能結(jié)果，有的有無(wú)窮個(gè)可能結(jié)果；這里的無(wú)窮又分為兩種，即可列無(wú)窮和不可列無(wú)窮，例如，對(duì)擲硬幣試驗(yàn)，等待首次出現(xiàn)正面朝上所需的試驗(yàn)次數(shù)，具有可列無(wú)窮個(gè)可能結(jié)果；而預(yù)測(cè)某地7月份的的降水量，可能結(jié)果則充滿某個(gè)

3、區(qū)間，其可能結(jié)果不能一一列舉，即有不可列無(wú)窮個(gè)可能結(jié)果.所以，常見的概率模型有兩類，即離散型概率模型和連續(xù)型概率模型.高中階段主要研究離散型概率模型. 研究某種隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，首先要觀察它所有可能的基本結(jié)果.例如，將一枚硬幣拋擲2次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；從班級(jí)隨機(jī)選擇10名學(xué)生，觀察近視的人數(shù)；在一批燈管中任意抽取一只，測(cè)試它的壽命；從一批發(fā)芽的水稻種子中隨機(jī)選取一些，觀察分囊數(shù)；記錄某地區(qū)7月份的降雨量等等.探究新知概念解析 我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)（random experiment),簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：(1)試驗(yàn)可

4、以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè)；(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn) 哪一個(gè)結(jié)果.思考1：體育彩票搖獎(jiǎng)時(shí),將10個(gè)質(zhì)地和大小完全相同、分別標(biāo)號(hào)0,1,2，9的球放入搖獎(jiǎng)器中，經(jīng)過(guò)充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球，觀察這個(gè)球的號(hào)碼，這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)共有多少個(gè)可能結(jié)果？如何表示這些結(jié)果？共有10種可能結(jié)果. 所有可能結(jié)果可用集合表示為:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9探究新知 樣本點(diǎn)是隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果，樣本空間是全體樣本點(diǎn)的集合.關(guān)于什么是基本結(jié)果,只能直觀描述,無(wú)法嚴(yán)格定義.我們只討論為有限集的情況.如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n

5、個(gè)可能結(jié)果1, 2,., n,則稱樣本空間=1, 2,., n,為有限樣本空間. 我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間（sample space). 一般地，我們用(歐米伽)表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn).概念解析例如，拋擲一對(duì)骰子，建立包含36個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間1=(x,y)|x,y1,2,3,4,5,6,其中每個(gè)結(jié)果就是基本結(jié)果，如果建立只包含4個(gè)可能結(jié)果的樣本空間2=(偶，偶）,(偶，奇）,(奇，偶）,(奇，奇）,其中每個(gè)元素就不能認(rèn)為是基本結(jié)果.因?yàn)樵跇颖究臻g2中無(wú)法求“點(diǎn)數(shù)之和為5”的概率.解：因?yàn)槁涞貢r(shí)只有正面朝上和反面朝上兩個(gè)可能結(jié)果，

6、所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為 =(正面朝上，反面朝上）,如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，則樣本空間 =h,t.例1.拋擲一枚硬幣，觀察它落地時(shí)哪一面朝上，寫出試驗(yàn)的樣本空間。典例解析例2 .拋擲一枚骰子（touzi),觀察它落地時(shí)朝上的面的點(diǎn)數(shù)，寫出試驗(yàn)的樣本空間.解：用i表示朝上面的“點(diǎn)數(shù)為i”，因?yàn)槁涞貢r(shí)朝上面的點(diǎn)數(shù)有1,2,3,4,5,6共6個(gè)可能的基本結(jié)果，所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為 =1,2,3,4,5,6.構(gòu)建樣本空間，這是將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵步驟，其作用體現(xiàn)在：可以利用集合工具（語(yǔ)言）描述概率問(wèn)題，能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言嚴(yán)格刻畫隨機(jī)事件的概念，通過(guò)與集合關(guān)系與運(yùn)算的類比，

7、可以更好地理解隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算意義.可以用符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確而簡(jiǎn)練地表示求解概率問(wèn)題的過(guò)程.解：擲兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，那么試驗(yàn)的樣本點(diǎn)可用（x,y)表示.于是，試驗(yàn)的樣本空間 =(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面，反面)例3.拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，寫出試驗(yàn)的樣本空間如果我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝第一枚第二枚上”，那么樣本空間還可以簡(jiǎn)單表示為=(1,1),(1,0),(0,1),(0,0).如圖所示，畫樹狀圖可以幫助我們理解例3的解答過(guò)程. 對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，一

8、般用1和0表示這兩個(gè)結(jié)果.一方面數(shù)學(xué)追求最簡(jiǎn)潔地表示，另一方面，這種表示有其實(shí)際意義，在后面的研究中會(huì)帶來(lái)很大的方便.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練解:(1)=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)(2)樣本點(diǎn)的總數(shù)為16.(3)“xy5”包含以下4個(gè)樣本點(diǎn)：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；“x1”包含以下6個(gè)樣本點(diǎn)：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4) (4)“xy4”包含以下3個(gè)樣本點(diǎn)：(1,4),(2,

