近世代數(shù)考題整理

1、一、二、(45分)單項(xiàng)選擇題和填空題的知識(shí)點(diǎn):任何有限群G的子群H的階數(shù)是G階數(shù)的因子任何素?cái)?shù)階數(shù)的群是循環(huán)群，而循環(huán)群是交換群群的定義是什么？給出一些集合和集合上的運(yùn)算，能判斷集合關(guān)于運(yùn)算是不是群。P31-32第一定義：一個(gè)不空集合G對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個(gè)群G對(duì)于這個(gè)乘法來說是閉的結(jié)合律成立a(bc)=(ab)c，對(duì)于G的任意三個(gè)元a,b,c都對(duì)對(duì)于G的任意兩個(gè)元a,b來說，方程ax=b和ya=b都在G里有解第二定義：一個(gè)不空集合G對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個(gè)群G對(duì)于這個(gè)乘法來說是閉的結(jié)合律成立a(bc)=(ab)c，對(duì)于G的任意三個(gè)元a,b,c都對(duì)G里至少存在一個(gè)

2、左單位元e，能讓ea = a，對(duì)于G的任何元a都成立對(duì)于G的每一個(gè)元a，在G里至少存在一個(gè)左逆元a-1，能讓a-1a = e什么是一個(gè)群G的生成元，給出一個(gè)子集合會(huì)判斷該子集是不是子群若一個(gè)群G的每一個(gè)元都是G的某一個(gè)固定元a的乘方，我們就把G叫做循環(huán)群，也說G是由a所生成，并且用符號(hào)G=(a)來表示，a叫做G的一個(gè)生成元P63什么叫做結(jié)合律？給出一個(gè)集合和集合上的運(yùn)算，會(huì)判斷該運(yùn)算是不是可結(jié)合的。一個(gè)集合A的代數(shù)運(yùn)算o適合結(jié)合律，對(duì)于A的任意三個(gè)元a,b,c來說，都有（a o b）o c = a o（b o c）已知群G的元素a的階是n, 那么的階是。環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、域的定義。環(huán)：一個(gè)集合R

3、叫做環(huán)(1)R是一個(gè)加群，R對(duì)于一個(gè)叫做加法的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個(gè)交換群(2)R對(duì)于另一個(gè)乘法的代數(shù)運(yùn)算來說是閉的(3)這個(gè)乘法適合結(jié)合律：a(bc)=(ab)c，不管a,b,c是R的哪三個(gè)元(4)兩個(gè)分配律都成立a(b+c)=ab+ac， (b+c)a=ba+ca，不管a,b,c是R的哪三個(gè)元整環(huán)：一個(gè)環(huán)R叫做整環(huán)，假如乘法適合交換律ab =baR有單位元1：1a = a1 = aR沒有零因子：ab=0 a = 0或b=0a,b可以是R的任意元，整數(shù)環(huán)是整環(huán)除環(huán)：一個(gè)環(huán)R叫做一個(gè)除環(huán)R至少包含一個(gè)不等于零的元R有一個(gè)單位元R的每一個(gè)不等于零的元有一個(gè)逆元域：一個(gè)交換除環(huán)叫做一個(gè)域一個(gè)除環(huán)沒有

4、零因子。一個(gè)除環(huán)R的不等于零的元對(duì)于乘法來說作成一個(gè)群R*什么是單位元，什么是一個(gè)元的逆元素，單位元和一個(gè)元素的逆元素唯一嗎？單位元：一個(gè)環(huán)R的一個(gè)元e叫做一個(gè)單位元。唯一的單位元逆元：一個(gè)有單位元環(huán)的一個(gè)元叫做元a的一個(gè)逆元唯一的逆元什么叫做一個(gè)群的左、右陪集， 有限群的左、右陪集的個(gè)數(shù)是什么關(guān)系？群的左陪集：a b，當(dāng)而且只當(dāng)b(-1)aH，由這個(gè)等價(jià)關(guān)系 所決定的類叫做子群H的左陪集，用符號(hào)aH表示；群的右陪集：右陪集：a b，當(dāng)而且只當(dāng)ab(-1)H，由這個(gè)等價(jià)關(guān)系所決定的類叫做子群H的右陪集，用符號(hào)Ha表示；有限群的左右陪集的個(gè)數(shù)相等環(huán)無零因子是什么意思？一個(gè)沒有零因子的環(huán)R，里面所

