圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換

1、圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換 圖像變換的作用 傅立葉變換 離散傅立葉變換 傅立葉變換的性質(zhì) 二維傅立葉變換圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換 一. 圖像變換的作用 圖像變換的定義是將圖像從空域變換到其它域（如頻域）的數(shù)學變換 圖像變換的作用 我們?nèi)祟愐曈X所感受到的是在空間域和時間域的信號。但是，往往許多問題在頻域中討論時，有其非常方便分析的一面。 1. 方便處理 2. 便于抽取特性圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換常用的變換 傅立葉變換Fourier Transform2. 離散余弦變換Discrete Cosine Transform3. 沃爾什哈達瑪變換Walsh-

2、Hadamard Transform圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換二. 傅立葉變換 傅立葉變換的作用（1）可以得出信號在各個頻率點上的強度。（2）可以將卷積運算化為乘積運算。（3）傅氏變換和線性系統(tǒng)理論是進行圖像恢復 和重構的重要手段。（4）傅立葉變換能使我們從空間域與頻率域兩個不同的角度來看待圖像的問題，有時在空間域無法解決的問題在頻域卻是顯而易見的。圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換 傅立葉變換的定義傅立葉變換若f(x)為一維連續(xù)實函數(shù)，則它的傅里葉變換可定義為： 傅立葉逆變換定義如下： 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換 函數(shù)f(x)和F(u)被稱為傅立葉變換對。即對于任一函數(shù)f(x)，其傅立葉

3、變換F(u)是惟一的； 反之，對于任一函數(shù)F(u)，其傅立葉逆變換f(x)也是惟一的。 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換傅里葉變換的條件 傅里葉變換在數(shù)學上的定義是嚴密的，它需要滿足如下狄利克萊條件： (1) 具有有限個間斷點； (2) 具有有限個極值點； (3) 絕對可積;圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換F(u)可以表示為如下形式： |F(u)|稱為F(u)的模，也稱為函數(shù)f(x)的傅立葉譜，稱為F(u)的相角。 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換稱為函數(shù)f(x)的能量譜或功率譜。 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換高斯函數(shù)的定義為： 例1 高斯函數(shù)的傅立葉變換 根據(jù)傅立葉變換的定義可得： 圖像變換作用

4、、性質(zhì)和傅里葉變換令x+ju=t，上式可以化為： 結論:與即，高斯函數(shù)的傅立葉變換依然是高斯函數(shù) 為傅立葉變換函數(shù)對。圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換例2. 矩形函數(shù) 矩形函數(shù)形式如下: 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換根據(jù)傅立葉變換的定義，其傅立葉變換如下： 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換可得矩形函數(shù)f(x)的傅立葉頻譜為： 幾何圖形如下頁圖(b)所示 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換線性系統(tǒng)與傅立葉變換圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換傅立葉變換在圖像濾波中的應用 首先，我們來看Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越

5、高。 因此，我們可以在Fourier變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換傅立葉變換在卷積中的應用 直接進行時域中的卷積運算是很復雜的。傅立葉變換將時域的卷積變換為頻域的乘積。圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換三. 離散傅立葉變換 離散傅立葉變換的定義 要在數(shù)字圖像處理中應用傅立葉變換， 還需要解決兩個問題：一是在數(shù)學中進行傅立葉變換的f(x)為連續(xù)（模擬）信號， 而計算機處理的是數(shù)字信號（圖像數(shù)據(jù)）；二是數(shù)學上采用無窮大概念，而計算機只能進行有限次計算。通常， 將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT

6、)。圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換 離散傅立葉變換 離散傅立葉變換的定義離散傅立葉正變換:圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換離散傅立葉逆變換:圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換四. 傅立葉變換的性質(zhì)加法定理 位移定理 相似性定理 卷積定理 能量保持定理圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換 加法定理圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換 位移定理圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換 相似性定理 結論：一個“窄”的函數(shù)有一個“寬”的頻譜圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換 旋轉不變性 由旋轉不變性可知，如果時域中離散函數(shù)旋轉角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉同

7、樣的角度。離散傅立葉變換的旋轉不變性如圖所示。(a)(b)(d)(c)圖 離散傅立葉變換的旋轉不變性（a） 原始圖像； （b） 原始圖像的傅立葉頻譜； （c） 旋轉45后的圖像； （d） 圖像旋轉后的傅立葉頻譜 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換卷積定理圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換能量保持定理圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換五. 二維傅立葉變換1. 二維連續(xù)函數(shù)傅立葉變換的定義二維傅立葉正變換:圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換二維傅立葉逆變換:圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換2. 二維離散函數(shù)傅立葉變換的定義 根據(jù)一維離散傅立葉變換的定義和二維連續(xù)傅立葉變換理論，對于一個

8、具有MN個樣本值的二位離散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3, ,M-1；y=0,1,2,3, ,N-1）其傅立葉變換為： (1) 二維離散傅立葉正變換圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換(2) 二維離散傅立葉逆變換若已知頻率二維序列F(u，v) （u=0,1,2,3, ,M-1；v=0,1,2,3, ,N-1），則二維離散序列F(u，v)的傅立葉逆變換定義為： 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換 x、y和u、v，分別為空間域采樣間隔和頻率域采樣間隔 兩者之間滿足如下關系： 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換 式中序列R(u，v) 和I(u，v)分別表示離散序列F(u，v)的實序列和虛序列。 二維序列f

9、(x，y)的頻譜（傅立葉幅度譜）、相位譜和能量譜（功率譜）分別如下： F(u，v)可以表示為如下形式：圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換(1)線性特性 3. 二維離散傅立葉變換的性質(zhì)(2) 比例性質(zhì) =圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換(3)平移性質(zhì) 二維傅立葉變換的移位特性表明，當用 乘以f(x，y)，然后再進行乘積的離散傅里葉變換時，可以使空間頻率域u-v平面坐標系的原點從(0，0)平移到(u0，v0)的位置。 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換(4)可分離性 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換 二維傅立葉變換的可分離特性表明，一個二維傅立葉變換可通過二次一維傅立葉變換來完成，即：第一次先對y進行一維傅立

10、葉變換 在此基礎上對x進行一維傅立葉變換圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換變量分離步驟如圖所示 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換 若已知頻率二維序列F(u，v)，則二維可分離性對傅立葉逆變換同樣適應 逆變換的分離性也同樣可以分解為兩次一維傅立葉變換 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換(5)周期性 如果二維離散函數(shù)f(x，y)的傅里葉變換為F(u，v)，則傅立葉變換及其逆變換存在如下周期特性： 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換(6)共軛對稱性 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換半周期的傅里葉頻譜全周期的傅里葉頻譜一幅二維圖像的傅里葉頻譜中心化的傅里葉頻譜圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換(7)旋轉不變性 圖像f(x

11、，y)可以表示為f(r，)。同樣，空間頻率域的F(u，v)采用極坐標可以表示為F(，)。二維離散傅立葉存在如下旋轉特性： 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換(a)原始圖像 (b) DFT變換 (c) 原始圖像旋轉45 (d) 旋轉之后DFT變換結果 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換(8)微分性質(zhì) 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換(9)平均值性質(zhì) 平均值定義如下 平均值性質(zhì)如下： 即： 結論：二維離散函數(shù)的平均值等于其傅立葉變換在頻率原點處值的1/MN。 圖像變換作用、性質(zhì)和傅里葉變換10. 卷積定理：f(x,y)*h(x,y) F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y) F(u,v)*H(u,v)圖像變換作用、性