9、2),(4,1)；“xy”包含以下4個(gè)樣本點(diǎn)：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)思考2. 在體育彩票搖號(hào)實(shí)驗(yàn)中，搖出“球的號(hào)碼是奇數(shù)”是隨機(jī)事件嗎？搖出“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”是否也是隨機(jī)事件？如果用集合的形式來(lái)表示它們，那么這些集合與樣本空間有什么關(guān)系？顯然，“球的號(hào)碼為奇數(shù)”和“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”都是隨機(jī)事件.我們用A表示隨機(jī)事件“球的號(hào)碼為奇數(shù)”，則A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)搖出的號(hào)碼為1,3,5,7,9之一，即事件A發(fā)生等價(jià)于搖出的號(hào)碼屬于集合1,3,5,7,9.因此可以用樣本空間=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的子集1,3,5,7,9表示隨機(jī)事件A.類似地，可以用樣本空間的

10、子集0,3,6,9表示隨機(jī)事件“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”問(wèn)題探究 一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示.為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件（random event),簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件（elementary event).隨機(jī)事件一般用大寫字母A,B,C,表示，在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生. 作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件.而空集不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱為不可能事件.必然事件與不可能事件不具有隨機(jī)性.

11、為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形。這樣，每個(gè)事件都是樣本空間。的一個(gè)子集.概念解析隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件。必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件叫必然事件。不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件。1.指出下列事件是必然事件,不可能事件,還是隨機(jī)事件：（1）某地1月1日刮西北風(fēng)；（2）當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí), (3)手電筒的電池沒電,燈泡發(fā)亮；（4）一個(gè)電影院某天的上座率超過(guò)50%。（5）如果ab，那么a一b0；（6）從分別標(biāo)有數(shù)字l，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號(hào)簽;（7）某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；（

12、8）隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)x，得|x|0.隨機(jī)事件必然事件不可能事件隨機(jī)事件必然事件隨機(jī)事件隨機(jī)事件不可能事件概念辨析例4如圖,一個(gè)電路中有A,B,C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件可能正常，也可能失效.把這個(gè)電路是否為通路看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，觀察這個(gè)電路中各元件是否正常.(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間;(2)用集合表示下列事件：M=“恰好兩個(gè)元件正?！?；N=“電路是通路”；T=“電路是斷路”.解：(1)分別用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài)，則這個(gè)電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示.進(jìn)一步地，用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，則樣本空間=(0,0,0),(1,0,0),(0,1

13、,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1).典例解析(2)“恰好兩個(gè)元件正?！钡葍r(jià)于(x1,x2,x3) ,且x1,x2,x3中恰有兩個(gè)為1,所以M=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1).“電路是通路”等價(jià)于(x1,x2,x3) ,x1=1,且x2,x3中至少有一個(gè)是1,所以N=(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)。同理，“電路是斷路”等價(jià)于(x1,x2,x3) ，x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T=(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0).如圖,還可以借助樹狀圖幫助我們列出試驗(yàn)的所

14、有可能結(jié)果.(1)用樣本點(diǎn)表示隨機(jī)事件，首先弄清試驗(yàn)的樣本空間，不重不漏列出所有的樣本點(diǎn)然后找出滿足隨機(jī)事件要求的樣本點(diǎn)，從而用這些樣本點(diǎn)組成的集合表示隨機(jī)事件(2)隨機(jī)事件可以用文字表示，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的本質(zhì)，且更便于今后計(jì)算事件發(fā)生的概率歸納總結(jié)1.從6個(gè)籃球、2個(gè)排球中任選3個(gè)球,則下列事件中,不可能事件是()A.3個(gè)都是籃球 B.至少有1個(gè)是排球C.3個(gè)都是排球 D.至少有1個(gè)是籃球當(dāng)堂達(dá)標(biāo)答案:C解析:根據(jù)題意,從6個(gè)籃球、2個(gè)排球中任選3個(gè)球,四個(gè)選項(xiàng)都是隨機(jī)事件,進(jìn)一步C是不可能事件,D是必然事件.2先后擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分

15、別為x，y，則事件：log2xy1包含的樣本點(diǎn)有_解析先后擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)有36種結(jié)果解方程log2xy1得y2x，則符合條件的樣本點(diǎn)有(1,2)，(2,4)，(3,6)(x,y)1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)3.寫出下列

16、各隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：(1)采用抽簽的方式，隨機(jī)選擇一名同學(xué)，并記錄其性別；(2)采用抽簽的方式，隨機(jī)選擇一名同學(xué)，觀察其ABO血型；(3)隨機(jī)選擇一個(gè)有兩個(gè)小孩的家庭，觀察兩個(gè)孩子的性別；(4)射擊靶3次，觀察各次射擊中靶或脫靶情況；(5)射擊靶3次，觀察中靶的次數(shù).解:(1) =男，女或令m表示男生，f表示女生，則樣本空間為=m,f.(2) =O,A,B,AB.(3)用b表示“男孩”，g表示“女孩”，樣本空間為=bb,bg,gb,gg.(4)每次射擊，中靶用1表示，脫靶用0表示，則3次射擊的樣本空間為=(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)(5)=(0,1,2,3)。4.如圖，由A,B兩個(gè)元件分別組成串聯(lián)電路（圖(1)和并聯(lián)電路(圖(2),觀察兩個(gè)元件正?；蚴У那闆r.(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)對(duì)串聯(lián)電路，寫出事件M=“電路是通路”包含的樣本點(diǎn)；(3)對(duì)并聯(lián)電路，寫出事件N=“電路是斷路”包含的樣本點(diǎn).解:(1)用1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間為=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(2)對(duì)于串聯(lián)電路，M=(1,1).(3)對(duì)于并聯(lián)電路，N=(0,0).5.袋子中有9個(gè)大小和質(zhì)地相同的球，標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5