5、有不等于零的元對(duì)于加法來說的階都是一樣的無零因子的特征是什么意思？一個(gè)無零因子環(huán)R的非零元的相同的階叫做環(huán)R 的特征有限群G的任何元素的階數(shù)都是G階數(shù)的因子。集合的直積是怎么定義的。設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合，在集合A中任意取一個(gè)元素x，在集合B中任意取一個(gè)元素y，組成一個(gè)有序?qū)Γ▁，y），把這樣的有序?qū)ψ鳛樾碌脑?，他們的全體組成的集合稱為集合A和集合B的直積，記為AB，即AB=（x，y）|xA且yB。循環(huán)群的子群是循環(huán)群?jiǎn)幔渴且粋€(gè)集合可以和其真子集建立一一對(duì)應(yīng)嗎?不可以三、問答題知識(shí)點(diǎn)（25分）1. 正規(guī)子群,舉例說明一個(gè)群G的一個(gè)子群H叫做一個(gè)不變子群（正規(guī)子群），假如對(duì)于G的每一個(gè)元a來說

6、，都有Na=aN (p70)例子：一個(gè)任意群G的子群G和e總是不變子群，因?yàn)閷?duì)于任意G的元a來說，Ga=aG=G,ea=ae=a2. 循環(huán)群, 舉例說明若一個(gè)群G的每一個(gè)元都是G的某一個(gè)固定元a的乘方，我們就把G叫做循環(huán)群；我們也說G是由元a所生成的。并且用符號(hào)G（a）來表示。A叫做G的一個(gè)生成元。舉例:任意素?cái)?shù)階數(shù)的群是循環(huán)群。3. 有限域,舉例說明一個(gè)只含有限個(gè)元素的域叫做一個(gè)有限域。例子：特征是p的素域就是一個(gè)有限域。5 . 群的左、右陪集，舉例說明假設(shè)一個(gè)群G和它的一個(gè)子群H，規(guī)定G的元a，b中間關(guān)系：右陪集：a b，當(dāng)而且只當(dāng)ab(-1)H，由這個(gè)等價(jià)關(guān)系所決定的類叫做子群H的右陪集

7、，用符號(hào)Ha表示；左陪集：a b，當(dāng)而且只當(dāng)b(-1)aH，由這個(gè)等價(jià)關(guān)系 所決定的類叫做子群H的左陪集，用符號(hào)aH表示；例如：G=（1），（12），（13），（23），（132），（123）；H=（1），（12）；子群H把群G分成了H（1）=（1），（12）H（13）=（13），（123）H（23）=（23），（132）三個(gè)右陪集；子群H把群G分成了（1）H=（1），（12）（13）H=（13），（123）（23）H=（23），（132）三個(gè)左陪集；6. 原根，舉例說明設(shè)0ap，使得素?cái)?shù)Zp的乘法群Zp* = ，這樣的正整數(shù)a稱為模p的一個(gè)原根。舉例：設(shè)p=41，則| Zp*|=40=23

8、* 5，故a是模41的原根的充要條件是a81, a201。由于18 =1, 220 =1, 38 =1, 420 =1, 520 =1。但是68 =101，620 =401。故6是模41的最小原根，Z41* = 。7. 等價(jià)關(guān)系，舉例說明集合A的元間的一個(gè)關(guān)系叫做一個(gè)等價(jià)關(guān)系，假如滿足以下規(guī)律：反射律：aa，不管a是A的哪一個(gè)元對(duì)稱律：abbaab,bcac若ab，我們說a與b等價(jià)。舉例：“等于”是滿足這個(gè)等價(jià)關(guān)系的8. 系統(tǒng)同態(tài)，舉例說明（找不到）9. 檢錯(cuò)和糾錯(cuò)（找不到）10.理想和商環(huán)理想：環(huán)R的一個(gè)非空子集叫做一個(gè)理想子環(huán)，簡(jiǎn)稱理想，假如a,b=a-ba,rR=ra,ar商環(huán)：設(shè)R是一個(gè)環(huán)，I是環(huán)R的一個(gè)理想。由于I是環(huán)R的加群的正規(guī)子群，（R/I，+）是交換群，其中R/I = a + I|aR。定義R/I上的乘法“ ”如下：（a+I）（b+I） = ab + I，任意a，bR?？梢钥闯觯≧/I，+， ）是一個(gè)環(huán)。我們就將這個(gè)環(huán)（R/I，+， ）稱為環(huán)R關(guān)于理想I的商環(huán)四、證明題知識(shí)點(diǎn)（30分）1. lagrange定理。P.69（定理2）證明過程：