新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第八章立體幾何初步：8.5.2 直線與平面平行

1、8.5.2直線與平面平行 通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容,能從定義和基本事實出發(fā),借助長方體抽象出直線與平面平行的判定與性質(zhì),逐步培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)時還應(yīng)掌握以下幾點: 1.通過直觀感知、操作確認,歸納出直線與平面平行的判定定理. 2.掌握直線與平面平行的判定定理,并能利用定理解決問題. 3.掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理,明確由線面平行可推出線線平行. 直線與平面平行的判定定理文字語言圖形語言符號語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行(簡記為線線平行線面平行)l 直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面

2、與此平面相交,那么該直線與交線平行(簡記為線面平行線線平行) ab1.直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi),則l.()2.兩條平行線中的一條直線與一個平面平行,那么另一條也與這個平面平行.()3.直線a平面,平面內(nèi)有n條直線相交于一點,則這n條直線中與a平行的有且只有一條.()提示：過n條直線的交點和直線a作平面,設(shè)平面與平面交于直線b,則ab.若所給n條直線中有與b重合的,則與直線a平行的直線有1條,若沒有與b重合的,則與直線a平行的直線有0條.判斷正誤，正確的畫“” ，錯誤的畫“ ” .4.若直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則l. ()提示：當l時,l也可以平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,此時l與不平行

3、.5.梯形ABCD中,ABCD,AB平面,CD平面,則直線CD與平面內(nèi)的任意直線平行.()提示：由題意,得CD,則平面內(nèi)的直線與CD可能平行,也可能異面. 如何證明直線與平面平行 如圖所示的一塊木料中,已知棱BC平行于平面AC. 1.要經(jīng)過木料表面ABCD內(nèi)的一點P和棱BC將木料鋸開,應(yīng)怎樣畫線?提示:BC平面AC,平面BC經(jīng)過BC且與平面AC交于BC,BCBC.經(jīng)過點P,在平面AC上作線段EFBC,且EF與AB交于點E,與CD交于點F,那么EFBC.連接BE和CF,則BE,CF和EF就是所要畫的線.2.所畫的線和平面AC有什么關(guān)系?提示:EFBC,EF平面AC,BC平面AC,EF平面AC.而

4、BE,CF顯然都和平面AC相交. 利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行的步驟 如圖,在三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點.求證:BD平面FGH.證明連接DG,CD,設(shè)CDGF=O,連接OH.在三棱臺DEF-ABC中,G為AC的中點,DFGC,DF=GC,四邊形DFCG為平行四邊形,O為CD的中點,又H為BC的中點,OHBD,OH平面FGH,BD平面FGH,BD平面FGH.如圖1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,點E在線段BC上,BE=2EC,BAE沿AE翻折至圖2中B1AE的位置,B1平面AECD,連接B1D,點F在線段DB1上,DF=2FB1.證明:

5、CF平面B1AE. 證明在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,BE=2EC,AD=3,EC=1.在線段B1A上取一點M,使得AM=2MB1,連接ME,MF.DF=2FB1,=,FMAD,且FM=AD=EC=1.又ECAD,ECFM,四邊形FMEC為平行四邊形,CFEM,CF平面B1AE,EM平面B1AE,CF平面B1AE.思路點撥構(gòu)造平行四邊形得到線線平行,進而證明線面平行. 線面平行中的探索性問題 如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是線段BC,CC1的中點. 1.在線段AB上是否存在一點M,使直線DE平面A1MC?提示:存在點M,使直線DE平面A1MC.2.在問題1中,若存

6、在點M,M點在什么位置?提示:M為線段AB的中點.3.證明你的結(jié)論.提示:如圖,取線段AB的中點M,連接A1M,MC,A1C,AC1,設(shè)O為A1C與AC1的交點,則O為AC1的中點.連接MD,OE,則MD,OE分別為ABC,ACC1的中位線,所以MDAC,且MD=AC,OEAC,且OE=AC,因此MDOE.連接OM,從而四邊形MDEO為平行四邊形,則DEMO.因為直線DE平面A1MC,MO平面A1MC,所以直線DE平面A1MC.所以線段AB上存在一點M(線段AB的中點),使直線DE平面A1MC. 1.平行關(guān)系的探索性問題經(jīng)常是在一條直線上確定是否存在某點,使過該點的直線(或平面)平行于一個固定平面(或直線),求解此類問題要注意逆向推理,也要注意線面平行的性質(zhì)定理和判定定理的交替使用. 2.解決與線面平行有關(guān)的探究性問題時,一般是假設(shè)存在某點滿足題意,根據(jù)結(jié)論逆向推理判斷是否存在,或確定點的位置.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,CC1的中點.問:棱CD上是否存在點T,使AT平面B1EF?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.解析存在.在棱CD上取點T,使得DT=DC,此時AT平面B1EF.證明如下:延長BC,B1F,交于H,連接EH,交DC于點K,CC1BB1,F為CC1的中點,C是B